Question

El triángulo $ABC$ tiene lados $AB = 120,$ $BC = 220,$ y $AC = 180.$ Se trazan las rectas $\ell_A,$ $\ell_B,$ y $\ell_C$ paralelas a $\overline{BC},$ $\overline{AC},$ y $\overline{AB},$ respectivamente, de modo que las intersecciones de $\ell_A,$ $\ell_B,$ y $\ell_C$ con el interior de $\triangle ABC$ son segmentos de longitudes $55,$ $45,$ y $15,$ respectivamente. Halle el perímetro del triángulo cuyos lados están sobre las rectas $\ell_A,$ $\ell_B,$ y $\ell_C.$

Triangle $ABC$ has side lengths $AB = 120,$ $BC = 220,$ and $AC = 180.$ Lines $\ell_A,$ $\ell_B,$ and $\ell_C$ are drawn parallel to $\overline{BC},$ $\overline{AC},$ and $\overline{AB},$ respectively, such that the intersections of $\ell_A,$ $\ell_B,$ and $\ell_C$ with the interior of $\triangle ABC$ are segments of lengths $55,$ $45,$ and $15,$ respectively. Find the perimeter of the triangle whose sides lie on lines $\ell_A,$ $\ell_B,$ and $\ell_C.$

Respuesta

Solución:

Para un punto $P,$ sea $\alpha$ la distancia de $P$ a la recta $BC$ dividida entre la longitud de la altura desde $A,$ y defina $\beta$ (a $CA$ ) y $\gamma$ (a $AB$ ) de manera análoga; entonces $\alpha + \beta + \gamma = 1$ para los puntos interiores, ya que $[PBC] + [PCA]$ $+ [PAB] = [ABC].$ Una cuerda paralela a $\overline{BC}$ en el nivel $\alpha$ recorta en $A$ un triángulo semejante a $ABC$ con razón $1 - \alpha,$ así que su longitud es $220(1 - \alpha).$ La cuerda de longitud $55$ da $1 - \alpha = \frac{1}{4},$ por lo que $\ell_A$ es la recta $\alpha = \frac{3}{4};$ de manera análoga $45 = 180(1 - \beta)$ ubica $\ell_B$ en $\beta = \frac{3}{4},$ y $15 = 120(1 - \gamma)$ ubica $\ell_C$ en $\gamma = \frac{7}{8}.$

A lo largo de cualquier recta paralela a $\overline{BC},$ la coordenada $\beta$ varía linealmente, y sobre la cuerda en el nivel $\alpha$ dentro del triángulo, $\beta$ recorre un intervalo de longitud $1 - \alpha$ mientras que la cuerda tiene longitud $220(1 - \alpha);$ por lo tanto un segmento paralelo a $\overline{BC}$ cuyos extremos difieren en $\Delta\beta$ tiene longitud $220\,|\Delta\beta|.$ El lado del nuevo triángulo sobre $\ell_A$ va desde $\ell_A \cap \ell_B,$ donde $\beta = \frac{3}{4},$ hasta $\ell_A \cap \ell_C,$ donde $\beta = 1 - \frac{3}{4} - \frac{7}{8} = -\frac{5}{8}.$ Su longitud es $220\left(\frac{3}{4} + \frac{5}{8}\right) = 220 \cdot \frac{11}{8}.$

Como las tres rectas son paralelas a los lados de $ABC,$ el triángulo que delimitan es semejante a $ABC,$ aquí con razón $\frac{11}{8}.$ Su perímetro es $\frac{11}{8}(120 + 220 + 180)$ $= \frac{11}{8} \cdot 520 = 715.$

For a point $P,$ let $\alpha$ be the distance from $P$ to line $BC$ divided by the length of the altitude from $A,$ and define $\beta$ (to $CA$ ) and $\gamma$ (to $AB$ ) similarly; then $\alpha + \beta + \gamma = 1$ for points inside, since $[PBC] + [PCA]$ $+ [PAB] = [ABC].$ A chord parallel to $\overline{BC}$ at level $\alpha$ cuts off a triangle at $A$ similar to $ABC$ with ratio $1 - \alpha,$ so its length is $220(1 - \alpha).$ The chord of length $55$ gives $1 - \alpha = \frac{1}{4},$ so $\ell_A$ is the line $\alpha = \frac{3}{4};$ similarly $45 = 180(1 - \beta)$ puts $\ell_B$ at $\beta = \frac{3}{4},$ and $15 = 120(1 - \gamma)$ puts $\ell_C$ at $\gamma = \frac{7}{8}.$

Along any line parallel to $\overline{BC},$ the coordinate $\beta$ varies linearly, and on the chord at level $\alpha$ inside the triangle, $\beta$ runs over an interval of length $1 - \alpha$ while the chord has length $220(1 - \alpha);$ hence a segment parallel to $\overline{BC}$ with endpoints differing by $\Delta\beta$ has length $220\,|\Delta\beta|.$ The side of the new triangle on $\ell_A$ runs from $\ell_A \cap \ell_B,$ where $\beta = \frac{3}{4},$ to $\ell_A \cap \ell_C,$ where $\beta = 1 - \frac{3}{4} - \frac{7}{8} = -\frac{5}{8}.$ Its length is $220\left(\frac{3}{4} + \frac{5}{8}\right) = 220 \cdot \frac{11}{8}.$

Since the three lines are parallel to the sides of $ABC,$ the triangle they bound is similar to $ABC,$ here with ratio $\frac{11}{8}.$ Its perimeter is $\frac{11}{8}(120 + 220 + 180)$ $= \frac{11}{8} \cdot 520 = 715.$

2019 AIME II Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años