Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

2019 AIME II Problema 7

Intenta el Problema 7 del 2019 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2019 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

7.

El triángulo ABCABC tiene lados AB=120,AB = 120, BC=220,BC = 220, y AC=180.AC = 180. Se trazan las rectas ℓA,\ell_A, ℓB,\ell_B, y ℓC\ell_C paralelas a BC‾,\overline{BC}, AC‾,\overline{AC}, y AB‾,\overline{AB}, respectivamente, de modo que las intersecciones de ℓA,\ell_A, ℓB,\ell_B, y ℓC\ell_C con el interior de △ABC\triangle ABC son segmentos de longitudes 55,55, 45,45, y 15,15, respectivamente. Halle el perímetro del triángulo cuyos lados están sobre las rectas ℓA,\ell_A, ℓB,\ell_B, y ℓC.\ell_C.
Triangle ABCABC has side lengths AB=120,AB = 120, BC=220,BC = 220, and AC=180.AC = 180. Lines ℓA,\ell_A, ℓB,\ell_B, and ℓC\ell_C are drawn parallel to BC‾,\overline{BC}, AC‾,\overline{AC}, and AB‾,\overline{AB}, respectively, such that the intersections of ℓA,\ell_A, ℓB,\ell_B, and ℓC\ell_C with the interior of △ABC\triangle ABC are segments of lengths 55,55, 45,45, and 15,15, respectively. Find the perimeter of the triangle whose sides lie on lines ℓA,\ell_A, ℓB,\ell_B, and ℓC.\ell_C.
Respuesta: 715
Conceptos:semejanzarectas paralelas
Nivel de dificultad: 2790
Pista pequeña:
Cada cuerda recorta un triángulo semejante a ABC:ABC: las razones son 55220,\frac{55}{220}, 45180,\frac{45}{180}, y 15120\frac{15}{120}
Each chord cuts off a triangle similar to ABC:ABC: the ratios are 55220,\frac{55}{220}, 45180,\frac{45}{180}, and 15120\frac{15}{120}
Pista grande:
Mida las distancias a los lados como fracciones de las alturas, que suman 1;1; las rectas se ubican en los niveles 34,\frac34, 34,\frac34, 78\frac78
Measure distances to the sides as fractions of the altitudes, which sum to 1;1; the lines sit at levels 34,\frac34, 34,\frac34, 78\frac78
Solución:
Para un punto P,P, sea α\alpha la distancia de PP a la recta BCBC dividida entre la longitud de la altura desde A,A, y defina β\beta (a CACA) y γ\gamma (a ABAB) de manera análoga; entonces α+β+γ=1\alpha + \beta + \gamma = 1 para los puntos interiores, ya que [PBC]+[PCA][PBC] + [PCA] +[PAB]=[ABC].+ [PAB] = [ABC]. Una cuerda paralela a BC‾\overline{BC} en el nivel α\alpha recorta en AA un triángulo semejante a ABCABC con razón 1−α,1 - \alpha, así que su longitud es 220(1−α).220(1 - \alpha). La cuerda de longitud 5555 da 1−α=14,1 - \alpha = \frac{1}{4}, por lo que ℓA\ell_A es la recta α=34;\alpha = \frac{3}{4}; de manera análoga 45=180(1−β)45 = 180(1 - \beta) ubica ℓB\ell_B en β=34,\beta = \frac{3}{4}, y 15=120(1−γ)15 = 120(1 - \gamma) ubica ℓC\ell_C en γ=78.\gamma = \frac{7}{8}.
A lo largo de cualquier recta paralela a BC‾,\overline{BC}, la coordenada β\beta varía linealmente, y sobre la cuerda en el nivel α\alpha dentro del triángulo, β\beta recorre un intervalo de longitud 1−α1 - \alpha mientras que la cuerda tiene longitud 220(1−α);220(1 - \alpha); por lo tanto un segmento paralelo a BC‾\overline{BC} cuyos extremos difieren en Δβ\Delta\beta tiene longitud 220 ∣Δβ∣.220\,|\Delta\beta|. El lado del nuevo triángulo sobre ℓA\ell_A va desde ℓA∩ℓB,\ell_A \cap \ell_B, donde β=34,\beta = \frac{3}{4}, hasta ℓA∩ℓC,\ell_A \cap \ell_C, donde β=1−34−78=−58.\beta = 1 - \frac{3}{4} - \frac{7}{8} = -\frac{5}{8}. Su longitud es 220(34+58)=220⋅118.220\left(\frac{3}{4} + \frac{5}{8}\right) = 220 \cdot \frac{11}{8}.
Como las tres rectas son paralelas a los lados de ABC,ABC, el triángulo que delimitan es semejante a ABC,ABC, aquí con razón 118.\frac{11}{8}. Su perímetro es 118(120+220+180)\frac{11}{8}(120 + 220 + 180) =118⋅520=715.= \frac{11}{8} \cdot 520 = 715.
For a point P,P, let α\alpha be the distance from PP to line BCBC divided by the length of the altitude from A,A, and define β\beta (to CACA) and γ\gamma (to ABAB) similarly; then α+β+γ=1\alpha + \beta + \gamma = 1 for points inside, since [PBC]+[PCA][PBC] + [PCA] +[PAB]=[ABC].+ [PAB] = [ABC]. A chord parallel to BC‾\overline{BC} at level α\alpha cuts off a triangle at AA similar to ABCABC with ratio 1−α,1 - \alpha, so its length is 220(1−α).220(1 - \alpha). The chord of length 5555 gives 1−α=14,1 - \alpha = \frac{1}{4}, so ℓA\ell_A is the line α=34;\alpha = \frac{3}{4}; similarly 45=180(1−β)45 = 180(1 - \beta) puts ℓB\ell_B at β=34,\beta = \frac{3}{4}, and 15=120(1−γ)15 = 120(1 - \gamma) puts ℓC\ell_C at γ=78.\gamma = \frac{7}{8}.
Along any line parallel to BC‾,\overline{BC}, the coordinate β\beta varies linearly, and on the chord at level α\alpha inside the triangle, β\beta runs over an interval of length 1−α1 - \alpha while the chord has length 220(1−α);220(1 - \alpha); hence a segment parallel to BC‾\overline{BC} with endpoints differing by Δβ\Delta\beta has length 220 ∣Δβ∣.220\,|\Delta\beta|. The side of the new triangle on ℓA\ell_A runs from ℓA∩ℓB,\ell_A \cap \ell_B, where β=34,\beta = \frac{3}{4}, to ℓA∩ℓC,\ell_A \cap \ell_C, where β=1−34−78=−58.\beta = 1 - \frac{3}{4} - \frac{7}{8} = -\frac{5}{8}. Its length is 220(34+58)=220⋅118.220\left(\frac{3}{4} + \frac{5}{8}\right) = 220 \cdot \frac{11}{8}.
Since the three lines are parallel to the sides of ABC,ABC, the triangle they bound is similar to ABC,ABC, here with ratio 118.\frac{11}{8}. Its perimeter is 118(120+220+180)\frac{11}{8}(120 + 220 + 180) =118⋅520=715.= \frac{11}{8} \cdot 520 = 715.
Problema 6#6
Examen completo
Problema 8#8

El Problema 7 en otros años

1983 AIME · 1984 AIME · 1985 AIME · 1986 AIME · 1987 AIME · 1988 AIME · 1989 AIME · 1990 AIME · 1991 AIME · 1992 AIME · 1993 AIME · 1994 AIME · 1995 AIME · 1996 AIME · 1997 AIME · 1998 AIME · 1999 AIME · 2000 AIME I · 2000 AIME II · 2001 AIME I · 2001 AIME II · 2002 AIME I · 2002 AIME II · 2003 AIME I · 2003 AIME II · 2004 AIME I · 2004 AIME II · 2005 AIME I · 2005 AIME II · 2006 AIME I · 2006 AIME II · 2007 AIME I · 2007 AIME II · 2008 AIME I · 2008 AIME II · 2009 AIME I · 2009 AIME II · 2010 AIME I · 2010 AIME II · 2011 AIME I · 2011 AIME II · 2012 AIME I · 2012 AIME II · 2013 AIME I · 2013 AIME II · 2014 AIME I · 2014 AIME II · 2015 AIME I · 2015 AIME II · 2016 AIME I · 2016 AIME II · 2017 AIME I · 2017 AIME II · 2018 AIME I · 2018 AIME II · 2019 AIME I · 2020 AIME I · 2020 AIME II · 2021 AIME I · 2021 AIME II · 2022 AIME I · 2022 AIME II · 2023 AIME I · 2023 AIME II · 2024 AIME I · 2024 AIME II · 2025 AIME I · 2025 AIME II · 2026 AIME I · 2026 AIME II