Question

Una caja rectangular tiene ancho $12$ pulgadas, largo $16$ pulgadas y altura $\frac{m}{n}$ pulgadas, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Tres caras de la caja se encuentran en un vértice de la caja. Los puntos centrales de esas tres caras son los vértices de un triángulo con área de $30$ pulgadas cuadradas. Halla $m + n.$

A rectangular box has width $12$ inches, length $16$ inches, and height $\frac{m}{n}$ inches, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Three faces of the box meet at a corner of the box. The center points of those three faces are the vertices of a triangle with an area of $30$ square inches. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Sea $h$ la altura y coloca el vértice en el origen, de modo que la caja sea $[0,12] \times [0,16] \times [0,h].$ Las tres caras que se encuentran en el origen tienen centros $P = (6, 8, 0),$ $Q = \left(0, 8, \tfrac{h}{2}\right),$ y $R = \left(6, 0, \tfrac{h}{2}\right).$

Entonces $\overrightarrow{PQ} = \left(-6, 0, \tfrac{h}{2}\right)$ y $\overrightarrow{PR} = \left(0, -8, \tfrac{h}{2}\right),$ cuyo producto vectorial es $(4h, 3h, 48).$ El área es $\begin{aligned} &\frac{1}{2}\sqrt{16h^2 + 9h^2 + 48^2} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{25h^2 + 2304} \\ &= 30, \end{aligned}$ así que $25h^2 = 3600 - 2304 = 1296$ y $h = \frac{36}{5}.$

Por lo tanto $m + n = 36 + 5 = 41.$

Let the height be $h$ and place the corner at the origin, so the box is $[0,12] \times [0,16] \times [0,h].$ The three faces meeting at the origin have centers $P = (6, 8, 0),$ $Q = \left(0, 8, \tfrac{h}{2}\right),$ and $R = \left(6, 0, \tfrac{h}{2}\right).$

Then $\overrightarrow{PQ} = \left(-6, 0, \tfrac{h}{2}\right)$ and $\overrightarrow{PR} = \left(0, -8, \tfrac{h}{2}\right),$ whose cross product is $(4h, 3h, 48).$ The area is $\begin{aligned} &\frac{1}{2}\sqrt{16h^2 + 9h^2 + 48^2} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{25h^2 + 2304} \\ &= 30, \end{aligned}$ so $25h^2 = 3600 - 2304 = 1296$ and $h = \frac{36}{5}.$

Therefore $m + n = 36 + 5 = 41.$

2013 AIME I Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años