Soluciones del 2013 AIME I | LIVE by Po-Shen Loh

1.

El triatlón AIME consta de un nado de media milla, un recorrido en bicicleta de $30$ millas y una carrera de ocho millas. Tom nada, pedalea y corre a ritmos constantes. Corre cinco veces más rápido de lo que nada, y pedalea el doble de rápido de lo que corre. Tom completa el triatlón AIME en cuatro horas y cuarto. ¿Cuántos minutos dedica a pedalear?

The AIME Triathlon consists of a half-mile swim, a $30$ -mile bicycle ride, and an eight-mile run. Tom swims, bicycles, and runs at constant rates. He runs five times as fast as he swims, and he bicycles twice as fast as he runs. Tom completes the AIME Triathlon in four and a quarter hours. How many minutes does he spend bicycling?

Respuesta

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo razón y proporción conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

Sea $s$ la velocidad de nado de Tom en millas por hora. Entonces corre a $5s$ y pedalea a $10s.$ El tiempo total en horas es $\begin{aligned} &\frac{0.5}{s} + \frac{30}{10s} + \frac{8}{5s} \\ &= \frac{0.5 + 3 + 1.6}{s} \\ &= \frac{5.1}{s} = 4.25, \end{aligned}$ de modo que $s = \frac{5.1}{4.25} = 1.2$ millas por hora.

Pedalea a $12$ millas por hora, así que el recorrido dura $\frac{30}{12} = 2.5$ horas, es decir, $150$ minutos.

Let Tom's swimming speed be $s$ miles per hour. Then he runs at $5s$ and bicycles at $10s.$ The total time in hours is $\begin{aligned} &\frac{0.5}{s} + \frac{30}{10s} + \frac{8}{5s} \\ &= \frac{0.5 + 3 + 1.6}{s} \\ &= \frac{5.1}{s} = 4.25, \end{aligned}$ so $s = \frac{5.1}{4.25} = 1.2$ miles per hour.

He bicycles at $12$ miles per hour, so the ride takes $\frac{30}{12} = 2.5$ hours, which is $150$ minutes.

2.

Halla la cantidad de enteros positivos de cinco cifras, $n,$ que cumplen las siguientes condiciones:

• el número $n$ es divisible por $5,$

• la primera y la última cifra de $n$ son iguales, y

• la suma de las cifras de $n$ es divisible por $5.$

Find the number of five-digit positive integers, $n,$ that satisfy the following conditions:

• the number $n$ is divisible by $5,$

• the first and last digits of $n$ are equal, and

• the sum of the digits of $n$ is divisible by $5.$

Respuesta

Conceptos:dígitos divisibilidad principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2020

Solución:

Como $n$ es divisible por $5,$ su última cifra es $0$ o $5;$ como la primera cifra es igual a la última y no puede ser $0,$ ambas valen $5.$ Las cifras de los extremos aportan $10$ a la suma de las cifras, así que las tres cifras centrales también deben sumar un múltiplo de $5.$

Elige libremente la segunda y la tercera cifra, de $10 \cdot 10 = 100$ maneras. Sea cual sea su suma, la cuarta cifra debe caer en una clase de residuos prescrita módulo $5,$ y exactamente $2$ de las cifras del $0$ al $9$ están en cada clase. El conteo es $10 \cdot 10 \cdot 2 = 200.$

Since $n$ is divisible by $5,$ its last digit is $0$ or $5;$ since the first digit equals the last digit and cannot be $0,$ both are $5.$ The outer digits contribute $10$ to the digit sum, so the three middle digits must also sum to a multiple of $5.$

Choose the second and third digits freely, in $10 \cdot 10 = 100$ ways. Whatever their sum is, the fourth digit must land in a prescribed residue class modulo $5,$ and exactly $2$ of the digits $0$ through $9$ lie in each class. The count is $10 \cdot 10 \cdot 2 = 200.$

3.

Sea $ABCD$ un cuadrado, y sean $E$ y $F$ puntos sobre $\overline{AB}$ y $\overline{BC},$ respectivamente. La recta que pasa por $E$ paralela a $\overline{BC}$ y la recta que pasa por $F$ paralela a $\overline{AB}$ dividen $ABCD$ en dos cuadrados y dos rectángulos no cuadrados. La suma de las áreas de los dos cuadrados es $\frac{9}{10}$ del área del cuadrado $ABCD.$ Halla $\frac{AE}{EB} + \frac{EB}{AE}.$

Let $ABCD$ be a square, and let $E$ and $F$ be points on $\overline{AB}$ and $\overline{BC},$ respectively. The line through $E$ parallel to $\overline{BC}$ and the line through $F$ parallel to $\overline{AB}$ divide $ABCD$ into two squares and two nonsquare rectangles. The sum of the areas of the two squares is $\frac{9}{10}$ of the area of square $ABCD.$ Find $\frac{AE}{EB} + \frac{EB}{AE}.$

Respuesta

Conceptos:manipulación algebraica cuadrado (geometría)razón y proporción

Nivel de dificultad: 2020

Solución:

Sea $AE = x$ y $EB = y,$ de modo que el cuadrado grande tiene lado $x + y$ y los dos cuadrados menores tienen lados $x$ y $y.$ La condición dice $x^2 + y^2 = \frac{9}{10}(x + y)^2.$ Multiplicando por $10$ y desarrollando, $10x^2 + 10y^2$ $= 9x^2 + 18xy + 9y^2,$ así que $x^2 + y^2 = 18xy.$

Dividiendo por $xy$ se obtiene $\begin{aligned} \frac{AE}{EB} + \frac{EB}{AE} &= \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \\ &= \frac{x^2 + y^2}{xy} = 18. \end{aligned}$

Let $AE = x$ and $EB = y,$ so the square has side $x + y$ and the two smaller squares have sides $x$ and $y.$ The condition says $x^2 + y^2 = \frac{9}{10}(x + y)^2.$ Multiplying by $10$ and expanding, $10x^2 + 10y^2$ $= 9x^2 + 18xy + 9y^2,$ so $x^2 + y^2 = 18xy.$

Dividing by $xy$ gives $\begin{aligned} \frac{AE}{EB} + \frac{EB}{AE} &= \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \\ &= \frac{x^2 + y^2}{xy} = 18. \end{aligned}$

4.

En el arreglo de $13$ cuadrados que se muestra abajo, $8$ cuadrados se colorean de rojo, y los $5$ cuadrados restantes se colorean de azul. Si se elige al azar uno de todos los coloreados posibles, la probabilidad de que el arreglo coloreado elegido se vea igual al rotarlo $90^\circ$ alrededor del cuadrado central es $\frac{1}{n},$ donde $n$ es un entero positivo. Halla $n.$

In the array of $13$ squares shown below, $8$ squares are colored red, and the remaining $5$ squares are colored blue. If one of all possible such colorings is chosen at random, the probability that the chosen colored array appears the same when rotated $90^\circ$ around the central square is $\frac{1}{n},$ where $n$ is a positive integer. Find $n.$

Respuesta

Conceptos:probabilidad básica combinaciones simetría

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

La rotación permuta cíclicamente los cuatro brazos en forma de L, así que un coloreado simétrico colorea los cuatro brazos de manera idéntica, y los $12$ cuadrados exteriores contienen $4$ copias de lo que muestre el brazo. Por lo tanto, la cantidad de cuadrados rojos entre los doce exteriores es múltiplo de $4.$ Como en total hay $8$ cuadrados rojos, el centro debe ser azul y cada brazo debe contener exactamente $2$ cuadrados rojos y $1$ cuadrado azul.

El cuadrado azul dentro del brazo puede elegirse de $3$ maneras, así que exactamente $3$ de los $\binom{13}{5} = 1287$ coloreados equiprobables son simétricos. La probabilidad es $\frac{3}{1287} = \frac{1}{429},$ por lo que $n = 429.$

The rotation cycles the four L-shaped arms, so a symmetric coloring colors all four arms identically, and the $12$ outer squares contain $4$ copies of whatever the arm shows. The number of red squares among the outer twelve is therefore a multiple of $4.$ Since there are $8$ red squares in all, the center must be blue and each arm must contain exactly $2$ red squares and $1$ blue square.

The blue square within the arm can be chosen in $3$ ways, so exactly $3$ of the $\binom{13}{5} = 1287$ equally likely colorings are symmetric. The probability is $\frac{3}{1287} = \frac{1}{429},$ so $n = 429.$

5.

La raíz real de la ecuación $8x^3 - 3x^2 - 3x - 1 = 0$ puede escribirse en la forma $\frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + 1}{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos. Halla $a + b + c.$

The real root of the equation $8x^3 - 3x^2 - 3x - 1 = 0$ can be written in the form $\frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + 1}{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers. Find $a + b + c.$

Respuesta

Conceptos:polinomio racionalización del denominador manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2400

Solución:

Reescribe la ecuación como $9x^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ $= (x + 1)^3.$ Tomando raíces cúbicas reales, $\sqrt[3]{9}\,x = x + 1,$ así que $x = \frac{1}{\sqrt[3]{9} - 1}.$

Multiplica numerador y denominador por $\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{9} + 1;$ el denominador se convierte en $(\sqrt[3]{9})^3 - 1 = 8,$ así que $x = \frac{\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{9} + 1}{8}.$ Por lo tanto $a + b + c = 81 + 9 + 8 = 98.$

Rewrite the equation as $9x^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ $= (x + 1)^3.$ Taking real cube roots, $\sqrt[3]{9}\,x = x + 1,$ so $x = \frac{1}{\sqrt[3]{9} - 1}.$

Multiply numerator and denominator by $\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{9} + 1;$ the denominator becomes $(\sqrt[3]{9})^3 - 1 = 8,$ so $x = \frac{\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{9} + 1}{8}.$ Thus $a + b + c = 81 + 9 + 8 = 98.$

6.

Melinda tiene tres cajas vacías y $12$ libros de texto, tres de los cuales son de matemáticas. Una caja contendrá tres cualesquiera de sus libros, otra contendrá cuatro cualesquiera, y otra contendrá cinco cualesquiera. Si Melinda empaca sus libros en estas cajas en orden aleatorio, la probabilidad de que los tres libros de matemáticas terminen en la misma caja puede escribirse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Melinda has three empty boxes and $12$ textbooks, three of which are mathematics textbooks. One box will hold any three of her textbooks, one will hold any four of her textbooks, and one will hold any five of her textbooks. If Melinda packs her textbooks into these boxes in random order, the probability that all three mathematics textbooks end up in the same box can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:probabilidad básica combinaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Concéntrate en una caja a la vez. La caja de $k$ libros recibe un subconjunto de $k$ elementos elegido uniformemente al azar entre los $12$ libros, así que la probabilidad de que contenga los tres libros de matemáticas es $\binom{9}{k-3}\big/\binom{12}{k}.$ Para $k = 3, 4, 5$ esto da $\frac{1}{220},$ $\frac{9}{495} = \frac{1}{55},$ y $\frac{36}{792} = \frac{1}{22}.$

Los eventos son disjuntos, así que la probabilidad total es $\begin{aligned} \frac{1}{220} + \frac{1}{55} + \frac{1}{22} &= \frac{1 + 4 + 10}{220} \\ &= \frac{15}{220} = \frac{3}{44}, \end{aligned}$ y $m + n = 3 + 44 = 47.$

Focus on one box at a time. The box of $k$ books receives a uniformly random $k$ -subset of the $12$ books, so the probability that it contains all three math books is $\binom{9}{k-3}\big/\binom{12}{k}.$ For $k = 3, 4, 5$ this gives $\frac{1}{220},$ $\frac{9}{495} = \frac{1}{55},$ and $\frac{36}{792} = \frac{1}{22}.$

The events are disjoint, so the total probability is $\begin{aligned} \frac{1}{220} + \frac{1}{55} + \frac{1}{22} &= \frac{1 + 4 + 10}{220} \\ &= \frac{15}{220} = \frac{3}{44}, \end{aligned}$ and $m + n = 3 + 44 = 47.$

7.

Una caja rectangular tiene ancho $12$ pulgadas, largo $16$ pulgadas y altura $\frac{m}{n}$ pulgadas, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Tres caras de la caja se encuentran en un vértice de la caja. Los puntos centrales de esas tres caras son los vértices de un triángulo con área de $30$ pulgadas cuadradas. Halla $m + n.$

A rectangular box has width $12$ inches, length $16$ inches, and height $\frac{m}{n}$ inches, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Three faces of the box meet at a corner of the box. The center points of those three faces are the vertices of a triangle with an area of $30$ square inches. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:Geometría 3D vector área del triángulo

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

Sea $h$ la altura y coloca el vértice en el origen, de modo que la caja sea $[0,12] \times [0,16] \times [0,h].$ Las tres caras que se encuentran en el origen tienen centros $P = (6, 8, 0),$ $Q = \left(0, 8, \tfrac{h}{2}\right),$ y $R = \left(6, 0, \tfrac{h}{2}\right).$

Entonces $\overrightarrow{PQ} = \left(-6, 0, \tfrac{h}{2}\right)$ y $\overrightarrow{PR} = \left(0, -8, \tfrac{h}{2}\right),$ cuyo producto vectorial es $(4h, 3h, 48).$ El área es $\begin{aligned} &\frac{1}{2}\sqrt{16h^2 + 9h^2 + 48^2} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{25h^2 + 2304} \\ &= 30, \end{aligned}$ así que $25h^2 = 3600 - 2304 = 1296$ y $h = \frac{36}{5}.$

Por lo tanto $m + n = 36 + 5 = 41.$

Let the height be $h$ and place the corner at the origin, so the box is $[0,12] \times [0,16] \times [0,h].$ The three faces meeting at the origin have centers $P = (6, 8, 0),$ $Q = \left(0, 8, \tfrac{h}{2}\right),$ and $R = \left(6, 0, \tfrac{h}{2}\right).$

Then $\overrightarrow{PQ} = \left(-6, 0, \tfrac{h}{2}\right)$ and $\overrightarrow{PR} = \left(0, -8, \tfrac{h}{2}\right),$ whose cross product is $(4h, 3h, 48).$ The area is $\begin{aligned} &\frac{1}{2}\sqrt{16h^2 + 9h^2 + 48^2} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{25h^2 + 2304} \\ &= 30, \end{aligned}$ so $25h^2 = 3600 - 2304 = 1296$ and $h = \frac{36}{5}.$

Therefore $m + n = 36 + 5 = 41.$

8.

El dominio de la función $f(x) = \arcsin(\log_m(nx))$ es un intervalo cerrado de longitud $\frac{1}{2013},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $m \gt 1.$ Halla el residuo cuando la menor suma posible $m + n$ se divide entre $1000.$

The domain of the function $f(x) = \arcsin(\log_m(nx))$ is a closed interval of length $\frac{1}{2013},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $m \gt 1.$ Find the remainder when the smallest possible sum $m + n$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:función logaritmo divisibilidad

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

La función está definida cuando $-1 \le \log_m(nx) \le 1,$ es decir $\frac{1}{m} \le nx \le m,$ así que el dominio es $\left[\frac{1}{mn}, \frac{m}{n}\right],$ con longitud $\frac{m}{n} - \frac{1}{mn} = \frac{m^2 - 1}{mn} = \frac{1}{2013}.$ Por lo tanto $n = \frac{2013(m^2 - 1)}{m}.$ Como $m$ es primo con $m^2 - 1,$ $m$ debe dividir a $2013 = 3 \cdot 11 \cdot 61.$

Como $n \approx 2013m,$ la suma $m + n$ crece con $m,$ así que toma el menor factor $m = 3:$ entonces $n = \frac{2013 \cdot 8}{3} = 5368$ y $m + n = 5371.$

El residuo al dividir entre $1000$ es $371.$

The function is defined when $-1 \le \log_m(nx) \le 1,$ that is $\frac{1}{m} \le nx \le m,$ so the domain is $\left[\frac{1}{mn}, \frac{m}{n}\right],$ with length $\frac{m}{n} - \frac{1}{mn} = \frac{m^2 - 1}{mn} = \frac{1}{2013}.$ Hence $n = \frac{2013(m^2 - 1)}{m}.$ Since $m$ is relatively prime to $m^2 - 1,$ $m$ must divide $2013 = 3 \cdot 11 \cdot 61.$

Because $n \approx 2013m,$ the sum $m + n$ grows with $m,$ so take the smallest factor $m = 3:$ then $n = \frac{2013 \cdot 8}{3} = 5368$ and $m + n = 5371.$

The remainder upon division by $1000$ is $371.$

9.

Un triángulo equilátero de papel $ABC$ tiene lado $12.$ El triángulo de papel se dobla de modo que el vértice $A$ toca un punto sobre el lado $\overline{BC}$ a una distancia $9$ del punto $B.$ La longitud del segmento a lo largo del cual se dobla el triángulo puede escribirse como $\frac{m\sqrt{p}}{n},$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros positivos, $m$ y $n$ son primos entre sí, y $p$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $m + n + p.$

A paper equilateral triangle $ABC$ has side length $12.$ The paper triangle is folded so that vertex $A$ touches a point on side $\overline{BC}$ a distance $9$ from point $B.$ The length of the line segment along which the triangle is folded can be written as $\frac{m\sqrt{p}}{n},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers, $m$ and $n$ are relatively prime, and $p$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n + p.$

Respuesta

Conceptos:plegado de papel ley de los cosenos triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Sea $A'$ el punto de aterrizaje, con $BA' = 9$ y $CA' = 3,$ y sea el pliegue el que corta a $\overline{AB}$ en $P$ y a $\overline{AC}$ en $Q.$ El doblez preserva las distancias, así que $PA' = PA = x$ y $QA' = QA = y.$ En el triángulo $PBA',$ con $PB = 12 - x$ y $\angle B = 60^\circ,$ la ley de los cosenos da $\begin{aligned} x^2 &= (12 - x)^2 + 81 \\ &\quad {}- 9(12 - x), \end{aligned}$ que se simplifica a $15x = 117,$ así que $x = \frac{39}{5}.$ De manera similar, en el triángulo $QCA',$ $y^2 = (12 - y)^2 + 9 - 3(12 - y)$ da $21y = 117,$ así que $y = \frac{39}{7}.$

Finalmente, en el triángulo $APQ$ con $\angle A = 60^\circ,$ $\begin{aligned} PQ^2 &= x^2 + y^2 - xy \\ &= 39^2\left(\frac{1}{25} + \frac{1}{49} - \frac{1}{35}\right) \\ &= 39^2 \cdot \frac{49 + 25 - 35}{1225} \\ &= \frac{39^3}{1225}, \end{aligned}$ así que $PQ = \frac{39\sqrt{39}}{35}.$ Por lo tanto $m + n + p = 39 + 35 + 39$ $= 113.$

Let $A'$ be the landing point, with $BA' = 9$ and $CA' = 3,$ and let the crease meet $\overline{AB}$ at $P$ and $\overline{AC}$ at $Q.$ Folding preserves distances, so $PA' = PA = x$ and $QA' = QA = y.$ In triangle $PBA',$ with $PB = 12 - x$ and $\angle B = 60^\circ,$ the law of cosines gives $\begin{aligned} x^2 &= (12 - x)^2 + 81 \\ &\quad {}- 9(12 - x), \end{aligned}$ which simplifies to $15x = 117,$ so $x = \frac{39}{5}.$ Similarly, in triangle $QCA',$ $y^2 = (12 - y)^2 + 9 - 3(12 - y)$ gives $21y = 117,$ so $y = \frac{39}{7}.$

Finally, in triangle $APQ$ with $\angle A = 60^\circ,$ $\begin{aligned} PQ^2 &= x^2 + y^2 - xy \\ &= 39^2\left(\frac{1}{25} + \frac{1}{49} - \frac{1}{35}\right) \\ &= 39^2 \cdot \frac{49 + 25 - 35}{1225} \\ &= \frac{39^3}{1225}, \end{aligned}$ so $PQ = \frac{39\sqrt{39}}{35}.$ Thus $m + n + p = 39 + 35 + 39$ $= 113.$

10.

Existen enteros no nulos $a,$ $b,$ $r,$ y $s$ tales que el número complejo $r + si$ es un cero del polinomio $P(x) = x^3 - ax^2 + bx - 65.$ Para cada combinación posible de $a$ y $b,$ sea $p_{a,b}$ la suma de los ceros de $P(x).$ Halla la suma de los $p_{a,b}$ sobre todas las combinaciones posibles de $a$ y $b.$

There are nonzero integers $a,$ $b,$ $r,$ and $s$ such that the complex number $r + si$ is a zero of the polynomial $P(x) = x^3 - ax^2 + bx - 65.$ For each possible combination of $a$ and $b,$ let $p_{a,b}$ be the sum of the zeros of $P(x).$ Find the sum of the $p_{a,b}$ 's for all possible combinations of $a$ and $b.$

Respuesta

Conceptos:polinomio número complejo Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2710

Solución:

Como $P$ tiene coeficientes reales, $r - si$ también es un cero, y el tercer cero $q$ es real. El producto de los ceros es $q(r^2 + s^2) = 65,$ así que $q$ es un entero no nulo y $r^2 + s^2$ es un factor de $65.$ Con $r, s$ no nulos, las posibilidades son $r^2 + s^2 = 5 = 1^2 + 2^2$ (con $q = 13$ ), $13 = 2^2 + 3^2$ (con $q = 5$ ), y $65 = 1^2 + 8^2 = 4^2 + 7^2$ (con $q = 1$ ).

Para cada representación $\{u, v\},$ el cero $r + si$ puede tener $r = \pm u$ o $\pm v,$ dando $4$ polinomios distintos (el signo de $s$ no cambia nada). La suma de los ceros es $p_{a,b} = q + 2r,$ y sobre las cuatro elecciones los términos $2r$ se cancelan, dejando $4q$ de cada representación.

El total es $4 \cdot 13 + 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 80.$

Since $P$ has real coefficients, $r - si$ is also a zero, and the third zero $q$ is real. The product of the zeros is $q(r^2 + s^2) = 65,$ so $q$ is a nonzero integer and $r^2 + s^2$ is a factor of $65.$ With $r, s$ nonzero, the possibilities are $r^2 + s^2 = 5 = 1^2 + 2^2$ (with $q = 13$ ), $13 = 2^2 + 3^2$ (with $q = 5$ ), and $65 = 1^2 + 8^2 = 4^2 + 7^2$ (with $q = 1$ ).

For each representation $\{u, v\},$ the zero $r + si$ can have $r = \pm u$ or $\pm v,$ giving $4$ distinct polynomials (the sign of $s$ changes nothing). The sum of the zeros is $p_{a,b} = q + 2r,$ and over the four choices the $2r$ terms cancel, leaving $4q$ from each representation.

The total is $4 \cdot 13 + 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 80.$

11.

La clase de kínder de la Sra. Math tiene $16$ estudiantes inscritos. El salón tiene una cantidad muy grande, $N,$ de bloques de juego que cumple las condiciones:

• Si en la clase están presentes $16,$ $15,$ o $14$ estudiantes, entonces en cada caso todos los bloques pueden repartirse en cantidades iguales a cada estudiante, y

• Existen tres enteros $0 \lt x \lt y \lt z \lt 14$ tales que cuando están presentes $x,$ $y,$ o $z$ estudiantes y los bloques se reparten en cantidades iguales a cada estudiante, sobran exactamente tres bloques.

Halla la suma de los divisores primos distintos del menor valor posible de $N$ que satisface las condiciones anteriores.

Ms. Math's kindergarten class has $16$ registered students. The classroom has a very large number, $N,$ of play blocks which satisfies the conditions:

• If $16,$ $15,$ or $14$ students are present in the class, then in each case all the blocks can be distributed in equal numbers to each student, and

• There are three integers $0 \lt x \lt y \lt z \lt 14$ such that when $x,$ $y,$ or $z$ students are present and the blocks are distributed in equal numbers to each student, there are exactly three blocks left over.

Find the sum of the distinct prime divisors of the least possible value of $N$ satisfying the above conditions.

Respuesta

Conceptos:mínimo común múltiplo aritmética modular Teorema chino del resto

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

La divisibilidad por $16,$ $15,$ y $14$ significa que $N = 1680m$ donde $1680 = \operatorname{lcm}(14, 15, 16)$ $= 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7.$ Todo entero positivo menor que $14$ divide a $1680$ salvo $9,$ $11,$ y $13,$ y un divisor de $N$ deja residuo $0,$ no $3.$ Así que necesariamente $\{x, y, z\} = \{9, 11, 13\},$ y necesitamos $1680m \equiv 3$ módulo cada uno de $9,$ $11,$ $13.$

Como $1680 \equiv 6 \pmod 9,$ la primera congruencia es $6m \equiv 3 \pmod 9,$ es decir $m \equiv 2 \pmod 3.$ Como $1680 \equiv 8 \pmod{11},$ necesitamos $8m \equiv 3 \pmod{11},$ es decir $m \equiv 10 \pmod{11}.$ Como $1680 \equiv 3 \pmod{13},$ necesitamos $m \equiv 1 \pmod{13}.$ Por el teorema chino del residuo estos se combinan en $m \equiv 131 \pmod{429},$ así que el menor $m$ es $131.$

Entonces $N = 1680 \cdot 131$ $= 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 131,$ y como $131$ es primo, la suma de los divisores primos distintos es $2 + 3 + 5 + 7 + 131 = 148.$

Divisibility by $16,$ $15,$ and $14$ means $N = 1680m$ where $1680 = \operatorname{lcm}(14, 15, 16)$ $= 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7.$ Every positive integer less than $14$ divides $1680$ except $9,$ $11,$ and $13,$ and a divisor of $N$ leaves remainder $0,$ not $3.$ So necessarily $\{x, y, z\} = \{9, 11, 13\},$ and we need $1680m \equiv 3$ modulo each of $9,$ $11,$ $13.$

Since $1680 \equiv 6 \pmod 9,$ the first congruence is $6m \equiv 3 \pmod 9,$ i.e. $m \equiv 2 \pmod 3.$ Since $1680 \equiv 8 \pmod{11},$ we need $8m \equiv 3 \pmod{11},$ i.e. $m \equiv 10 \pmod{11}.$ Since $1680 \equiv 3 \pmod{13},$ we need $m \equiv 1 \pmod{13}.$ By the Chinese remainder theorem these combine to $m \equiv 131 \pmod{429},$ so the least $m$ is $131.$

Then $N = 1680 \cdot 131$ $= 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 131,$ and since $131$ is prime, the sum of the distinct prime divisors is $2 + 3 + 5 + 7 + 131 = 148.$

12.

Sea $\triangle PQR$ un triángulo con $\angle P = 75^\circ$ y $\angle Q = 60^\circ.$ Se dibuja un hexágono regular $ABCDEF$ de lado $1$ dentro de $\triangle PQR$ de modo que el lado $\overline{AB}$ esté sobre $\overline{PQ},$ el lado $\overline{CD}$ esté sobre $\overline{QR},$ y uno de los vértices restantes esté sobre $\overline{RP}.$ Existen enteros positivos $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ tales que el área de $\triangle PQR$ puede expresarse en la forma $\frac{a + b\sqrt{c}}{d},$ donde $a$ y $d$ son primos entre sí, y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $a + b + c + d.$

Let $\triangle PQR$ be a triangle with $\angle P = 75^\circ$ and $\angle Q = 60^\circ.$ A regular hexagon $ABCDEF$ with side length $1$ is drawn inside $\triangle PQR$ so that side $\overline{AB}$ lies on $\overline{PQ},$ side $\overline{CD}$ lies on $\overline{QR},$ and one of the remaining vertices lies on $\overline{RP}.$ There are positive integers $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ such that the area of $\triangle PQR$ can be expressed in the form $\frac{a + b\sqrt{c}}{d},$ where $a$ and $d$ are relatively prime, and $c$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c + d.$

Respuesta

Conceptos:polígono regular geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Nota que $\angle R = 45^\circ.$ Como los ángulos interiores del hexágono son $120^\circ,$ los segmentos $\overline{BC}$ recortan un triángulo de esquina en $Q$ con dos ángulos base de $60^\circ,$ así que el triángulo $BQC$ es equilátero y $QB = QC = 1.$ Coloca $Q$ en el origen con $QR$ sobre el semieje positivo $x$ . Entonces $C = (1, 0),$ $D = (2, 0),$ y los vértices del hexágono son $B = \left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right),$ $A = (1, \sqrt{3}),$ $F = (2, \sqrt{3}),$ $E = \left(\tfrac{5}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).$

Como $\angle R = 45^\circ,$ la recta $RP$ tiene pendiente $-1.$ Si pasara por $E,$ sería $x + y = \tfrac{5 + \sqrt{3}}{2},$ lo que deja a $F$ (con $x + y = 2 + \sqrt{3}$ ) fuera del triángulo; así que el vértice sobre $\overline{RP}$ es $F,$ y $RP$ es la recta $x + y = 2 + \sqrt{3}.$ Corta al eje $x$ en $R = (2 + \sqrt{3},\ 0)$ y a la recta $y = \sqrt{3}\,x$ (recta $QP$ ) donde $x(1 + \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3},$ dando la altura de $P$ $y = \frac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}.$

El área es $\frac{1}{2} \cdot QR \cdot y$ $= \frac{1}{2}(2 + \sqrt{3}) \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ $= \frac{9 + 5\sqrt{3}}{4},$ así que $a + b + c + d = 9 + 5 + 3 + 4$ $= 21.$

Note $\angle R = 45^\circ.$ Because the hexagon's interior angles are $120^\circ,$ segments $\overline{BC}$ cut off a corner triangle at $Q$ with two $60^\circ$ base angles, so triangle $BQC$ is equilateral and $QB = QC = 1.$ Put $Q$ at the origin with $QR$ along the positive $x$ -axis. Then $C = (1, 0),$ $D = (2, 0),$ and the hexagon's vertices are $B = \left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right),$ $A = (1, \sqrt{3}),$ $F = (2, \sqrt{3}),$ $E = \left(\tfrac{5}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).$

Since $\angle R = 45^\circ,$ line $RP$ has slope $-1.$ If it passed through $E,$ it would be $x + y = \tfrac{5 + \sqrt{3}}{2},$ which puts $F$ (with $x + y = 2 + \sqrt{3}$ ) outside the triangle; so the vertex on $\overline{RP}$ is $F,$ and $RP$ is the line $x + y = 2 + \sqrt{3}.$ It meets the $x$ -axis at $R = (2 + \sqrt{3},\ 0)$ and the line $y = \sqrt{3}\,x$ (line $QP$ ) where $x(1 + \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3},$ giving $P$ height $y = \frac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}.$

The area is $\frac{1}{2} \cdot QR \cdot y$ $= \frac{1}{2}(2 + \sqrt{3}) \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ $= \frac{9 + 5\sqrt{3}}{4},$ so $a + b + c + d = 9 + 5 + 3 + 4$ $= 21.$

13.

El triángulo $AB_0C_0$ tiene lados $AB_0 = 12,$ $B_0C_0 = 17,$ y $C_0A = 25.$ Para cada entero positivo $n,$ los puntos $B_n$ y $C_n$ se ubican sobre $\overline{AB_{n-1}}$ y $\overline{AC_{n-1}},$ respectivamente, creando tres triángulos semejantes $\triangle AB_nC_n \sim \triangle B_{n-1}C_nC_{n-1}$ $\sim \triangle AB_{n-1}C_{n-1}.$ El área de la unión de todos los triángulos $B_{n-1}C_nB_n$ para $n \ge 1$ puede expresarse como $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $q.$

Triangle $AB_0C_0$ has side lengths $AB_0 = 12,$ $B_0C_0 = 17,$ and $C_0A = 25.$ For each positive integer $n,$ points $B_n$ and $C_n$ are located on $\overline{AB_{n-1}}$ and $\overline{AC_{n-1}},$ respectively, creating three similar triangles $\triangle AB_nC_n \sim \triangle B_{n-1}C_nC_{n-1}$ $\sim \triangle AB_{n-1}C_{n-1}.$ The area of the union of all triangles $B_{n-1}C_nB_n$ for $n \ge 1$ can be expressed as $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $q.$

Respuesta

Conceptos:semejanza sucesión geométrica Fórmula de Herón recursión

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

Por la fórmula de Herón con $s = 27,$ el área de $\triangle AB_0C_0$ es $\sqrt{27 \cdot 15 \cdot 10 \cdot 2} = 90.$ En la semejanza $\triangle B_0C_1C_0 \sim \triangle AB_0C_0,$ el lado $B_0C_0$ corresponde a $AC_0,$ así que la razón es $r = \frac{17}{25},$ y $C_1C_0$ (que corresponde a $B_0C_0$ ) es igual a $17r.$ Por lo tanto $\frac{AC_1}{AC_0} = \frac{25 - 17r}{25} = 1 - r^2,$ que es la razón de semejanza de $\triangle AB_1C_1$ respecto a $\triangle AB_0C_0.$

Los segmentos $\overline{B_1C_1}$ y $\overline{B_0C_1}$ dividen $\triangle AB_0C_0$ en las tres piezas, así que $\begin{aligned} [B_0C_1B_1] &= 90\left(1 - r^2 - (1 - r^2)^2\right) \\ &= 90\,r^2(1 - r^2). \end{aligned}$ Cada etapa sucesiva repite la construcción dentro de $\triangle AB_nC_n,$ escalando todas las áreas por $(1 - r^2)^2,$ y los triángulos $B_{n-1}C_nB_n$ tienen interiores disjuntos.

El área de la unión es la serie geométrica $\begin{aligned} \frac{90\,r^2(1 - r^2)}{1 - (1 - r^2)^2} &= \frac{90(1 - r^2)}{2 - r^2} \\ &= 90 \cdot \frac{336/625}{961/625} \\ &= \frac{90 \cdot 336}{961}. \end{aligned}$ Como $961 = 31^2$ no comparte factor con $90 \cdot 336 = 30240,$ la respuesta es $q = 961.$

By Heron's formula with $s = 27,$ the area of $\triangle AB_0C_0$ is $\sqrt{27 \cdot 15 \cdot 10 \cdot 2} = 90.$ In the similarity $\triangle B_0C_1C_0 \sim \triangle AB_0C_0,$ side $B_0C_0$ corresponds to $AC_0,$ so the ratio is $r = \frac{17}{25},$ and $C_1C_0$ (corresponding to $B_0C_0$ ) equals $17r.$ Hence $\frac{AC_1}{AC_0} = \frac{25 - 17r}{25} = 1 - r^2,$ which is the similarity ratio of $\triangle AB_1C_1$ to $\triangle AB_0C_0.$

Segments $\overline{B_1C_1}$ and $\overline{B_0C_1}$ split $\triangle AB_0C_0$ into the three pieces, so $\begin{aligned} [B_0C_1B_1] &= 90\left(1 - r^2 - (1 - r^2)^2\right) \\ &= 90\,r^2(1 - r^2). \end{aligned}$ Each successive stage repeats the construction inside $\triangle AB_nC_n,$ scaling all areas by $(1 - r^2)^2,$ and the triangles $B_{n-1}C_nB_n$ have disjoint interiors.

The union's area is the geometric series $\begin{aligned} \frac{90\,r^2(1 - r^2)}{1 - (1 - r^2)^2} &= \frac{90(1 - r^2)}{2 - r^2} \\ &= 90 \cdot \frac{336/625}{961/625} \\ &= \frac{90 \cdot 336}{961}. \end{aligned}$ Since $961 = 31^2$ shares no factor with $90 \cdot 336 = 30240,$ the answer is $q = 961.$

14.

Para $\pi \le \theta \lt 2\pi,$ sea $\begin{aligned} P &= \frac{1}{2}\cos\theta - \frac{1}{4}\sin 2\theta \\ &\quad {}- \frac{1}{8}\cos 3\theta + \frac{1}{16}\sin 4\theta \\ &\quad {}+ \frac{1}{32}\cos 5\theta - \frac{1}{64}\sin 6\theta \\ &\quad {}- \frac{1}{128}\cos 7\theta + \ldots \end{aligned}$ y $\begin{aligned} Q &= 1 - \frac{1}{2}\sin\theta - \frac{1}{4}\cos 2\theta \\ &\quad {}+ \frac{1}{8}\sin 3\theta + \frac{1}{16}\cos 4\theta \\ &\quad {}- \frac{1}{32}\sin 5\theta - \frac{1}{64}\cos 6\theta \\ &\quad {}+ \frac{1}{128}\sin 7\theta + \ldots \end{aligned}$ de modo que $\frac{P}{Q} = \frac{2\sqrt{2}}{7}.$ Entonces $\sin\theta = -\frac{m}{n}$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

For $\pi \le \theta \lt 2\pi,$ let $\begin{aligned} P &= \frac{1}{2}\cos\theta - \frac{1}{4}\sin 2\theta \\ &\quad {}- \frac{1}{8}\cos 3\theta + \frac{1}{16}\sin 4\theta \\ &\quad {}+ \frac{1}{32}\cos 5\theta - \frac{1}{64}\sin 6\theta \\ &\quad {}- \frac{1}{128}\cos 7\theta + \ldots \end{aligned}$ and $\begin{aligned} Q &= 1 - \frac{1}{2}\sin\theta - \frac{1}{4}\cos 2\theta \\ &\quad {}+ \frac{1}{8}\sin 3\theta + \frac{1}{16}\cos 4\theta \\ &\quad {}- \frac{1}{32}\sin 5\theta - \frac{1}{64}\cos 6\theta \\ &\quad {}+ \frac{1}{128}\sin 7\theta + \ldots \end{aligned}$ so that $\frac{P}{Q} = \frac{2\sqrt{2}}{7}.$ Then $\sin\theta = -\frac{m}{n}$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:número complejo sucesión geométrica trigonometría cuadrática

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Los signos y la alternancia entre senos y cosenos sugieren potencias de $i:$ en efecto $\begin{aligned} Q + iP &= 1 + \frac{1}{2}ie^{i\theta} + \frac{1}{4}i^2e^{2i\theta} \\ &\quad {}+ \frac{1}{8}i^3e^{3i\theta} + \cdots \\ &= \frac{1}{1 - \frac{ie^{i\theta}}{2}} = \frac{2}{2 - ie^{i\theta}}. \end{aligned}$ Como $2 - ie^{i\theta} = (2 + \sin\theta) - i\cos\theta,$ multiplicando por el conjugado se obtiene $\begin{aligned} &Q + iP \\ &= \frac{2(2 + \sin\theta) + 2i\cos\theta}{5 + 4\sin\theta}, \end{aligned}$ así que $\frac{P}{Q} = \frac{\cos\theta}{2 + \sin\theta}.$

Poniendo $\frac{\cos\theta}{2 + \sin\theta} = \frac{2\sqrt{2}}{7}$ y elevando al cuadrado, $49(1 - \sin^2\theta) = 8(2 + \sin\theta)^2,$ que se reordena como $\begin{aligned} &57\sin^2\theta + 32\sin\theta - 17 \\ &= (3\sin\theta - 1)(19\sin\theta + 17) \\ &= 0. \end{aligned}$

Como $\pi \le \theta \lt 2\pi$ obliga a $\sin\theta \le 0,$ obtenemos $\sin\theta = -\frac{17}{19}$ (y entonces $\cos\theta = \frac{6\sqrt{2}}{19} \gt 0,$ consistente con la razón positiva). Por lo tanto $m + n = 17 + 19 = 36.$

The signs and the alternation between sines and cosines suggest powers of $i:$ indeed $\begin{aligned} Q + iP &= 1 + \frac{1}{2}ie^{i\theta} + \frac{1}{4}i^2e^{2i\theta} \\ &\quad {}+ \frac{1}{8}i^3e^{3i\theta} + \cdots \\ &= \frac{1}{1 - \frac{ie^{i\theta}}{2}} = \frac{2}{2 - ie^{i\theta}}. \end{aligned}$ Since $2 - ie^{i\theta} = (2 + \sin\theta) - i\cos\theta,$ multiplying by the conjugate gives $\begin{aligned} &Q + iP \\ &= \frac{2(2 + \sin\theta) + 2i\cos\theta}{5 + 4\sin\theta}, \end{aligned}$ so $\frac{P}{Q} = \frac{\cos\theta}{2 + \sin\theta}.$

Setting $\frac{\cos\theta}{2 + \sin\theta} = \frac{2\sqrt{2}}{7}$ and squaring, $49(1 - \sin^2\theta) = 8(2 + \sin\theta)^2,$ which rearranges to $\begin{aligned} &57\sin^2\theta + 32\sin\theta - 17 \\ &= (3\sin\theta - 1)(19\sin\theta + 17) \\ &= 0. \end{aligned}$

Since $\pi \le \theta \lt 2\pi$ forces $\sin\theta \le 0,$ we get $\sin\theta = -\frac{17}{19}$ (and then $\cos\theta = \frac{6\sqrt{2}}{19} \gt 0,$ consistent with the positive ratio). Thus $m + n = 17 + 19 = 36.$

15.

Sea $N$ el número de ternas ordenadas $(A, B, C)$ de enteros que satisfacen las condiciones:

• $0 \le A \lt B \lt C \le 99,$

• existen enteros $a,$ $b,$ y $c,$ y un primo $p$ donde $0 \le b \lt a \lt c \lt p,$

• $p$ divide a $A - a,$ $B - b,$ y $C - c,$ y

• cada terna ordenada $(A, B, C)$ y cada terna ordenada $(b, a, c)$ forman sucesiones aritméticas.

Halla $N.$

Let $N$ be the number of ordered triples $(A, B, C)$ of integers satisfying the conditions

• $0 \le A \lt B \lt C \le 99,$

• there exist integers $a,$ $b,$ and $c,$ and prime $p$ where $0 \le b \lt a \lt c \lt p,$

• $p$ divides $A - a,$ $B - b,$ and $C - c,$ and

• each ordered triple $(A, B, C)$ and each ordered triple $(b, a, c)$ form arithmetic sequences.

Find $N.$

Respuesta

Conceptos:sucesión aritmética aritmética modular conteo de pares

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Sea $d$ la diferencia común de $(b, a, c),$ de modo que $a - b = c - a = d \gt 0$ y $c = b + 2d \lt p,$ de donde $0 \lt 2d \lt p.$ Sea $D \gt 0$ la diferencia común de $(A, B, C).$ Reduciendo módulo $p,$ obtenemos $D = B - A \equiv b - a = -d$ y $D = C - B \equiv c - b = 2d,$ así que $p \mid 3d.$ Como $0 \lt d \lt p,$ el primo $p$ no puede dividir a $d,$ así que $p = 3;$ entonces $2d \lt 3$ da $d = 1$ y $(b, a, c) = (0, 1, 2).$

Así que las ternas válidas son exactamente las progresiones aritméticas crecientes en $[0, 99]$ con $A \equiv 1,$ $B \equiv 0,$ $C \equiv 2 \pmod 3.$ Escribe $A = 1 + 3j$ con $j \ge 0;$ la diferencia satisface $D \equiv -1 \equiv 2 \pmod 3,$ así que $D = 2 + 3k$ con $k \ge 0.$ La restricción es $C = A + 2D$ $= 5 + 3j + 6k \le 99,$ es decir $j + 2k \le 31,$ y todo par $(j, k)$ de este tipo funciona.

Para cada $k = 0, 1, \ldots, 15$ hay $32 - 2k$ elecciones de $j,$ así que $\begin{aligned} &N = \sum_{k=0}^{15} (32 - 2k) \\ &= 16 \cdot 32 - 2 \cdot \frac{15 \cdot 16}{2} \\ &= 512 - 240 = 272. \end{aligned}$

Let $d$ be the common difference of $(b, a, c),$ so $a - b = c - a = d \gt 0$ and $c = b + 2d \lt p,$ whence $0 \lt 2d \lt p.$ Let $D \gt 0$ be the common difference of $(A, B, C).$ Reducing mod $p,$ we get $D = B - A \equiv b - a = -d$ and $D = C - B \equiv c - b = 2d,$ so $p \mid 3d.$ Since $0 \lt d \lt p,$ the prime $p$ cannot divide $d,$ so $p = 3;$ then $2d \lt 3$ gives $d = 1$ and $(b, a, c) = (0, 1, 2).$

So the valid triples are exactly the increasing arithmetic progressions in $[0, 99]$ with $A \equiv 1,$ $B \equiv 0,$ $C \equiv 2 \pmod 3.$ Write $A = 1 + 3j$ with $j \ge 0;$ the difference satisfies $D \equiv -1 \equiv 2 \pmod 3,$ so $D = 2 + 3k$ with $k \ge 0.$ The constraint is $C = A + 2D$ $= 5 + 3j + 6k \le 99,$ i.e. $j + 2k \le 31,$ and every such pair $(j, k)$ works.

For each $k = 0, 1, \ldots, 15$ there are $32 - 2k$ choices of $j,$ so $\begin{aligned} &N = \sum_{k=0}^{15} (32 - 2k) \\ &= 16 \cdot 32 - 2 \cdot \frac{15 \cdot 16}{2} \\ &= 512 - 240 = 272. \end{aligned}$