Question

Llamamos a un entero positivo $n$ extra-distinto si los restos al dividir $n$ entre $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ y $6$ son distintos. Halla el número de enteros positivos extra-distintos menores que $1000.$

Call a positive integer $n$ extra-distinct if the remainders when $n$ is divided by $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ and $6$ are distinct. Find the number of extra-distinct positive integers less than $1000.$

Respuesta

Solución:

Escribe $r_k$ para el resto de $n$ módulo $k,$ y observa que $r_2 \equiv r_4 \pmod 2,$ $r_2 \equiv r_6 \pmod 2,$ y $r_3 \equiv r_6 \pmod 3.$ Si $r_2 = 0:$ entonces $r_4$ es par y distinto de $r_2,$ así que $r_4 = 2;$ luego $r_6$ es par y evita $\{0, 2\},$ así que $r_6 = 4,$ lo que da $r_3 = 1;$ finalmente $r_5$ evita $\{0, 1, 2, 4\},$ así que $r_5 = 3.$ Estas condiciones dicen que $n \equiv -2$ módulo cada uno de $2, 3, 4, 5, 6,$ es decir, $n \equiv 58 \pmod{60}.$

Si $r_2 = 1:$ de forma similar $r_4 = 3,$ luego $r_6 = 5,$ dando $r_3 = 2,$ y $r_5$ evita $\{1, 2, 3, 5\},$ así que $r_5 \in \{0, 4\}.$ La elección $r_5 = 4$ da $n \equiv -1 \pmod{60},$ es decir, $n \equiv 59;$ la elección $r_5 = 0$ da $n \equiv 11 \pmod{12}$ con $5 \mid n,$ es decir, $n \equiv 35 \pmod{60}.$

Por debajo de $1000$ hay $17$ enteros congruentes con $35,$ $16$ congruentes con $58,$ y $16$ congruentes con $59$ módulo $60,$ para un total de $17 + 16 + 16 = 49.$

Write $r_k$ for the remainder of $n$ modulo $k,$ and note $r_2 \equiv r_4 \pmod 2,$ $r_2 \equiv r_6 \pmod 2,$ and $r_3 \equiv r_6 \pmod 3.$ If $r_2 = 0:$ then $r_4$ is even and different from $r_2,$ so $r_4 = 2;$ then $r_6$ is even and avoids $\{0, 2\},$ so $r_6 = 4,$ which gives $r_3 = 1;$ finally $r_5$ avoids $\{0, 1, 2, 4\},$ so $r_5 = 3.$ These say $n \equiv -2$ modulo each of $2, 3, 4, 5, 6,$ i.e. $n \equiv 58 \pmod{60}.$

If $r_2 = 1:$ similarly $r_4 = 3,$ then $r_6 = 5,$ giving $r_3 = 2,$ and $r_5$ avoids $\{1, 2, 3, 5\},$ so $r_5 \in \{0, 4\}.$ The choice $r_5 = 4$ gives $n \equiv -1 \pmod{60},$ i.e. $n \equiv 59;$ the choice $r_5 = 0$ gives $n \equiv 11 \pmod{12}$ with $5 \mid n,$ i.e. $n \equiv 35 \pmod{60}.$

Below $1000$ there are $17$ integers congruent to $35,$ $16$ congruent to $58,$ and $16$ congruent to $59$ modulo $60,$ for a total of $17 + 16 + 16 = 49.$

2023 AIME I Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años