Question

El rombo $ABCD$ tiene $\angle BAD \lt 90^\circ.$ Hay un punto $P$ sobre la circunferencia inscrita del rombo tal que las distancias de $P$ a las rectas $DA,$ $AB,$ y $BC$ son $9,$ $5,$ y $16,$ respectivamente. Halla el perímetro de $ABCD.$

Rhombus $ABCD$ has $\angle BAD \lt 90^\circ.$ There is a point $P$ on the incircle of the rhombus such that the distances from $P$ to the lines $DA,$ $AB,$ and $BC$ are $9,$ $5,$ and $16,$ respectively. Find the perimeter of $ABCD.$

Respuesta

Solución:

Las distancias de un punto interior a las rectas paralelas $DA$ y $BC$ suman la distancia entre ellas, la altura del rombo. Así que la altura es $9 + 16 = 25,$ y la circunferencia inscrita, tangente a ambas rectas, tiene radio $\frac{25}{2}.$ Centra la circunferencia inscrita en el origen con $DA:\ y = \frac{25}{2}$ y $BC:\ y = -\frac{25}{2}.$ Entonces $P$ tiene coordenada $y$ igual a $\frac{25}{2} - 9 = \frac{7}{2},$ y $x^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \left(\frac{25}{2}\right)^2$ da $x = \pm 12.$

Sea $\alpha = \angle BAD.$ La recta $AB$ es tangente a la circunferencia inscrita y forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal, así que (orientando la figura de forma adecuada) es $x \sin\alpha + y \cos\alpha = -\frac{25}{2},$ y los puntos interiores satisfacen $x\sin\alpha + y\cos\alpha + \frac{25}{2} \gt 0.$ La condición $\operatorname{dist}(P, AB) = 5$ dice $x \sin\alpha + \frac{7}{2}\cos\alpha + \frac{25}{2} = 5.$ Para $x = 12$ el lado izquierdo supera $\frac{25}{2},$ así que $x = -12,$ y la ecuación queda $24\sin\alpha - 7\cos\alpha = 15.$

Sustituyendo $7\cos\alpha = 24\sin\alpha - 15$ en $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ se obtiene $625\sin^2\alpha - 720\sin\alpha$ $+ 176 = 0,$ así que $\sin\alpha = \frac{4}{5}$ o $\frac{44}{125}.$ La raíz $\frac{44}{125}$ hace que $\cos\alpha = \frac{24\sin\alpha - 15}{7}$ sea negativo, contradiciendo $\angle BAD \lt 90^\circ.$ Así que $\sin\alpha = \frac{4}{5},$ la longitud del lado es $\frac{25}{\sin\alpha} = \frac{125}{4},$ y el perímetro es $4 \cdot \frac{125}{4} = 125.$

The distances from an interior point to the parallel lines $DA$ and $BC$ add up to the distance between them, the height of the rhombus. So the height is $9 + 16 = 25,$ and the incircle, tangent to both lines, has radius $\frac{25}{2}.$ Center the incircle at the origin with $DA:\ y = \frac{25}{2}$ and $BC:\ y = -\frac{25}{2}.$ Then $P$ has $y$ -coordinate $\frac{25}{2} - 9 = \frac{7}{2},$ and $x^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \left(\frac{25}{2}\right)^2$ gives $x = \pm 12.$

Let $\alpha = \angle BAD.$ Line $AB$ is tangent to the incircle and makes angle $\alpha$ with the horizontal, so (orienting the figure suitably) it is $x \sin\alpha + y \cos\alpha = -\frac{25}{2},$ and interior points satisfy $x\sin\alpha + y\cos\alpha + \frac{25}{2} \gt 0.$ The condition $\operatorname{dist}(P, AB) = 5$ reads $x \sin\alpha + \frac{7}{2}\cos\alpha + \frac{25}{2} = 5.$ For $x = 12$ the left side exceeds $\frac{25}{2},$ so $x = -12,$ and the equation becomes $24\sin\alpha - 7\cos\alpha = 15.$

Substituting $7\cos\alpha = 24\sin\alpha - 15$ into $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ yields $625\sin^2\alpha - 720\sin\alpha$ $+ 176 = 0,$ so $\sin\alpha = \frac{4}{5}$ or $\frac{44}{125}.$ The root $\frac{44}{125}$ makes $\cos\alpha = \frac{24\sin\alpha - 15}{7}$ negative, contradicting $\angle BAD \lt 90^\circ.$ So $\sin\alpha = \frac{4}{5},$ the side length is $\frac{25}{\sin\alpha} = \frac{125}{4},$ and the perimeter is $4 \cdot \frac{125}{4} = 125.$

2023 AIME I Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años