Question

El polinomio $P(x)$ es cúbico. ¿Cuál es el mayor valor de $k$ para el cual los polinomios $Q_1(x) = x^2 + (k - 29)x - k$ y $Q_2(x) = 2x^2 + (2k - 43)x + k$ son ambos factores de $P(x)$ ?

The polynomial $P(x)$ is cubic. What is the largest value of $k$ for which the polynomials $Q_1(x) = x^2 + (k - 29)x - k$ and $Q_2(x) = 2x^2 + (2k - 43)x + k$ are both factors of $P(x)?$

Respuesta

Solución:

Si $Q_1$ y $Q_2$ no tuvieran una raíz común, su producto, de grado $4$ , dividiría al cúbico $P(x),$ lo cual es imposible. Así que comparten una raíz $r,$ y $2Q_1(r) - Q_2(r) = 0.$ Al calcular, $2Q_1(x) - Q_2(x) = -15x - 3k,$ así que $r = -\frac{k}{5}.$

Sustituyendo en $Q_1(r) = 0$ da $\frac{k^2}{25} - (k - 29)\frac{k}{5} - k = 0;$ multiplicando por $25$ y simplificando resulta $-4k^2 + 120k = 0,$ así que $k = 0$ o $k = 30.$

Para $k = 30,$ $Q_1(x) = x^2 + x - 30$ $= (x + 6)(x - 5)$ y $Q_2(x) = 2x^2 + 17x + 30$ $= (x + 6)(2x + 5),$ y ambos dividen a $P(x) = (x + 6)(x - 5)(2x + 5).$ El mayor valor es $30.$

If $Q_1$ and $Q_2$ had no common root, their product — of degree $4$ — would divide the cubic $P(x),$ which is impossible. So they share a root $r,$ and $2Q_1(r) - Q_2(r) = 0.$ Computing, $2Q_1(x) - Q_2(x) = -15x - 3k,$ so $r = -\frac{k}{5}.$

Substituting into $Q_1(r) = 0$ gives $\frac{k^2}{25} - (k - 29)\frac{k}{5} - k = 0;$ multiplying by $25$ and simplifying yields $-4k^2 + 120k = 0,$ so $k = 0$ or $k = 30.$

For $k = 30,$ $Q_1(x) = x^2 + x - 30$ $= (x + 6)(x - 5)$ and $Q_2(x) = 2x^2 + 17x + 30$ $= (x + 6)(2x + 5),$ and both divide $P(x) = (x + 6)(x - 5)(2x + 5).$ The largest value is $30.$

2007 AIME I Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años