Question

El triángulo isósceles $\triangle ABC$ tiene $AB = BC.$ Sea $I$ el incentro de $\triangle ABC.$ Los perímetros de $\triangle ABC$ y $\triangle AIC$ están en la razón $125 : 6,$ y todos los lados de ambos triángulos tienen longitudes enteras. Halla el valor mínimo posible de $AB.$

Isosceles triangle $\triangle ABC$ has $AB = BC.$ Let $I$ be the incenter of $\triangle ABC.$ The perimeters of $\triangle ABC$ and $\triangle AIC$ are in the ratio $125 : 6,$ and all the sides of both triangles have integer lengths. Find the minimum possible value of $AB.$

Respuesta

Solución:

Sea $a = AB = BC$ y $b = AC,$ de modo que $s = a + \frac{b}{2}.$ La circunferencia inscrita toca a $AC$ en su punto medio (la longitud de la tangente desde $A$ es $s - a = \frac{b}{2}$ ), así que $AI^2 = CI^2 = r^2 + \frac{b^2}{4}.$ Por la fórmula de Herón, $r^2 = \frac{(s-a)^2(s-b)}{s} = \frac{b^2}{4} \cdot \frac{2a - b}{2a + b},$ y por lo tanto $\begin{aligned} AI^2 &= \frac{b^2}{4}\left(\frac{2a - b}{2a + b} + 1\right) \\ &= \frac{ab^2}{2a + b}. \end{aligned}$ La condición de perímetros es $125\,(2\,AI + b) = 6\,(2a + b).$

Como $AI$ es racional, escribamos $\sqrt{\frac{a}{2a + b}} = \frac{p}{q}$ en forma irreducible. Entonces $aq^2 = p^2(2a + b)$ obliga a que $p^2 \mid a;$ escribiendo $a = mp^2$ se obtiene $b = m(q^2 - 2p^2),$ $2a + b = mq^2,$ y $AI = \frac{mp(q^2 - 2p^2)}{q}.$ La condición de perímetros pierde entonces por completo a $m$ : $125\,(q^2 - 2p^2)(2p + q) = 6q^3.$ Como $\gcd(125, 6) = 1$ obtenemos $5 \mid q;$ y $q$ debe ser par, ya que para $q$ impar ambos factores de la izquierda son impares mientras que el lado derecho es par. Escribiendo $q = 10w$ y simplificando, $(50w^2 - p^2)(p + 5w) = 12w^3.$ Ambos factores de la izquierda son coprimos con $w$ (pues $\gcd(p, q) = 1$ ), así que $w = 1,$ y $(50 - p^2)(p + 5) = 12$ tiene la solución única $p = 7.$

Así que $a = 49m,$ $b = 2m,$ y $AI = \frac{7m}{5},$ que es un entero exactamente cuando $5 \mid m.$ Tomando $m = 5$ se obtiene $\triangle ABC$ con lados $245, 245, 10$ y $\triangle AIC$ con lados $7, 7, 10,$ cuyos perímetros $500$ y $24$ están efectivamente en la razón $125 : 6.$ El mínimo posible de $AB$ es $245.$

Let $a = AB = BC$ and $b = AC,$ so $s = a + \frac{b}{2}.$ The incircle touches $AC$ at its midpoint (tangent length from $A$ is $s - a = \frac{b}{2}$ ), so $AI^2 = CI^2 = r^2 + \frac{b^2}{4}.$ By Heron's formula, $r^2 = \frac{(s-a)^2(s-b)}{s} = \frac{b^2}{4} \cdot \frac{2a - b}{2a + b},$ and therefore $\begin{aligned} AI^2 &= \frac{b^2}{4}\left(\frac{2a - b}{2a + b} + 1\right) \\ &= \frac{ab^2}{2a + b}. \end{aligned}$ The perimeter condition is $125\,(2\,AI + b) = 6\,(2a + b).$

Since $AI$ is rational, write $\sqrt{\frac{a}{2a + b}} = \frac{p}{q}$ in lowest terms. Then $aq^2 = p^2(2a + b)$ forces $p^2 \mid a;$ writing $a = mp^2$ gives $b = m(q^2 - 2p^2),$ $2a + b = mq^2,$ and $AI = \frac{mp(q^2 - 2p^2)}{q}.$ The perimeter condition then loses $m$ entirely: $125\,(q^2 - 2p^2)(2p + q) = 6q^3.$ Since $\gcd(125, 6) = 1$ we get $5 \mid q;$ and $q$ must be even, since for odd $q$ both factors on the left are odd while the right side is even. Writing $q = 10w$ and simplifying, $(50w^2 - p^2)(p + 5w) = 12w^3.$ Both factors on the left are coprime to $w$ (as $\gcd(p, q) = 1$ ), so $w = 1,$ and $(50 - p^2)(p + 5) = 12$ has the unique solution $p = 7.$

So $a = 49m,$ $b = 2m,$ and $AI = \frac{7m}{5},$ which is an integer exactly when $5 \mid m.$ Taking $m = 5$ gives $\triangle ABC$ with sides $245, 245, 10$ and $\triangle AIC$ with sides $7, 7, 10,$ whose perimeters $500$ and $24$ are indeed in ratio $125 : 6.$ The minimum possible $AB$ is $245.$

2026 AIME II Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años