Con $AB = BC = a$ y $AC = b,$ la circunferencia inscrita toca a $AC$ en su punto medio, así que $AI^2 = r^2 + \frac{b^2}{4};$ la fórmula de Herón simplifica esto a $AI^2 = \frac{ab^2}{2a + b}.$

Pon $\sqrt{\frac{a}{2a + b}} = \frac{p}{q}$ en forma irreducible; la razón de perímetros se convierte en $125(q^2 - 2p^2)(q + 2p) = 6q^3,$ y la divisibilidad fija $q.$

Sea $a = AB = BC$ y $b = AC,$ de modo que $s = a + \frac{b}{2}.$ La circunferencia inscrita toca a $AC$ en su punto medio (la longitud de la tangente desde $A$ es $s - a = \frac{b}{2}$), así que $AI^2 = CI^2 = r^2 + \frac{b^2}{4}.$ Por la fórmula de Herón, $r^2 = \frac{(s-a)^2(s-b)}{s} = \frac{b^2}{4} \cdot \frac{2a - b}{2a + b},$ y por lo tanto $$\begin{aligned} AI^2 &= \frac{b^2}{4}\left(\frac{2a - b}{2a + b} + 1\right) \\ &= \frac{ab^2}{2a + b}. \end{aligned}$$ La condición de perímetros es $125\,(2\,AI + b) = 6\,(2a + b).$

Como $AI$ es racional, escribamos $\sqrt{\frac{a}{2a + b}} = \frac{p}{q}$ en forma irreducible. Entonces $aq^2 = p^2(2a + b)$ obliga a que $a$ sea divisible por $p^2;$ escribiendo $a = mp^2$ se obtiene $b = m(q^2 - 2p^2),$ $2a + b = mq^2,$ y $AI = \frac{mp(q^2 - 2p^2)}{q}.$ La condición de perímetros pierde entonces por completo a $m$: $$125\,(q^2 - 2p^2)(2p + q) = 6q^3.$$ Como $\gcd(125, 6) = 1$, obtenemos que $q$ es divisible por $5;$ y $q$ debe ser par, ya que para $q$ impar ambos factores de la izquierda son impares mientras que el lado derecho es par. Escribiendo $q = 10w$ y simplificando, $(50w^2 - p^2)(p + 5w) = 12w^3.$ Ambos factores de la izquierda son coprimos con $w$ (pues $\gcd(p, q) = 1$). Si un primo dividiera a $w,$ el lado derecho obligaría a que también dividiera su producto, una contradicción; por tanto $w = 1.$ Entonces $(50 - p^2)(p + 5) = 12$ tiene la única solución positiva $p = 7.$

Así que $a = 49m,$ $b = 2m,$ y $AI = \frac{7m}{5},$ que es un entero exactamente cuando $m$ es divisible por $5.$ Tomando $m = 5$ se obtiene $\triangle ABC$ con lados $245, 245, 10$ y $\triangle AIC$ con lados $7, 7, 10,$ cuyos perímetros $500$ y $24$ están efectivamente en la razón $125 : 6.$ El mínimo posible de $AB$ es $245.$