Question

En el trapecio $ABCD$ , el lado $\overline{BC}$ es perpendicular a las bases $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ , y las diagonales $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ son perpendiculares. Dado que $AB = \sqrt{11}$ y $AD = \sqrt{1001}$ , halla $BC^2$ .

In trapezoid $ABCD,$ leg $\overline{BC}$ is perpendicular to bases $\overline{AB}$ and $\overline{CD},$ and diagonals $\overline{AC}$ and $\overline{BD}$ are perpendicular. Given that $AB = \sqrt{11}$ and $AD = \sqrt{1001},$ find $BC^2.$

Respuesta

Solución:

Coloca $B = (0, 0)$ , $A = (\sqrt{11}, 0)$ , $C = (0, h)$ , y $D = (d, h)$ , de modo que $\overline{BC}$ sea vertical y $BC^2 = h^2$ . Las diagonales dan los vectores $\overrightarrow{AC} = (-\sqrt{11}, h)$ y $\overrightarrow{BD} = (d, h)$ , y la perpendicularidad significa $-\sqrt{11}\,d + h^2 = 0$ , así que $d = \frac{h^2}{\sqrt{11}}$ .

Entonces $AD^2 = (d - \sqrt{11})^2 + h^2 = 1001$ . Poniendo $u = h^2$ , esto se convierte en $\frac{(u - 11)^2}{11} + u = 1001$ , es decir, $u^2 - 11u - 10890 = 0.$ La raíz positiva es $u = \frac{11 + \sqrt{121 + 43560}}{2}$ $= \frac{11 + 209}{2} = 110$ , así que $BC^2 = 110$ .

Place $B = (0, 0),$ $A = (\sqrt{11}, 0),$ $C = (0, h),$ and $D = (d, h),$ so that $\overline{BC}$ is vertical and $BC^2 = h^2.$ The diagonals give vectors $\overrightarrow{AC} = (-\sqrt{11}, h)$ and $\overrightarrow{BD} = (d, h),$ and perpendicularity means $-\sqrt{11}\,d + h^2 = 0,$ so $d = \frac{h^2}{\sqrt{11}}.$

Then $AD^2 = (d - \sqrt{11})^2 + h^2 = 1001.$ Setting $u = h^2,$ this becomes $\frac{(u - 11)^2}{11} + u = 1001,$ that is, $u^2 - 11u - 10890 = 0.$ The positive root is $u = \frac{11 + \sqrt{121 + 43560}}{2}$ $= \frac{11 + 209}{2} = 110,$ so $BC^2 = 110.$

2000 AIME II Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años