$(\lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor)$ debe ser uno de los $12$ pares de enteros cuyos cuadrados suman $25,$ así que $\mathcal{R}$ es una unión de $12$ cuadrados unitarios

$\mathcal{R}$ es simétrica respecto de $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right),$ así que el mejor disco está centrado ahí; halle la esquina de cuadrado más lejana de ese centro

Como $\lfloor x \rfloor$ y $\lfloor y \rfloor$ son enteros cuyos cuadrados suman $25,$ el par $(\lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor)$ es uno de los $12$ pares $(\pm 5, 0),$ $(0, \pm 5),$ $(\pm 3, \pm 4),$ $(\pm 4, \pm 3).$ Por tanto, $\mathcal{R}$ es la unión de los $12$ cuadrados unitarios cuyas esquinas inferiores izquierdas son esos puntos.

Sea $K$ la clausura de $\mathcal{R}.$ Todo disco cerrado que contiene a $\mathcal{R}$ también contiene a $K,$ así que ambos conjuntos tienen el mismo radio mínimo de cobertura. La aplicación $(x, y) \mapsto (1 - x, 1 - y)$ permuta los cuadrados unitarios cerrados de $K,$ por lo que $K$ es simétrico bajo una rotación de $180^\circ$ alrededor de $Q = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).$ Si $X \in K,$ su punto opuesto $X' = 2Q-X$ también está en $K.$ Todo disco que contiene ambos extremos de $\overline{XX'}$ tiene radio al menos $\frac{XX'}{2} = XQ.$ Por tanto, ningún disco envolvente puede tener radio menor que la mayor distancia de $Q$ a $K.$

Esa mayor distancia se alcanza en esquinas como $A = (4, 5)$ y $B = (5, 4),$ y al revisar las esquinas de los doce cuadrados cerrados se obtiene $$\begin{aligned} QA = QB &= \sqrt{\left(\tfrac{9}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{7}{2}\right)^2} \\ &= \frac{\sqrt{130}}{2}. \end{aligned}$$ El disco centrado en $Q$ con este radio contiene cada cuadrado, así que alcanza la cota inferior.

Por tanto, el radio mínimo es $r = \frac{\sqrt{130}}{2},$ y $m + n = 130 + 2 = 132.$