Question

Para un número real $a,$ sea $\lfloor a \rfloor$ el mayor entero menor o igual que $a.$ Sea $\mathcal{R}$ la región del plano coordenado formada por los puntos $(x, y)$ tales que $\lfloor x \rfloor^2 + \lfloor y \rfloor^2 = 25.$ La región $\mathcal{R}$ está completamente contenida en un disco de radio $r$ (un disco es la unión de un círculo y su interior). El valor mínimo de $r$ puede escribirse como $\frac{\sqrt{m}}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros y $m$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $m + n.$

For a real number $a,$ let $\lfloor a \rfloor$ denote the greatest integer less than or equal to $a.$ Let $\mathcal{R}$ denote the region in the coordinate plane consisting of points $(x, y)$ such that $\lfloor x \rfloor^2 + \lfloor y \rfloor^2 = 25.$ The region $\mathcal{R}$ is completely contained in a disk of radius $r$ (a disk is the union of a circle and its interior). The minimum value of $r$ can be written as $\frac{\sqrt{m}}{n},$ where $m$ and $n$ are integers and $m$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Como $\lfloor x \rfloor$ y $\lfloor y \rfloor$ son enteros cuyos cuadrados suman $25,$ el par $(\lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor)$ es uno de los $12$ pares $(\pm 5, 0),$ $(0, \pm 5),$ $(\pm 3, \pm 4),$ $(\pm 4, \pm 3).$ Así que $\mathcal{R}$ es la unión de los $12$ cuadrados unitarios cuyas esquinas inferiores izquierdas son estos puntos.

La aplicación $(x, y) \mapsto (1 - x, 1 - y)$ permuta estos cuadrados, así que $\mathcal{R}$ es simétrica bajo una rotación de $180^\circ$ alrededor de $Q = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).$ El disco de encierro mínimo es único, así que su centro debe ser $Q.$ Los puntos de $\mathcal{R}$ más lejanos de $Q$ son esquinas de cuadrados como $A = (4, 5)$ y $B = (5, 4),$ a distancia $\sqrt{\left(\tfrac{9}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{7}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{130}}{2};$ revisar los doce cuadrados confirma que ninguna esquina está más lejos.

Por lo tanto, el radio mínimo es $r = \frac{\sqrt{130}}{2},$ y $m + n = 130 + 2 = 132.$

Since $\lfloor x \rfloor$ and $\lfloor y \rfloor$ are integers whose squares sum to $25,$ the pair $(\lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor)$ is one of the $12$ pairs $(\pm 5, 0),$ $(0, \pm 5),$ $(\pm 3, \pm 4),$ $(\pm 4, \pm 3).$ So $\mathcal{R}$ is the union of the $12$ unit squares whose lower-left corners are these points.

The map $(x, y) \mapsto (1 - x, 1 - y)$ permutes these squares, so $\mathcal{R}$ is symmetric under $180^\circ$ rotation about $Q = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).$ The smallest enclosing disk is unique, so its center must be $Q.$ The farthest points of $\mathcal{R}$ from $Q$ are square corners such as $A = (4, 5)$ and $B = (5, 4),$ at distance $\sqrt{\left(\tfrac{9}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{7}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{130}}{2};$ checking all twelve squares confirms no corner is farther.

Hence the minimum radius is $r = \frac{\sqrt{130}}{2},$ and $m + n = 130 + 2 = 132.$

2010 AIME I Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años