Question

Sea $ABCDEF$ un hexágono equiángulo tal que $AB = 6,$ $BC = 8,$ $CD = 10,$ y $DE = 12.$ Denote por $d$ el diámetro del mayor círculo que cabe dentro del hexágono. Halle $d^2.$

Let $ABCDEF$ be an equiangular hexagon such that $AB = 6,$ $BC = 8,$ $CD = 10,$ and $DE = 12.$ Denote by $d$ the diameter of the largest circle that fits inside the hexagon. Find $d^2.$

Respuesta

Solución:

Todos los ángulos interiores son $120^\circ,$ así que los lados opuestos son paralelos. Adjuntar triángulos equiláteros a dos lados opuestos produce un paralelogramo, lo que obliga a $AB + BC = DE + EF$ y $FA + AB = CD + DE.$ Por lo tanto $EF = 2$ y $FA = 16.$

Caminar de un lado al lado opuesto a lo largo de los dos lados que los conectan muestra que la distancia entre un par de lados opuestos es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ veces la suma de esos dos lados conectores: las franjas tienen anchos $\frac{\sqrt{3}}{2}(BC + CD) = 9\sqrt{3}$ entre $AB$ y $DE,$ $\frac{\sqrt{3}}{2}(CD + DE) = 11\sqrt{3}$ entre $BC$ y $EF,$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}(DE + EF) = 7\sqrt{3}$ entre $CD$ y $FA.$ Cualquier círculo dentro del hexágono cabe en la franja más estrecha, así que $d \le 7\sqrt{3}.$

Un círculo de diámetro $7\sqrt{3}$ tangente a las rectas $CD$ y $FA$ puede centrarse de modo que también toque $DE$ exactamente y tenga distancias $6\sqrt{3},$ $5\sqrt{3},$ y $\frac{11\sqrt{3}}{2}$ a las rectas $EF,$ $BC,$ y $AB,$ todas mayores que su radio $\frac{7\sqrt{3}}{2},$ así que cabe dentro del hexágono. Por lo tanto $d = 7\sqrt{3}$ y $d^2 = 147.$

All interior angles are $120^\circ,$ so opposite sides are parallel. Attaching equilateral triangles to two opposite sides produces a parallelogram, which forces $AB + BC = DE + EF$ and $FA + AB = CD + DE.$ Hence $EF = 2$ and $FA = 16.$

Walking from one side to the opposite side along the two connecting sides shows that the distance between a pair of opposite sides is $\frac{\sqrt{3}}{2}$ times the sum of those two connecting sides: the strips have widths $\frac{\sqrt{3}}{2}(BC + CD) = 9\sqrt{3}$ between $AB$ and $DE,$ $\frac{\sqrt{3}}{2}(CD + DE) = 11\sqrt{3}$ between $BC$ and $EF,$ and $\frac{\sqrt{3}}{2}(DE + EF) = 7\sqrt{3}$ between $CD$ and $FA.$ Any circle inside the hexagon fits in the narrowest strip, so $d \le 7\sqrt{3}.$

A circle of diameter $7\sqrt{3}$ tangent to lines $CD$ and $FA$ can be centered so that it also touches $DE$ exactly and has distances $6\sqrt{3},$ $5\sqrt{3},$ and $\frac{11\sqrt{3}}{2}$ from lines $EF,$ $BC,$ and $AB,$ all more than its radius $\frac{7\sqrt{3}}{2},$ so it fits inside the hexagon. Therefore $d = 7\sqrt{3}$ and $d^2 = 147.$

2018 AIME I Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años