Question

Un insecto camina todo el día y duerme toda la noche. El primer día, parte del punto $O,$ mira hacia el este y camina una distancia de $5$ unidades hacia el este. Cada noche el insecto gira $60^\circ$ en sentido antihorario. Cada día camina en esta nueva dirección la mitad de lo que caminó el día anterior. El insecto se acerca arbitrariamente al punto $P.$ Entonces $OP^2 = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

A bug walks all day and sleeps all night. On the first day, it starts at point $O,$ faces east, and walks a distance of $5$ units due east. Each night the bug rotates $60^\circ$ counterclockwise. Each day it walks in this new direction half as far as it walked the previous day. The bug gets arbitrarily close to point $P.$ Then $OP^2 = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Trabaje en el plano complejo con $O$ en el origen y el este a lo largo del eje real positivo. El desplazamiento de cada día es el anterior multiplicado por $z = \frac{1}{2}e^{i\pi/3},$ así que $\begin{aligned} P &= 5\left(1 + z + z^2 + \cdots\right) \\ &= \frac{5}{1 - z}. \end{aligned}$

Como $z = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i,$ obtenemos $1 - z = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}i,$ cuya magnitud al cuadrado es $\frac{9}{16} + \frac{3}{16} = \frac{3}{4}.$ Por lo tanto $OP^2 = \frac{25}{3/4} = \frac{100}{3},$ y $m + n = 100 + 3 = 103.$

Work in the complex plane with $O$ at the origin and east along the positive real axis. Each day's displacement is the previous one multiplied by $z = \frac{1}{2}e^{i\pi/3},$ so $\begin{aligned} P &= 5\left(1 + z + z^2 + \cdots\right) \\ &= \frac{5}{1 - z}. \end{aligned}$

Since $z = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i,$ we get $1 - z = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}i,$ whose squared magnitude is $\frac{9}{16} + \frac{3}{16} = \frac{3}{4}.$ Therefore $OP^2 = \frac{25}{3/4} = \frac{100}{3},$ and $m + n = 100 + 3 = 103.$

2020 AIME I Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años