Question

Sea $a = \pi/2008.$ Halla el menor entero positivo $n$ tal que $\begin{aligned} &2[\cos(a)\sin(a) + \cos(4a)\sin(2a) \\ &\quad {}+ \cos(9a)\sin(3a) \\ &\quad {}+ \cdots + \cos(n^2 a)\sin(na)] \end{aligned}$ sea un entero.

Let $a = \pi/2008.$ Find the smallest positive integer $n$ such that $\begin{aligned} &2[\cos(a)\sin(a) + \cos(4a)\sin(2a) \\ &\quad {}+ \cos(9a)\sin(3a) \\ &\quad {}+ \cdots + \cos(n^2 a)\sin(na)] \end{aligned}$ is an integer.

Respuesta

Solución:

Por la identidad de producto a suma, $\begin{aligned} &2\cos(k^2 a)\sin(ka) \\ &= \sin(k^2 a + ka) \\ &\quad {}- \sin(k^2 a - ka) \\ &= \sin(k(k+1)a) \\ &\quad {}- \sin((k-1)k a). \end{aligned}$ Sumando para $k = 1$ hasta $n,$ los términos se telescopan, quedando $\sin(n(n+1)a) = \sin\frac{n(n+1)\pi}{2008}.$

Un seno es un entero solo cuando es $-1,$ $0,$ o $1,$ es decir, cuando su argumento es un múltiplo de $\frac{\pi}{2}.$ Así que necesitamos que $\frac{n(n+1)}{2008}$ sea un múltiplo de $\frac{1}{2},$ es decir, $1004 \mid n(n+1),$ donde $1004 = 4 \cdot 251$ y $251$ es primo.

Como $n$ y $n + 1$ son coprimos, $251$ debe dividir a uno de ellos, así que $n \ge 250.$ Para $n = 250$ el producto $250 \cdot 251$ no es divisible entre $4.$ Para $n = 251$ el producto $251 \cdot 252$ es divisible entre $4 \cdot 251 = 1004.$ El menor $n$ de este tipo es $251.$

By the product-to-sum identity, $\begin{aligned} &2\cos(k^2 a)\sin(ka) \\ &= \sin(k^2 a + ka) \\ &\quad {}- \sin(k^2 a - ka) \\ &= \sin(k(k+1)a) \\ &\quad {}- \sin((k-1)k a). \end{aligned}$ Summing over $k = 1$ to $n,$ the terms telescope, leaving $\sin(n(n+1)a) = \sin\frac{n(n+1)\pi}{2008}.$

A sine is an integer only when it is $-1,$ $0,$ or $1,$ that is, when its argument is a multiple of $\frac{\pi}{2}.$ So we need $\frac{n(n+1)}{2008}$ to be a multiple of $\frac{1}{2},$ i.e. $1004 \mid n(n+1),$ where $1004 = 4 \cdot 251$ and $251$ is prime.

Since $n$ and $n + 1$ are coprime, $251$ must divide one of them, so $n \ge 250.$ For $n = 250$ the product $250 \cdot 251$ is not divisible by $4.$ For $n = 251$ the product $251 \cdot 252$ is divisible by $4 \cdot 251 = 1004.$ The smallest such $n$ is $251.$

2008 AIME II Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años