Question

Halla el octavo término de la sucesión $1440,$ $1716,$ $1848, \ldots,$ cuyos términos se forman multiplicando los términos correspondientes de dos sucesiones aritméticas.

Find the eighth term of the sequence $1440,$ $1716,$ $1848, \ldots,$ whose terms are formed by multiplying the corresponding terms of two arithmetic sequences.

Respuesta

Solución:

El $n$ -ésimo término de una sucesión aritmética es lineal en $n,$ así que el producto de los términos correspondientes de dos sucesiones aritméticas es una cuadrática $t_n = an^2 + bn + c.$ Indexando los términos dados con $n = 0, 1, 2:$ $\begin{aligned} c &= 1440, \\ a + b + c &= 1716, \\ 4a + 2b + c &= 1848, \end{aligned}$ que dan $a + b = 276$ y $2a + b = 204,$ así que $a = -72,$ $b = 348,$ $c = 1440.$

El octavo término es $t_7 = -72 \cdot 49$ $+ 348 \cdot 7$ $+ 1440 = 348.$ (En efecto $t_n = (180 - 24n)(8 + 3n),$ un producto de dos sucesiones aritméticas que coincide con los términos dados.)

The $n$ th term of an arithmetic sequence is linear in $n,$ so the product of corresponding terms of two arithmetic sequences is a quadratic $t_n = an^2 + bn + c.$ Indexing the given terms by $n = 0, 1, 2:$ $\begin{aligned} c &= 1440, \\ a + b + c &= 1716, \\ 4a + 2b + c &= 1848, \end{aligned}$ which give $a + b = 276$ and $2a + b = 204,$ so $a = -72,$ $b = 348,$ $c = 1440.$

The eighth term is $t_7 = -72 \cdot 49$ $+ 348 \cdot 7$ $+ 1440 = 348.$ (Indeed $t_n = (180 - 24n)(8 + 3n),$ a product of two arithmetic sequences matching the given terms.)

2003 AIME II Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años