Question

Para un entero positivo $n,$ sea $s(n)$ la suma de los dígitos de $n.$ Halla el menor entero positivo $n$ que satisface $s(n) = s(n + 864) = 20.$

For positive integer $n,$ let $s(n)$ denote the sum of the digits of $n.$ Find the smallest positive integer $n$ satisfying $s(n) = s(n + 864) = 20.$

Respuesta

Solución:

Cada acarreo en una suma reemplaza $10$ en una posición por $1$ en la siguiente, reduciendo la suma de dígitos en $9.$ Por lo tanto $s(n + 864) = s(n) + s(864) - 9c$ $= 20 + 18 - 9c,$ donde $c$ es el número de acarreos, y $s(n + 864) = 20$ obliga a $c = 2.$ Para un candidato $n$ de tres dígitos con dígitos $t,$ $u,$ $v$ que suman $20:$ como $u + v \le 18,$ tenemos $t \ge 2,$ así que la posición de las centenas siempre acarrea ( $t + 8 \ge 10$ ), y exactamente una de las posiciones de las unidades y las decenas acarrea.

Si las unidades acarrean y las decenas no, el cálculo de las decenas $u + 6 + 1$ debe quedar por debajo de $10,$ así que $u \le 2;$ entonces $t = 20 - u - v$ $\ge 20 - 2 - 9 = 9,$ forzando $n = 929.$ Si las decenas acarrean y las unidades no, entonces $v + 4 \le 9$ da $v \le 5,$ así que $t = 20 - u - v$ $\ge 20 - 9 - 5 = 6,$ y $t = 6,$ $u = 9,$ $v = 5$ funciona: $n = 695.$

En efecto $s(695) = 20$ y $695 + 864 = 1559$ con $s(1559) = 20,$ así que el menor $n$ de este tipo es $695.$

Each carry in an addition replaces $10$ in one place by $1$ in the next, lowering the digit sum by $9.$ Hence $s(n + 864) = s(n) + s(864) - 9c$ $= 20 + 18 - 9c,$ where $c$ is the number of carries, and $s(n + 864) = 20$ forces $c = 2.$ For a three-digit candidate $n$ with digits $t,$ $u,$ $v$ summing to $20:$ since $u + v \le 18,$ we have $t \ge 2,$ so the hundreds place always carries ( $t + 8 \ge 10$ ), and exactly one of the units and tens places carries.

If the units carry and the tens do not, the tens computation $u + 6 + 1$ must stay below $10,$ so $u \le 2;$ then $t = 20 - u - v$ $\ge 20 - 2 - 9 = 9,$ forcing $n = 929.$ If the tens carry and the units do not, then $v + 4 \le 9$ gives $v \le 5,$ so $t = 20 - u - v$ $\ge 20 - 9 - 5 = 6,$ and $t = 6,$ $u = 9,$ $v = 5$ works: $n = 695.$

Indeed $s(695) = 20$ and $695 + 864 = 1559$ with $s(1559) = 20,$ so the smallest such $n$ is $695.$

2015 AIME I Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años