Question

Halla el menor entero positivo $k$ para el cual la ecuación $\left\lfloor \frac{2002}{n} \right\rfloor = k$ no tiene soluciones enteras para $n.$ (La notación $\lfloor x \rfloor$ significa el mayor entero menor o igual que $x.$ )

Find the least positive integer $k$ for which the equation $\left\lfloor \frac{2002}{n} \right\rfloor = k$ has no integer solutions for $n.$ (The notation $\lfloor x \rfloor$ means the greatest integer less than or equal to $x.$ )

Respuesta

Solución:

El valor $k$ se alcanza exactamente cuando algún entero $n$ satisface $k \le \frac{2002}{n} \lt k + 1,$ es decir, cuando el intervalo $\left(\frac{2002}{k+1}, \frac{2002}{k}\right]$ contiene un entero. Su longitud es $\frac{2002}{k(k+1)},$ que es al menos $1$ siempre que $k(k+1) \le 2002,$ así que todo $k \le 44$ se alcanza.

Para valores mayores de $k,$ comprueba directamente: $n = 44, 43, 42, 41, 40$ dan $\left\lfloor \frac{2002}{n} \right\rfloor = 45, 46, 47, 48, 50.$ Como $\frac{2002}{41} \approx 48.8$ y $\frac{2002}{40} \gt 50,$ el valor $49$ nunca se alcanza, así que el menor $k$ de este tipo es $49.$

The value $k$ is attained exactly when some integer $n$ satisfies $k \le \frac{2002}{n} \lt k + 1,$ that is, when the interval $\left(\frac{2002}{k+1}, \frac{2002}{k}\right]$ contains an integer. Its length is $\frac{2002}{k(k+1)},$ which is at least $1$ whenever $k(k+1) \le 2002$ — so every $k \le 44$ is attained.

For larger $k,$ check directly: $n = 44, 43, 42, 41, 40$ give $\left\lfloor \frac{2002}{n} \right\rfloor = 45, 46, 47, 48, 50.$ Since $\frac{2002}{41} \approx 48.8$ and $\frac{2002}{40} \gt 50,$ the value $49$ is never attained, so the least such $k$ is $49.$

2002 AIME II Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años