Question

La ecuación $z^6+z^3+1=0$ tiene una raíz compleja cuyo argumento $\theta$ en el plano complejo está entre $90^\circ$ y $180^\circ$ . Determina la medida en grados de $\theta.$

The equation $z^6+z^3+1=0$ has one complex root with argument $\theta$ between $90^\circ$ and $180^\circ$ in the complex plane. Determine the degree measure of $\theta.$

Respuesta

Respuesta: 160

Conceptos:número complejo raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Sustituye $u=z^3$

Substitute $u=z^3$

Pista grande:

Los dos argumentos posibles de $z^3$ son $120^\circ$ y $240^\circ$

The two possible arguments of $z^3$ are $120^\circ$ and $240^\circ$

Solución:

Sea $u=z^3.$ Entonces $u^2+u+1=0,$ por lo que $u$ tiene argumento $120^\circ$ o $240^\circ.$ Al tomar raíces cúbicas se obtienen los argumentos posibles $40^\circ,160^\circ,280^\circ,80^\circ,200^\circ,320^\circ.$ El único que está estrictamente entre $90^\circ$ y $180^\circ$ es $160^\circ.$

Let $u=z^3.$ Then $u^2+u+1=0,$ so $u$ has argument $120^\circ$ or $240^\circ.$ Taking cube roots gives possible arguments $40^\circ,160^\circ,280^\circ,80^\circ,200^\circ,320^\circ.$ The only one strictly between $90^\circ$ and $180^\circ$ is $160^\circ.$

1984 AIME Problema 8

Respuesta: 160

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años