Question

La función $f$ está definida sobre el conjunto de los enteros y satisface $f(n)=n-3$ si $n\geq1000,$ y $f(n)=f(f(n+5))$ si $n<1000.$ Halla $f(84).$

The function $f$ is defined on the set of integers and satisfies $f(n)=n-3$ if $n\geq1000,$ and $f(n)=f(f(n+5))$ if $n<1000.$ Find $f(84).$

Respuesta

Respuesta: 997

Conceptos:recursión inducción paridad

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Comienza por evaluar $f(995),$ $f(996),$ $\ldots,$ $f(999)$

Start by evaluating $f(995),$ $f(996),$ $\ldots,$ $f(999)$

Pista grande:

Usa inducción descendente para hallar un patrón de paridad para cada entero menor que $1000$

Use downward induction to find a parity pattern for every integer below $1000$

Solución:

Directamente de la definición, $\begin{aligned} f(999)&=f(f(1004))\\ &=f(1001)=998,\\ f(998)&=f(f(1003))\\ &=f(1000)=997. \end{aligned}$ Al continuar se obtiene $f(997)=998,$ $f(996)=997,$ y $f(995)=998.$

Ahora usamos inducción descendente. Si $n<995$ es par, entonces $n+5$ es impar, así que el patrón ya establecido para los enteros mayores que $n$ da $f(n)=f(f(n+5)).$ Por ello, $f(n)=f(998)=997.$ Si $n$ es impar, el mismo argumento da $f(n)=f(997)=998.$ Por lo tanto, todo entero par $n<1000$ tiene valor $997.$ Como $84$ es par, $f(84)=997.$

Directly from the definition, $\begin{aligned} f(999)&=f(f(1004))\\ &=f(1001)=998,\\ f(998)&=f(f(1003))\\ &=f(1000)=997. \end{aligned}$ Continuing gives $f(997)=998,$ $f(996)=997,$ and $f(995)=998.$

We now use downward induction. If $n<995$ is even, then $n+5$ is odd, so the established pattern above $n$ gives $f(n)=f(f(n+5)).$ Thus $f(n)=f(998)=997.$ If $n$ is odd, the same argument gives $f(n)=f(997)=998.$ Thus every even $n<1000$ has value $997.$ Since $84$ is even, $f(84)=997.$

1984 AIME Problema 7

Respuesta: 997

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años