Question

Dos casillas de un tablero de $7\times7$ se pintan de amarillo y las demás de verde. Dos esquemas de color son equivalentes si uno puede obtenerse del otro mediante una rotación en el plano del tablero. ¿Cuántos esquemas de color no equivalentes hay?

Two of the squares of a $7\times7$ checkerboard are painted yellow, and the rest are painted green. Two color schemes are equivalent if one can be obtained from the other by applying a rotation in the plane of the board. How many inequivalent color schemes are possible?

Respuesta

Respuesta: 300

Conceptos:Lema de Burnside combinaciones rotational symmetry

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Promedia las cantidades de coloraciones de dos casillas que fija cada una de las cuatro rotaciones

Average the numbers of two-square colorings fixed by the four rotations

Pista grande:

Solo un giro de media vuelta puede fijar un par no trivial de casillas

Only a half-turn can fix a nontrivial pair of squares

Solución:

Bajo la rotación identidad, todos los $\binom{49}{2}=1176$ pares quedan fijos. Un giro de un cuarto o de tres cuartos de vuelta solo tiene órbitas de tamaños $1$ y $4,$ así que no fija ningún conjunto de dos casillas. Una media vuelta fija exactamente los $24$ pares de casillas opuestas respecto del centro. Por el lema de Burnside se obtienen $\frac{1176+0+24+0}{4}=300$ coloraciones no equivalentes.

Under the identity rotation, all $\binom{49}{2}=1176$ pairs are fixed. A quarter-turn or three-quarter-turn has only orbits of sizes $1$ and $4,$ so it fixes no two-square set. A half-turn fixes exactly the $24$ pairs of squares opposite one another across the center. Burnside’s Lemma therefore gives $\frac{1176+0+24+0}{4}=300$ inequivalent colorings.

1996 AIME Problema 7

Respuesta: 300

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años