Question

Un triángulo tiene vértices $P=(-8,5),$ $Q=(-15,-19),$ y $R=(1,-7).$ La ecuación de la bisectriz de $\angle P$ puede escribirse en la forma $ax+2y+c=0.$ Halla $a+c.$

A triangle has vertices $P=(-8,5),$ $Q=(-15,-19),$ and $R=(1,-7).$ The equation of the bisector of $\angle P$ can be written in the form $ax+2y+c=0.$ Find $a+c.$

Respuesta

Respuesta: 89

Conceptos:bisectriz geometría analítica vector

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Halla los vectores unitarios desde $P$ hacia $Q$ y $R$

Find the unit vectors from $P$ toward $Q$ and $R$

Pista grande:

La dirección de la bisectriz interior es la suma de los dos vectores unitarios

The internal angle-bisector direction is the sum of the two unit vectors

Solución:

Tenemos $\overrightarrow{PQ}=(-7,-24)$ de longitud $25,$ y $\overrightarrow{PR}=(9,-12)$ de longitud $15.$ La suma de sus vectores unitarios es $\begin{aligned}v&=\left(-\frac7{25},-\frac{24}{25}\right)\\&\quad+\left(\frac35,-\frac45\right)\\&=\frac1{25}(8,-44),\end{aligned}$ así que la bisectriz tiene dirección $(2,-11).$ Un vector normal es $(11,2).$ Como pasa por $P=(-8,5),$ su ecuación es $11(x+8)+2(y-5)=0,$ o bien $11x+2y+78=0.$ Por consiguiente, $a+c=11+78=89.$

We have $\overrightarrow{PQ}=(-7,-24)$ with length $25,$ and $\overrightarrow{PR}=(9,-12)$ with length $15.$ The sum of their unit vectors is $\begin{aligned}v&=\left(-\frac7{25},-\frac{24}{25}\right)\\&\quad+\left(\frac35,-\frac45\right)\\&=\frac1{25}(8,-44),\end{aligned}$ so the angle bisector has direction $(2,-11).$ A normal vector is $(11,2).$ Through $P=(-8,5),$ its equation is $11(x+8)+2(y-5)=0,$ or $11x+2y+78=0.$ Hence $a+c=11+78=89.$

1990 AIME Problema 7

Respuesta: 89

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años