Question

Las caras $ABC$ y $BCD$ del tetraedro $ABCD$ forman un ángulo diedro de $30^\circ.$ El área de la cara $ABC$ es $120,$ el área de la cara $BCD$ es $80,$ y $BC=10.$ Halla el volumen del tetraedro.

Faces $ABC$ and $BCD$ of tetrahedron $ABCD$ meet at an angle of $30^\circ.$ The area of face $ABC$ is $120,$ the area of face $BCD$ is $80,$ and $BC=10.$ Find the volume of the tetrahedron.

Respuesta

Respuesta: 320

Conceptos:Geometría 3D trigonometría volumen

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Halla las alturas desde $A$ y $D$ hasta la arista común $BC$

Find the altitudes from $A$ and $D$ to the common edge $BC$

Pista grande:

La altura desde $D$ hasta el plano $ABC$ es la altura de su cara multiplicada por $\sin30^\circ$

The height from $D$ to plane $ABC$ is its face altitude multiplied by $\sin30^\circ$

Solución:

Las alturas hasta $BC$ en las caras $ABC$ y $BCD$ son $\frac{2(120)}{10}=24$ y $\frac{2(80)}{10}=16,$ respectivamente. Como el ángulo diedro es $30^\circ,$ la altura perpendicular desde $D$ hasta el plano $ABC$ es $16\sin30^\circ=8.$ Usando la cara $ABC$ como base, el volumen es $\frac13(120)(8)=320.$

The altitudes to $BC$ in faces $ABC$ and $BCD$ are $\frac{2(120)}{10}=24$ and $\frac{2(80)}{10}=16,$ respectively. Because the dihedral angle is $30^\circ,$ the perpendicular height from $D$ to plane $ABC$ is $16\sin30^\circ=8.$ Using face $ABC$ as the base, the volume is $\frac13(120)(8)=320.$

1992 AIME Problema 7

Respuesta: 320

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años