1992 AIME — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

3:00:00

1.

Halla la suma de todos los números racionales positivos menores que $10$ cuyo denominador es $30$ cuando se escriben en su mínima expresión.

Find the sum of all positive rational numbers that are less than $10$ and that have denominator $30$ when written in lowest terms.

Respuesta

Respuesta: 400

Conceptos:Función φ de Euler fracción sumatoria

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Escribe cada número como $\frac{k}{30}$ e impón la condición $\gcd(k,30)=1$

Write every number as $\frac{k}{30}$ and impose the condition $\gcd(k,30)=1$

Pista grande:

Agrupa los numeradores admisibles en diez bloques de longitud $30$

Group the eligible numerators into ten blocks of length $30$

Solución:

Los números son $\frac{k}{30}$ para $1\leq k\lt300$ y $\gcd(k,30)=1.$ Hay $\varphi(30)=8$ residuos admisibles en cada bloque de $30,$ cuya suma es $\frac{30\varphi(30)}{2}=120.$ Por lo tanto, la suma de todos los numeradores admisibles es $\begin{aligned}\sum_{q=0}^9(8\cdot30q+120)&=8\cdot30\cdot45\\&\quad+10\cdot120\\&=12000.\end{aligned}$ Al dividir entre $30$ , se obtiene $400.$

The numbers are $\frac{k}{30}$ for $1\leq k\lt300$ and $\gcd(k,30)=1.$ There are $\varphi(30)=8$ eligible residues in each block of $30,$ and their sum is $\frac{30\varphi(30)}{2}=120.$ Thus the sum of all eligible numerators is $\begin{aligned}\sum_{q=0}^9(8\cdot30q+120)&=8\cdot30\cdot45\\&\quad+10\cdot120\\&=12000.\end{aligned}$ Dividing by $30$ gives $400.$

2.

Se llama ascendente a un entero positivo cuya representación decimal tiene al menos dos cifras y en la que cada cifra es menor que cualquiera de las cifras situadas a su derecha. ¿Cuántos enteros positivos ascendentes hay?

A positive integer is called ascending if, in its decimal representation, there are at least two digits and each digit is less than any digit to its right. How many ascending positive integers are there?

Respuesta

Respuesta: 502

Conceptos:subconjuntos dígitos combinaciones

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Una vez elegido un conjunto de cifras no nulas, el orden queda determinado

Once a set of nonzero digits is chosen, their order is forced

Pista grande:

Excluye los subconjuntos de tamaños $0$ y $1$ de los subconjuntos de $\{1,2,\ldots,9\}$

Exclude subsets of sizes $0$ and $1$ from the subsets of $\{1,2,\ldots,9\}$

Solución:

La cifra $0$ no puede aparecer, pues tendría que ser la primera y los ceros iniciales no forman parte de una representación decimal. Cada subconjunto de al menos dos cifras de $\{1,\ldots,9\}$ produce exactamente un entero ascendente al escribirlas en orden creciente. Por consiguiente, la cantidad es $\begin{aligned}2^9-\binom90-\binom91&=512-1-9\\&=502.\end{aligned}$

The digit $0$ cannot occur, because it would have to be the first digit and leading zeroes are not part of a decimal representation. Every subset of at least two digits from $\{1,\ldots,9\}$ gives exactly one ascending integer when written in increasing order. Hence the number is $\begin{aligned}2^9-\binom90-\binom91&=512-1-9\\&=502.\end{aligned}$

3.

Una tenista calcula su proporción de victorias dividiendo el número de partidos ganados entre el número total de partidos jugados. Al comienzo de un fin de semana, su proporción de victorias es exactamente $0.500.$ Durante ese fin de semana juega cuatro partidos, gana tres y pierde uno. Al terminar el fin de semana, su proporción de victorias es mayor que $0.503.$ ¿Cuál es el mayor número de partidos que podría haber ganado antes de comenzar el fin de semana?

A tennis player computes her win ratio by dividing the number of matches she has won by the total number of matches she has played. At the start of a weekend, her win ratio is exactly $0.500.$ During the weekend, she plays four matches, winning three and losing one. At the end of the weekend, her win ratio is greater than $0.503.$ What’s the largest number of matches she could’ve won before the weekend began?

Respuesta

Respuesta: 164

Conceptos:razón y proporción desigualdad porcentaje

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Si inicialmente había ganado $w$ partidos, una proporción de $0.500$ significa que había jugado $2w$ partidos

If she had $w$ wins initially, a $0.500$ ratio means she had played $2w$ matches

Pista grande:

Expresa la proporción final mediante una desigualdad estricta antes de buscar el mayor entero $w$

Translate the final ratio into a strict inequality before taking the largest integer $w$

Solución:

Si inicialmente había ganado $w$ partidos, entonces había jugado $2w$ partidos. La condición final es $\frac{w+3}{2w+4}\gt\frac{503}{1000}.$ Al multiplicar en cruz se obtiene $1000w+3000\gt1006w+2012,$ de modo que $6w\lt988$ y $w\lt164\frac23.$ El mayor entero posible es $164.$

If she initially had $w$ wins, then she had played $2w$ matches. The final condition is $\frac{w+3}{2w+4}\gt\frac{503}{1000}.$ Cross-multiplication gives $1000w+3000\gt1006w+2012,$ so $6w\lt988$ and $w\lt164\frac23.$ The largest possible integer is $164.$

4.

En el triángulo de Pascal, cada entrada es la suma de las dos entradas situadas sobre ella. A continuación se muestran las primeras filas.

$\begin{array}{rl}0:&1\\1:&1\quad1\\2:&1\quad2\quad1\\3:&1\quad3\quad3\quad1\\4:&1\quad4\quad6\quad4\quad1\\5:&1\quad5\quad10\quad10\quad5\quad1\\6:&1\quad6\quad15\quad20\quad15\quad6\quad1\end{array}$

¿En qué fila del triángulo de Pascal aparecen tres entradas consecutivas en la razón $3:4:5$ ?

In Pascal’s Triangle, each entry is the sum of the two entries above it. The first few rows of the triangle are shown below.

$\begin{array}{rl}0:&1\\1:&1\quad1\\2:&1\quad2\quad1\\3:&1\quad3\quad3\quad1\\4:&1\quad4\quad6\quad4\quad1\\5:&1\quad5\quad10\quad10\quad5\quad1\\6:&1\quad6\quad15\quad20\quad15\quad6\quad1\end{array}$

In which row of Pascal’s Triangle do three consecutive entries occur that are in the ratio $3:4:5?$

Respuesta

Respuesta: 62

Conceptos:Triángulo de Pascal combinaciones sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Representa las tres entradas como $\binom nk,$ $\binom n{k+1},$ y $\binom n{k+2}$

Represent the three entries as $\binom nk,$ $\binom n{k+1},$ and $\binom n{k+2}$

Pista grande:

Usa las razones entre coeficientes binomiales consecutivos para obtener dos ecuaciones lineales en $n$ y $k$

Use the ratios of consecutive binomial coefficients to obtain two linear equations in $n$ and $k$

Solución:

Para tres entradas consecutivas que comienzan en la posición $k,$ $\begin{aligned}\frac{\binom n{k+1}}{\binom nk}&=\frac{n-k}{k+1}=\frac43,\\\frac{\binom n{k+2}}{\binom n{k+1}}&=\frac{n-k-1}{k+2}=\frac54.\end{aligned}$ Por lo tanto, $3n=7k+4$ y $4n=9k+14.$ Al resolver, se obtiene $k=26$ y $n=62.$

For three consecutive entries beginning at position $k,$ $\begin{aligned}\frac{\binom n{k+1}}{\binom nk}&=\frac{n-k}{k+1}=\frac43,\\\frac{\binom n{k+2}}{\binom n{k+1}}&=\frac{n-k-1}{k+2}=\frac54.\end{aligned}$ Thus $3n=7k+4$ and $4n=9k+14.$ Solving gives $k=26$ and $n=62.$

5.

Sea $S$ el conjunto de todos los números racionales $r,$ con $0\lt r\lt1,$ que tienen una expansión decimal periódica de la forma $0.abcabcabc\ldots=0.\overline{abc},$ donde las cifras $a,$ $b$ y $c$ no son necesariamente distintas. Para escribir los elementos de $S$ como fracciones en su mínima expresión, ¿cuántos numeradores distintos se necesitan?

Let $S$ be the set of all rational numbers $r,$ $0\lt r\lt1,$ that have a repeating decimal expansion in the form $0.abcabcabc\ldots=0.\overline{abc},$ where the digits $a,$ $b,$ and $c$ are not necessarily distinct. To write the elements of $S$ as fractions in lowest terms, how many different numerators are required?

Respuesta

Respuesta: 660

Conceptos:decimal periódico máximo común divisor Función φ de Euler

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

Cada elemento tiene la forma $\frac{N}{999}$ , y su denominador reducido debe dividir a $999=3^3\cdot37$

Every element has the form $\frac{N}{999}$ , and its reduced denominator must divide $999=3^3\cdot37$

Pista grande:

Cuenta los numeradores coprimos con $999$ y luego determina qué múltiplos adicionales de $3$ pueden aparecer con denominador $37$

Count numerators coprime to $999$ , then check which additional multiples of $3$ can occur with denominator $37$

Solución:

Cada elemento es $\frac{N}{999}$ para $1\leq N\leq998.$ Cualquier $a$ coprimo con $999$ aparece como numerador reducido con denominador $999,$ lo que da $\varphi(999)=648$ valores. Si $a$ es divisible por $3$ pero no por $37,$ solo puede ser coprimo con un denominador reducido cuando este es $37;$ esto añade los $12$ múltiplos de $3$ menores que $37.$ Un numerador divisible por $37$ necesitaría un denominador que dividiera a $27$ y fuera mayor que él, así que no aparecen más valores. Por lo tanto, el total es $648+12=660.$

Every element is $\frac{N}{999}$ for $1\leq N\leq998.$ Any $a$ coprime to $999$ occurs as a reduced numerator with denominator $999,$ giving $\varphi(999)=648$ values. If $a$ is divisible by $3$ but not $37,$ it can be coprime to a reduced denominator only when that denominator is $37;$ this adds the $12$ multiples of $3$ below $37.$ A numerator divisible by $37$ would need a denominator dividing $27$ and larger than it, so no further values occur. Therefore the total is $648+12=660.$

6.

¿Para cuántos pares de enteros consecutivos de $\{1000,1001,1002,\ldots,2000\}$ no se necesita llevar al sumar los dos enteros?

For how many pairs of consecutive integers in $\{1000,1001,1002,\ldots,2000\}$ is no carrying required when the two integers are added?

Respuesta

Respuesta: 156

Conceptos:dígitos análisis por casos operaciones con números enteros

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Escribe el entero menor como $1abc$ y separa los casos según el número de cifras $9$ finales

Write the smaller integer as $1abc$ and separate cases by the number of trailing $9$ s

Pista grande:

Una cifra que no cambia debe ser a lo sumo $4$ , y la cifra que aumenta en $1$ también debe sumarse sin llevar

A digit that is unchanged must be at most $4$ , and the digit increased by $1$ must also pair without a carry

Solución:

Escribe el número menor como $1abc.$ Si $c\neq9,$ entonces $c\leq4$ y las cifras que no cambian, $a$ y $b,$ son a lo sumo $4,$ lo que da $5^3=125$ pares. Si $c=9$ pero $b\neq9,$ entonces $a\leq4$ y $b\leq4,$ lo que da $25$ pares. Si $b=c=9$ pero $a\neq9,$ hay $5$ opciones para $a.$ Por último, $1999+2000$ tampoco necesita llevar. El total es $125+25+5+1=156.$

Write the smaller number as $1abc.$ If $c\neq9,$ then $c\leq4$ and the unchanged digits $a$ and $b$ are each at most $4,$ giving $5^3=125$ pairs. If $c=9$ but $b\neq9,$ then $a\leq4$ and $b\leq4,$ giving $25$ pairs. If $b=c=9$ but $a\neq9,$ there are $5$ choices for $a.$ Finally, $1999+2000$ also needs no carry. The total is $125+25+5+1=156.$

7.

Las caras $ABC$ y $BCD$ del tetraedro $ABCD$ forman un ángulo diedro de $30^\circ.$ El área de la cara $ABC$ es $120,$ el área de la cara $BCD$ es $80,$ y $BC=10.$ Halla el volumen del tetraedro.

Faces $ABC$ and $BCD$ of tetrahedron $ABCD$ meet at an angle of $30^\circ.$ The area of face $ABC$ is $120,$ the area of face $BCD$ is $80,$ and $BC=10.$ Find the volume of the tetrahedron.

Respuesta

Respuesta: 320

Conceptos:Geometría 3D trigonometría volumen

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Halla las alturas desde $A$ y $D$ hasta la arista común $BC$

Find the altitudes from $A$ and $D$ to the common edge $BC$

Pista grande:

La altura desde $D$ hasta el plano $ABC$ es la altura de su cara multiplicada por $\sin30^\circ$

The height from $D$ to plane $ABC$ is its face altitude multiplied by $\sin30^\circ$

Solución:

Las alturas hasta $BC$ en las caras $ABC$ y $BCD$ son $\frac{2(120)}{10}=24$ y $\frac{2(80)}{10}=16,$ respectivamente. Como el ángulo diedro es $30^\circ,$ la altura perpendicular desde $D$ hasta el plano $ABC$ es $16\sin30^\circ=8.$ Usando la cara $ABC$ como base, el volumen es $\frac13(120)(8)=320.$

The altitudes to $BC$ in faces $ABC$ and $BCD$ are $\frac{2(120)}{10}=24$ and $\frac{2(80)}{10}=16,$ respectively. Because the dihedral angle is $30^\circ,$ the perpendicular height from $D$ to plane $ABC$ is $16\sin30^\circ=8.$ Using face $ABC$ as the base, the volume is $\frac13(120)(8)=320.$

8.

Para cualquier sucesión de números reales $A=(a_1,a_2,a_3,\ldots),$ define $\Delta A$ como la sucesión $(a_2-a_1,a_3-a_2,a_4-a_3,\ldots),$ cuyo término $n$ -ésimo es $a_{n+1}-a_n.$ Supón que todos los términos de la sucesión $\Delta(\Delta A)$ son $1,$ y que $a_{19}=a_{92}=0.$ Halla $a_1.$

For any sequence of real numbers $A=(a_1,a_2,a_3,\ldots),$ define $\Delta A$ to be the sequence $(a_2-a_1,a_3-a_2,a_4-a_3,\ldots),$ whose $n$ th term is $a_{n+1}-a_n.$ Suppose that all of the terms of the sequence $\Delta(\Delta A)$ are $1,$ and that $a_{19}=a_{92}=0.$ Find $a_1.$

Respuesta

Respuesta: 819

Conceptos:cuadrática recursión factorización

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Una sucesión con segunda diferencia constante igual a $1$ viene dada por un polinomio cuadrático con coeficiente principal $\frac{1}{2}$

A sequence with constant second difference $1$ is given by a quadratic with leading coefficient $\frac{1}{2}$

Pista grande:

Usa los dos términos nulos para escribir el polinomio cuadrático en forma factorizada

Use the two zero terms to write the quadratic in factored form

Solución:

Una sucesión cuadrática con segunda diferencia $1$ tiene coeficiente principal $\frac{1}{2}.$ Como sus valores se anulan en los índices $19$ y $92,$ $a_n=\frac12(n-19)(n-92).$ Por lo tanto, $a_1=\frac12(-18)(-91)=819.$

A quadratic sequence with second difference $1$ has leading coefficient $\frac{1}{2}.$ Since its values vanish at indices $19$ and $92,$ $a_n=\frac12(n-19)(n-92).$ Therefore $a_1=\frac12(-18)(-91)=819.$

9.

El trapecio $ABCD$ tiene lados $AB=92,$ $BC=50,$ $CD=19$ y $AD=70,$ con $AB$ paralelo a $CD.$ Se traza un círculo con centro $P$ sobre $AB$ , tangente a $BC$ y $AD.$ Dado que $AP=\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos, halla $m+n.$

Trapezoid $ABCD$ has sides $AB=92,$ $BC=50,$ $CD=19,$ and $AD=70,$ with $AB$ parallel to $CD.$ A circle with center $P$ on $AB$ is drawn tangent to $BC$ and $AD.$ Given that $AP=\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m+n.$

Respuesta

Respuesta: 164

Conceptos:geometría analítica trapecio circunferencias tangentes

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Coloca $AB$ sobre el eje $x$ y compara las distancias de $P$ a los dos lados no paralelos

Put $AB$ on the $x$ -axis and compare the distances from $P$ to the two legs

Pista grande:

La altura común del trapecio se cancela y queda una ecuación con $AP$ y $PB$ divididos entre las longitudes de los lados no paralelos

The common trapezoid height cancels, leaving an equation involving $AP$ and $PB$ divided by the leg lengths

Solución:

Toma $A=(0,0),$ $B=(92,0),$ y sea $h$ la altura del trapecio. Si $P=(p,0),$ sus distancias perpendiculares a los lados $AD$ y $BC$ son $\frac{hp}{70}$ y $\frac{h(92-p)}{50},$ respectivamente. La tangencia con ambos lados hace que estas distancias sean iguales, así que $\frac p{70}=\frac{92-p}{50}.$ Por consiguiente, $120p=6440$ y $AP=p=\frac{161}{3}.$ Por lo tanto, $m+n=161+3=164.$

Put $A=(0,0),$ $B=(92,0),$ and let the height of the trapezoid be $h.$ If $P=(p,0),$ its perpendicular distances to legs $AD$ and $BC$ are $\frac{hp}{70}$ and $\frac{h(92-p)}{50},$ respectively. Tangency to both legs makes these equal, so $\frac p{70}=\frac{92-p}{50}.$ Hence $120p=6440$ and $AP=p=\frac{161}{3}.$ Therefore $m+n=161+3=164.$

10.

Considera la región $A$ del plano complejo formada por todos los puntos $z$ tales que tanto $\frac{z}{40}$ como $\frac{40}{\overline z}$ tienen sus partes real e imaginaria entre $0$ y $1,$ inclusive. ¿Cuál es el entero más cercano al área de $A$ ?

Consider the region $A$ in the complex plane that consists of all points $z$ such that both $\frac{z}{40}$ and $\frac{40}{\overline z}$ have real and imaginary parts between $0$ and $1,$ inclusive. What is the integer that is nearest the area of $A?$

Respuesta

Respuesta: 572

Conceptos:número complejo área del círculo inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Escribe $z=x+iy$ ; la primera condición da un cuadrado y la segunda da dos desigualdades que describen círculos

Write $z=x+iy$ ; the first condition gives a square, and the second gives two circle inequalities

Pista grande:

Resta del cuadrado de $40$ por $40$ la unión de dos semicírculos, teniendo en cuenta su intersección en forma de lente

Subtract from the $40$ -by- $40$ square the union of two semicircles, accounting for their lens-shaped overlap

Solución:

Escribe $z=x+iy.$ La condición sobre $\frac{z}{40}$ da $0\leq x\leq40$ y $0\leq y\leq40.$ Como $\frac{40}{\overline z}=\frac{40x}{x^2+y^2}+i\frac{40y}{x^2+y^2},$ la otra condición exige $x^2+y^2\geq40x$ y $x^2+y^2\geq40y.$ Por lo tanto, dentro del cuadrado se eliminan dos semicírculos de radio $20.$

Su intersección es la lente formada por dos círculos de radio $20$ cuyos centros distan $20\sqrt2$ . Su área es $200\pi-400.$ Así, la unión eliminada tiene área $400\pi-(200\pi-400)$ , es decir, $200\pi+400.$ Sea $K$ el área de $A.$ Entonces $\begin{aligned}K&=1600-(200\pi+400)\\&=1200-200\pi\\&\approx571.68.\end{aligned}$ El entero más cercano es $572.$

Write $z=x+iy.$ The condition on $\frac{z}{40}$ gives $0\leq x\leq40$ and $0\leq y\leq40.$ Since $\frac{40}{\overline z}=\frac{40x}{x^2+y^2}+i\frac{40y}{x^2+y^2},$ the other condition requires $x^2+y^2\geq40x$ and $x^2+y^2\geq40y.$ Thus, within the square, we remove two semicircles of radius $20.$

Their overlap is the lens formed by two radius- $20$ circles whose centers are $20\sqrt2$ apart. Its area is $200\pi-400.$ Hence the removed union has area $400\pi-(200\pi-400)$ , or $200\pi+400.$ Let $K$ denote the area of $A.$ Then $\begin{aligned}K&=1600-(200\pi+400)\\&=1200-200\pi\\&\approx571.68.\end{aligned}$ The nearest integer is $572.$

11.

Las rectas $l_1$ y $l_2$ pasan por el origen y forman, respectivamente, ángulos del primer cuadrante de $\frac{\pi}{70}$ y $\frac{\pi}{54}$ radianes con el semieje positivo $x$ . Para cualquier recta $l,$ la transformación $R(l)$ produce otra recta de la siguiente manera: se refleja $l$ respecto de $l_1,$ y luego la recta resultante se refleja respecto de $l_2.$ Sea $R^{(1)}(l)=R(l)$ y $R^{(n)}(l)=R(R^{(n-1)}(l)).$ Dado que $l$ es la recta $y=(\frac{19}{92})x,$ halla el menor entero positivo $m$ para el cual $R^{(m)}(l)=l.$

Lines $l_1$ and $l_2$ both pass through the origin and make first-quadrant angles of $\frac{\pi}{70}$ and $\frac{\pi}{54}$ radians, respectively, with the positive $x$ -axis. For any line $l,$ the transformation $R(l)$ produces another line as follows: $l$ is reflected in $l_1,$ and the resulting line is reflected in $l_2.$ Let $R^{(1)}(l)=R(l)$ and $R^{(n)}(l)=R(R^{(n-1)}(l)).$ Given that $l$ is the line $y=(\frac{19}{92})x,$ find the smallest positive integer $m$ for which $R^{(m)}(l)=l.$

Respuesta

Respuesta: 945

Conceptos:reflexión (geometría)transformación aritmética modular

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Dos reflexiones respecto de rectas que se cortan equivalen a una rotación del doble del ángulo entre ellas

Two reflections in intersecting lines compose to a rotation through twice the angle between the lines

Pista grande:

Una recta no orientada vuelve a coincidir consigo misma cuando la rotación acumulada es un múltiplo de $\pi$

An unoriented line returns to itself when its accumulated rotation is a multiple of $\pi$

Solución:

La composición es una rotación de $2\left(\frac{\pi}{54}-\frac{\pi}{70}\right)=\frac{8\pi}{945}.$ Una recta que pasa por el origen queda inalterada por una rotación exactamente cuando el ángulo de rotación es un múltiplo de $\pi.$ Por lo tanto, $m$ debe satisfacer $\frac{8m}{945}\in\mathbb Z.$ Como $\gcd(8,945)=1,$ el menor valor de $m$ es $945.$

The composition is rotation through $2\left(\frac{\pi}{54}-\frac{\pi}{70}\right)=\frac{8\pi}{945}.$ A line through the origin is unchanged by a rotation exactly when the rotation angle is a multiple of $\pi.$ Thus $m$ must satisfy $\frac{8m}{945}\in\mathbb Z.$ Since $\gcd(8,945)=1,$ the least such $m$ is $945.$

12.

En un juego de Chomp, dos jugadores se turnan para dar mordiscos a una cuadrícula de $5$ por $7$ cuadrados unitarios. Para dar un mordisco, un jugador elige uno de los cuadrados restantes y luego elimina (“come”) todos los cuadrados del cuadrante definido por el borde izquierdo del cuadrado elegido, prolongado hacia arriba, y su borde inferior, prolongado hacia la derecha. Por ejemplo, el mordisco determinado por el cuadrado sombreado del diagrama eliminaría ese cuadrado y los cuatro cuadrados marcados con $\times.$ (Los cuadrados con dos o más bordes punteados fueron eliminados del tablero original en jugadas anteriores.)

El objetivo del juego es obligar al oponente a dar el último mordisco. El diagrama muestra uno de los muchos subconjuntos del conjunto de $35$ cuadrados unitarios que pueden aparecer durante una partida de Chomp. ¿Cuántos subconjuntos distintos hay en total? Incluye en el conteo el tablero completo y el tablero vacío.

In a game of Chomp, two players alternately take bites from a $5$ -by- $7$ grid of unit squares. To take a bite, a player chooses one of the remaining squares, then removes (“eats”) all squares in the quadrant defined by the left edge (extended upward) and the lower edge (extended rightward) of the chosen square. For example, the bite determined by the shaded square in the diagram would remove the shaded square and the four squares marked by $\times.$ (The squares with two or more dotted edges have been removed from the original board in previous moves.)

The object of the game is to make one’s opponent take the last bite. The diagram shows one of the many subsets of the set of $35$ unit squares that can occur during the game of Chomp. How many different subsets are there in all? Include the full board and empty board in your count.

Respuesta

Respuesta: 792

Conceptos:caminos reticulares combinaciones subconjuntos

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

Un conjunto alcanzable queda determinado por alturas de columnas no crecientes entre $0$ y $5$

A reachable set is determined by nonincreasing column heights between $0$ and $5$

Pista grande:

Codifica el borde de tal conjunto como un camino reticular con $5$ pasos verticales y $7$ horizontales

Encode the boundary of such a set as a lattice path with $5$ vertical and $7$ horizontal steps

Solución:

Después de cualquier sucesión de mordiscos, los cuadrados restantes forman un conjunto cerrado hacia abajo y hacia la izquierda: las alturas de las siete columnas son enteros no crecientes entre $0$ y $5.$ Recíprocamente, todo borde de este tipo puede producirse y corresponde a un camino reticular a través de un rectángulo de $5$ por $7$ . Cada camino consta de $5$ pasos verticales y $7$ horizontales, así que el número de estados, incluidos el completo y el vacío, es $\binom{12}{5}=792.$

After any sequence of bites, the remaining squares form a lower-left order ideal: the seven column heights are nonincreasing integers between $0$ and $5.$ Conversely, every such boundary can be produced and corresponds to a lattice path across a $5$ -by- $7$ rectangle. Each path consists of $5$ vertical and $7$ horizontal steps, so the number of states, including full and empty, is $\binom{12}{5}=792.$

13.

El triángulo $ABC$ satisface $AB=9$ y $BC:AC=40:41.$ ¿Cuál es el área máxima que puede tener?

Triangle $ABC$ has $AB=9$ and $BC:AC=40:41.$ What’s the largest area that this triangle can have?

Respuesta

Respuesta: 820

Conceptos:área del triángulo ley de los cosenos optimización

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Toma $BC=40t,$ $AC=41t,$ y aplica la ley de los cosenos con $AB=9$

Set $BC=40t,$ $AC=41t,$ and use the Law of Cosines with $AB=9$

Pista grande:

Expresa el área como función de $\cos C$ y maximiza su cuadrado

Express the area as a function of $\cos C$ and maximize its square

Solución:

Toma $BC=40t,$ $AC=41t,$ y $x=\cos C.$ La ley de los cosenos da $81=t^2(3281-3280x),$ mientras que el área es $820t^2\sqrt{1-x^2}.$ Por consiguiente, es igual a $820\cdot81\,\frac{\sqrt{1-x^2}}{3281-3280x}.$ Al derivar su logaritmo, se observa que el máximo ocurre cuando $x=\frac{3280}{3281}.$ Entonces $\sqrt{1-x^2}=\frac{81}{3281}$ y $3281-3280x=\frac{6561}{3281},$ de modo que el área máxima es $820.$

Set $BC=40t,$ $AC=41t,$ and $x=\cos C.$ The Law of Cosines gives $81=t^2(3281-3280x),$ while the area is $820t^2\sqrt{1-x^2}.$ Hence it equals $820\cdot81\,\frac{\sqrt{1-x^2}}{3281-3280x}.$ Differentiating its logarithm shows the maximum occurs at $x=\frac{3280}{3281}.$ Then $\sqrt{1-x^2}=\frac{81}{3281}$ and $3281-3280x=\frac{6561}{3281},$ so the maximum area is $820.$

14.

En el triángulo $ABC,$ los puntos $A',$ $B'$ y $C'$ están sobre los lados $BC,$ $AC$ y $AB,$ respectivamente. Dado que $AA',$ $BB'$ y $CC'$ concurren en el punto $O,$ y que $\frac{AO}{OA'}+\frac{BO}{OB'}+\frac{CO}{OC'}=92,$ halla $\frac{AO}{OA'}\cdot\frac{BO}{OB'}\cdot\frac{CO}{OC'}.$

In triangle $ABC,$ $A',$ $B',$ and $C'$ are on the sides $BC,$ $AC,$ and $AB,$ respectively. Given that $AA',$ $BB',$ and $CC'$ are concurrent at the point $O,$ and that $\frac{AO}{OA'}+\frac{BO}{OB'}+\frac{CO}{OC'}=92,$ find $\frac{AO}{OA'}\cdot\frac{BO}{OB'}\cdot\frac{CO}{OC'}.$

Respuesta

Respuesta: 94

Conceptos:puntos de masa razón y proporción manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Sean $(\alpha,\beta,\gamma)$ las coordenadas baricéntricas normalizadas de $O$

Let $(\alpha,\beta,\gamma)$ be normalized barycentric coordinates of $O$

Pista grande:

Escribe las tres razones como $\frac{1-\alpha}{\alpha}$ , $\frac{1-\beta}{\beta}$ y $\frac{1-\gamma}{\gamma}$

Write the three ratios as $\frac{1-\alpha}{\alpha}$ , $\frac{1-\beta}{\beta}$ , and $\frac{1-\gamma}{\gamma}$

Solución:

Sean $\alpha+\beta+\gamma=1$ las coordenadas baricéntricas de $O.$ Entonces $\begin{aligned}x=\frac{AO}{OA'}&=\frac{\beta+\gamma}{\alpha},\\y=\frac{BO}{OB'}&=\frac{\gamma+\alpha}{\beta},\\z=\frac{CO}{OC'}&=\frac{\alpha+\beta}{\gamma}.\end{aligned}$ Al desarrollar ambos lados y usar $\alpha+\beta+\gamma=1$ , se obtiene la identidad $xyz=x+y+z+2.$ Como $x+y+z=92,$ el producto pedido es $94.$

Let $\alpha+\beta+\gamma=1$ be the barycentric coordinates of $O.$ Then $\begin{aligned}x=\frac{AO}{OA'}&=\frac{\beta+\gamma}{\alpha},\\y=\frac{BO}{OB'}&=\frac{\gamma+\alpha}{\beta},\\z=\frac{CO}{OC'}&=\frac{\alpha+\beta}{\gamma}.\end{aligned}$ Expanding both sides using $\alpha+\beta+\gamma=1$ gives the standard identity $xyz=x+y+z+2.$ Since $x+y+z=92,$ the requested product is $94.$

15.

Se dice que un entero positivo $n$ es una cola factorial si existe algún entero positivo $m$ tal que la representación decimal de $m!$ termina exactamente en $n$ ceros. ¿Cuántos enteros positivos menores que $1992$ no son colas factoriales?

Define a positive integer $n$ to be a factorial tail if there is some positive integer $m$ such that the decimal representation of $m!$ ends with exactly $n$ zeroes. How many positive integers less than $1992$ are not factorial tails?

Respuesta

Respuesta: 396

Conceptos:ceros finales factorial conteo complementario

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Sea $f(m)=\sum_{j\geq1}\lfloor \frac{m}{5^j}\rfloor$ , el número de ceros finales de $m!$

Let $f(m)=\sum_{j\geq1}\lfloor \frac{m}{5^j}\rfloor$ , the number of trailing zeroes in $m!$

Pista grande:

Cada valor positivo que toma $f$ aparece por primera vez en algún múltiplo $5k$ , donde $f(5k)=k+f(k)$

Every positive value attained by $f$ first appears at a multiple $5k$ , where $f(5k)=k+f(k)$

Solución:

El número de ceros finales es $f(m)=\sum_{j\geq1}\lfloor \frac{m}{5^j}\rfloor.$ Sus distintos valores positivos aparecen en los múltiplos $5k,$ y $f(5k)=k+f(k)$ es estrictamente creciente con $k.$ Ahora, $\begin{aligned}f(1595)&=319+63\\&\quad+12+2=396,\end{aligned}$ así que $f(7975)=1595+396=1991.$ Para $k=1596,$ el mismo cálculo da $f(k)=396,$ y por eso $f(5k)=1992.$ Por lo tanto, exactamente $1595$ valores positivos hasta $1991$ son colas factoriales. De los $1991$ enteros positivos menores que $1992,$ la cantidad omitida es $1991-1595=396.$

The number of trailing zeroes is $f(m)=\sum_{j\geq1}\lfloor \frac{m}{5^j}\rfloor.$ Its positive distinct values occur at the multiples $5k,$ and $f(5k)=k+f(k)$ is strictly increasing with $k.$ Now $\begin{aligned}f(1595)&=319+63\\&\quad+12+2=396,\end{aligned}$ so $f(7975)=1595+396=1991.$ For $k=1596,$ the same calculation gives $f(k)=396,$ hence $f(5k)=1992.$ Therefore exactly $1595$ positive values through $1991$ are factorial tails. Of the $1991$ positive integers below $1992,$ the number omitted is $1991-1595=396.$

Problemas del 1992 AIME

Respuesta: 400

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 502

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: 164

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 62

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: 660

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: 156

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: 320

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: 819

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: 164

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: 572

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: 945

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 792

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 820

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 94

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: 396

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución: