Question

Las rectas $l_1$ y $l_2$ pasan por el origen y forman, respectivamente, ángulos del primer cuadrante de $\frac{\pi}{70}$ y $\frac{\pi}{54}$ radianes con el semieje positivo $x$ . Para cualquier recta $l,$ la transformación $R(l)$ produce otra recta de la siguiente manera: se refleja $l$ respecto de $l_1,$ y luego la recta resultante se refleja respecto de $l_2.$ Sea $R^{(1)}(l)=R(l)$ y $R^{(n)}(l)=R(R^{(n-1)}(l)).$ Dado que $l$ es la recta $y=(\frac{19}{92})x,$ halla el menor entero positivo $m$ para el cual $R^{(m)}(l)=l.$

Lines $l_1$ and $l_2$ both pass through the origin and make first-quadrant angles of $\frac{\pi}{70}$ and $\frac{\pi}{54}$ radians, respectively, with the positive $x$ -axis. For any line $l,$ the transformation $R(l)$ produces another line as follows: $l$ is reflected in $l_1,$ and the resulting line is reflected in $l_2.$ Let $R^{(1)}(l)=R(l)$ and $R^{(n)}(l)=R(R^{(n-1)}(l)).$ Given that $l$ is the line $y=(\frac{19}{92})x,$ find the smallest positive integer $m$ for which $R^{(m)}(l)=l.$

Respuesta

Respuesta: 945

Conceptos:reflexión (geometría)transformación aritmética modular

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Dos reflexiones respecto de rectas que se cortan equivalen a una rotación del doble del ángulo entre ellas

Two reflections in intersecting lines compose to a rotation through twice the angle between the lines

Pista grande:

Una recta no orientada vuelve a coincidir consigo misma cuando la rotación acumulada es un múltiplo de $\pi$

An unoriented line returns to itself when its accumulated rotation is a multiple of $\pi$

Solución:

La composición es una rotación de $2\left(\frac{\pi}{54}-\frac{\pi}{70}\right)=\frac{8\pi}{945}.$ Una recta que pasa por el origen queda inalterada por una rotación exactamente cuando el ángulo de rotación es un múltiplo de $\pi.$ Por lo tanto, $m$ debe satisfacer $\frac{8m}{945}\in\mathbb Z.$ Como $\gcd(8,945)=1,$ el menor valor de $m$ es $945.$

The composition is rotation through $2\left(\frac{\pi}{54}-\frac{\pi}{70}\right)=\frac{8\pi}{945}.$ A line through the origin is unchanged by a rotation exactly when the rotation angle is a multiple of $\pi.$ Thus $m$ must satisfy $\frac{8m}{945}\in\mathbb Z.$ Since $\gcd(8,945)=1,$ the least such $m$ is $945.$

1992 AIME Problema 11

Respuesta: 945

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años