Question

El triángulo $ABC$ tiene lados de longitud entera positiva con $AB = AC.$ Sea $I$ la intersección de las bisectrices de $\angle B$ y $\angle C.$ Supón que $BI = 8.$ Halla el menor perímetro posible de $\triangle ABC.$

Triangle $ABC$ has positive integer side lengths with $AB = AC.$ Let $I$ be the intersection of the bisectors of $\angle B$ and $\angle C.$ Suppose $BI = 8.$ Find the smallest possible perimeter of $\triangle ABC.$

Respuesta

Solución:

Sea $M$ el punto medio de $\overline{BC};$ por simetría $A,$ $I,$ y $M$ son colineales con $AM \perp BC.$ Con $a = AB$ y $b = BM,$ los triángulos rectángulos $ABM$ e $IBM$ dan $\cos\angle ABM = \frac{b}{a}$ y $\cos\angle IBM = \frac{b}{8}.$ Como $BI$ bisecta $\angle ABM,$ la fórmula del ángulo doble da $\frac{b}{a} = 2\left(\frac{b}{8}\right)^2 - 1,$ así que $a = \frac{32b}{b^2 - 32}.$

Escribiendo $c = BC = 2b,$ esto se convierte en $a = \frac{64c}{c^2 - 128}.$ Necesitamos $c^2 \gt 128,$ así que $c \ge 12,$ mientras que $\cos\angle IBM = \frac{b}{8} \lt 1$ obliga a $c \lt 16.$ Probando $c = 12, 13, 14, 15,$ solo $c = 12$ hace que $a$ sea entero, a saber $a = \frac{768}{16} = 48.$

El triángulo con lados $48,$ $48,$ $12$ satisface todas las condiciones, y su perímetro es $48 + 48 + 12 = 108.$

Let $M$ be the midpoint of $\overline{BC};$ by symmetry $A,$ $I,$ and $M$ are collinear with $AM \perp BC.$ With $a = AB$ and $b = BM,$ right triangles $ABM$ and $IBM$ give $\cos\angle ABM = \frac{b}{a}$ and $\cos\angle IBM = \frac{b}{8}.$ Since $BI$ bisects $\angle ABM,$ the double-angle formula yields $\frac{b}{a} = 2\left(\frac{b}{8}\right)^2 - 1,$ so $a = \frac{32b}{b^2 - 32}.$

Writing $c = BC = 2b,$ this becomes $a = \frac{64c}{c^2 - 128}.$ We need $c^2 \gt 128,$ so $c \ge 12,$ while $\cos\angle IBM = \frac{b}{8} \lt 1$ forces $c \lt 16.$ Testing $c = 12, 13, 14, 15,$ only $c = 12$ makes $a$ an integer, namely $a = \frac{768}{16} = 48.$

The triangle with sides $48,$ $48,$ $12$ satisfies all the conditions, and its perimeter is $48 + 48 + 12 = 108.$

2015 AIME I Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años