Question

Sea $m$ un entero positivo, y sea $a_0, a_1, \ldots, a_m$ una sucesión de números reales tal que $a_0 = 37$ , $a_1 = 72$ , $a_m = 0$ , y $a_{k+1} = a_{k-1} - \frac{3}{a_k}$ para $k = 1, 2, \ldots, m - 1$ . Halla $m$ .

Let $m$ be a positive integer, and let $a_0, a_1, \ldots, a_m$ be a sequence of real numbers such that $a_0 = 37,$ $a_1 = 72,$ $a_m = 0,$ and $a_{k+1} = a_{k-1} - \frac{3}{a_k}$ for $k = 1, 2, \ldots, m - 1.$ Find $m.$

Respuesta

Solución:

Multiplicar la recurrencia por $a_k$ da $a_{k+1} a_k = a_k a_{k-1} - 3$ , así que los productos $b_k = a_k a_{k-1}$ forman una sucesión aritmética con diferencia común $-3$ . Como $b_1 = 72 \cdot 37 = 2664 = 3 \cdot 888$ , obtenemos $\begin{aligned} b_k &= 2664 - 3(k - 1) \\ &= 3(889 - k). \end{aligned}$

Así que $b_k \gt 0$ para $k \le 888$ , de modo que ningún término antes de $a_{889}$ puede anularse (y la recurrencia nunca divide por cero), mientras que $b_{889} = a_{889} a_{888} = 0$ con $a_{888} \ne 0$ . Por lo tanto $a_{889} = 0$ , y $m = 889$ .

Multiplying the recurrence by $a_k$ gives $a_{k+1} a_k = a_k a_{k-1} - 3,$ so the products $b_k = a_k a_{k-1}$ form an arithmetic sequence with common difference $-3.$ Since $b_1 = 72 \cdot 37 = 2664 = 3 \cdot 888,$ we get $\begin{aligned} b_k &= 2664 - 3(k - 1) \\ &= 3(889 - k). \end{aligned}$

Thus $b_k \gt 0$ for $k \le 888,$ so no term before $a_{889}$ can vanish (and the recurrence never divides by zero), while $b_{889} = a_{889} a_{888} = 0$ with $a_{888} \ne 0.$ Hence $a_{889} = 0,$ and $m = 889.$

2005 AIME II Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años