Question

Sea $ABCD$ un paralelogramo con $\angle BAD \lt 90^\circ.$ Una circunferencia tangente a los lados $\overline{DA},$ $\overline{AB},$ y $\overline{BC}$ corta a la diagonal $\overline{AC}$ en los puntos $P$ y $Q$ con $AP \lt AQ,$ como se muestra. Supón que $AP = 3,$ $PQ = 9,$ y $QC = 16.$ Entonces el área de $ABCD$ puede expresarse en la forma $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos, y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $m + n.$

Let $ABCD$ be a parallelogram with $\angle BAD \lt 90^\circ.$ A circle tangent to sides $\overline{DA},$ $\overline{AB},$ and $\overline{BC}$ intersects diagonal $\overline{AC}$ at points $P$ and $Q$ with $AP \lt AQ,$ as shown. Suppose that $AP = 3,$ $PQ = 9,$ and $QC = 16.$ Then the area of $ABCD$ can be expressed in the form $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers, and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Por la potencia de un punto, $AP \cdot AQ = 3 \cdot 12 = 36$ y $CQ \cdot CP = 16 \cdot 25 = 400,$ así que las longitudes de tangente desde $A$ y $C$ son $6$ y $20.$ El punto de tangencia sobre $\overline{AB}$ está a $6$ de $A,$ y por tanto a $AB - 6$ de $B;$ tangentes iguales desde $B$ colocan el punto de tangencia sobre $\overline{BC}$ a esa misma distancia de $B,$ así que su distancia a $C$ es $BC - (AB - 6) = 20,$ lo que da $BC = AB + 14.$

Sea $\angle BAD = 2\theta.$ El centro está sobre la bisectriz de $\angle A$ con longitud de tangente desde $A$ igual a $6,$ así que el radio es $\rho = 6\tan\theta.$ La circunferencia es tangente a ambas rectas paralelas $AD$ y $BC,$ cuya distancia entre sí es $AB \sin 2\theta,$ así que $AB \sin 2\theta = 2\rho = 12 \tan\theta,$ que se simplifica a $AB \cos^2\theta = 6.$ En el triángulo $ABC,$ $\angle ABC = 180^\circ - 2\theta$ y $AC = 3 + 9 + 16 = 28,$ así que la ley de cosenos da $\begin{aligned} 784 &= AB^2 + BC^2 \\ &\quad {}+ 2 \cdot AB \cdot BC \cos 2\theta. \end{aligned}$ Sustituyendo $BC = AB + 14$ y $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1,$ los términos en $AB^2$ se cancelan y, usando $AB\cos^2\theta = 6,$ la ecuación se reduce a $24\,AB + 336 + 196 = 784,$ así que $AB = \frac{21}{2}$ y $\cos^2\theta = \frac{4}{7}.$

Entonces $\sin 2\theta = 2\sqrt{\frac{3}{7}}\sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{4\sqrt{3}}{7},$ y el área es $\begin{aligned} &AB \cdot BC \sin 2\theta \\ &= \frac{21}{2} \cdot \frac{49}{2} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} \\ &= 147\sqrt{3}, \end{aligned}$ así que $m + n = 147 + 3 = 150.$

By power of a point, $AP \cdot AQ = 3 \cdot 12 = 36$ and $CQ \cdot CP = 16 \cdot 25 = 400,$ so the tangent lengths from $A$ and $C$ are $6$ and $20.$ The tangent point on $\overline{AB}$ is $6$ from $A,$ hence $AB - 6$ from $B;$ equal tangents from $B$ put the tangent point on $\overline{BC}$ at that same distance from $B,$ so its distance from $C$ is $BC - (AB - 6) = 20,$ giving $BC = AB + 14.$

Let $\angle BAD = 2\theta.$ The center lies on the bisector of $\angle A$ with the tangent length from $A$ equal to $6,$ so the radius is $\rho = 6\tan\theta.$ The circle is tangent to both parallel lines $AD$ and $BC,$ whose distance apart is $AB \sin 2\theta,$ so $AB \sin 2\theta = 2\rho = 12 \tan\theta,$ which simplifies to $AB \cos^2\theta = 6.$ In triangle $ABC,$ $\angle ABC = 180^\circ - 2\theta$ and $AC = 3 + 9 + 16 = 28,$ so the law of cosines gives $\begin{aligned} 784 &= AB^2 + BC^2 \\ &\quad {}+ 2 \cdot AB \cdot BC \cos 2\theta. \end{aligned}$ Substituting $BC = AB + 14$ and $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1,$ the $AB^2$ terms cancel and, using $AB\cos^2\theta = 6,$ the equation collapses to $24\,AB + 336 + 196 = 784,$ so $AB = \frac{21}{2}$ and $\cos^2\theta = \frac{4}{7}.$

Then $\sin 2\theta = 2\sqrt{\frac{3}{7}}\sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{4\sqrt{3}}{7},$ and the area is $\begin{aligned} &AB \cdot BC \sin 2\theta \\ &= \frac{21}{2} \cdot \frac{49}{2} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} \\ &= 147\sqrt{3}, \end{aligned}$ so $m + n = 147 + 3 = 150.$

2022 AIME I Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años