Question

Una función lineal a trozos se define por $f(x) = \begin{cases} x & \text{if } -1 \le x \lt 1 \\ 2 - x & \text{if } 1 \le x \lt 3 \end{cases}$ y $f(x + 4) = f(x)$ para todo número real $x.$ La gráfica de $f(x)$ tiene el patrón de diente de sierra que se muestra abajo.

La parábola $x = 34y^2$ interseca la gráfica de $f(x)$ en un número finito de puntos. La suma de las coordenadas $y$ de todos estos puntos de intersección se puede expresar en la forma $\frac{a + b\sqrt{c}}{d},$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son enteros positivos tales que $a,$ $b,$ $d$ tienen máximo común divisor igual a $1,$ y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $a + b + c + d.$

A piecewise linear function is defined by $f(x) = \begin{cases} x & \text{if } -1 \le x \lt 1 \\ 2 - x & \text{if } 1 \le x \lt 3 \end{cases}$ and $f(x + 4) = f(x)$ for all real numbers $x.$ The graph of $f(x)$ has the sawtooth pattern depicted below.

The parabola $x = 34y^2$ intersects the graph of $f(x)$ at finitely many points. The sum of the $y$ -coordinates of all these intersection points can be expressed in the form $\frac{a + b\sqrt{c}}{d},$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers such that $a,$ $b,$ $d$ have greatest common divisor equal to $1,$ and $c$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c + d.$

Respuesta

Solución:

Como $f$ solo toma valores en $[-1, 1],$ toda intersección cumple $-1 \le y \le 1$ y por lo tanto $x = 34y^2 \in [0, 34].$ En los trozos ascendentes, $x \in [4k - 1, 4k + 1)$ con $f(x) = x - 4k,$ así que $y = f(34y^2)$ se convierte en $34y^2 - y - 4k = 0;$ en los trozos descendentes, $x \in [4k + 1, 4k + 3)$ con $f(x) = 4k + 2 - x,$ lo que da $34y^2 + y - (4k + 2) = 0.$ En cada caso una raíz es válida exactamente cuando está en $[-1, 1)$ (ascendente) o $(-1, 1]$ (descendente), pues entonces $x = 34y^2$ cae automáticamente en el intervalo correcto.

Para los trozos ascendentes las raíces son $\frac{1 \pm \sqrt{1 + 544k}}{68},$ y ambas son válidas exactamente cuando $\sqrt{1 + 544k} \le 67,$ es decir para $k = 0, 1, \ldots, 8:$ nueve cuadráticas, cada una aportando suma de raíces $\frac{1}{34}$ por Vieta. Para los trozos descendentes las raíces son $\frac{-1 \pm \sqrt{544k + 273}}{68}.$ La raíz con el signo menos exige $\sqrt{544k + 273} \lt 67,$ lo que se cumple para $k = 0, \ldots, 7;$ esas ocho cuadráticas aportan cada una $-\frac{1}{34}.$ Para $k = 8$ solo la raíz positiva $\frac{-1 + \sqrt{4625}}{68} = \frac{-1 + 5\sqrt{185}}{68}$ es válida.

El total es $\begin{aligned} &\frac{9}{34} - \frac{8}{34} + \frac{-1 + 5\sqrt{185}}{68} \\ &\quad = \frac{1 + 5\sqrt{185}}{68}, \end{aligned}$ y $185 = 5 \cdot 37$ es libre de cuadrados, así que $a + b + c + d$ $= 1 + 5 + 185 + 68$ $= 259.$

Since $f$ only takes values in $[-1, 1],$ any intersection has $-1 \le y \le 1$ and hence $x = 34y^2 \in [0, 34].$ On the rising pieces, $x \in [4k - 1, 4k + 1)$ with $f(x) = x - 4k,$ so $y = f(34y^2)$ becomes $34y^2 - y - 4k = 0;$ on the falling pieces, $x \in [4k + 1, 4k + 3)$ with $f(x) = 4k + 2 - x,$ giving $34y^2 + y - (4k + 2) = 0.$ In each case a root is valid exactly when it lies in $[-1, 1)$ (rising) or $(-1, 1]$ (falling), since then $x = 34y^2$ automatically falls in the correct interval.

For the rising pieces the roots are $\frac{1 \pm \sqrt{1 + 544k}}{68},$ and both are valid exactly when $\sqrt{1 + 544k} \le 67,$ i.e. for $k = 0, 1, \ldots, 8:$ nine quadratics, each contributing root sum $\frac{1}{34}$ by Vieta. For the falling pieces the roots are $\frac{-1 \pm \sqrt{544k + 273}}{68}.$ The root with the minus sign requires $\sqrt{544k + 273} \lt 67,$ which holds for $k = 0, \ldots, 7;$ those eight quadratics each contribute $-\frac{1}{34}.$ For $k = 8$ only the positive root $\frac{-1 + \sqrt{4625}}{68} = \frac{-1 + 5\sqrt{185}}{68}$ is valid.

The total is $\begin{aligned} &\frac{9}{34} - \frac{8}{34} + \frac{-1 + 5\sqrt{185}}{68} \\ &\quad = \frac{1 + 5\sqrt{185}}{68}, \end{aligned}$ and $185 = 5 \cdot 37$ is squarefree, so $a + b + c + d$ $= 1 + 5 + 185 + 68$ $= 259.$

2025 AIME I Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años