Question

Dos tubos cilíndricos largos de la misma longitud pero distinto diámetro están paralelos entre sí sobre una superficie plana. El tubo más grande tiene radio $72$ y rueda por la superficie hacia el tubo más pequeño, que tiene radio $24.$ Rueda por encima del tubo más pequeño y sigue rodando por la superficie plana hasta que se detiene apoyado en el mismo punto de su circunferencia por el que empezó, habiendo dado una vuelta completa. Si el tubo más pequeño nunca se mueve, y la rodadura ocurre sin deslizamiento, el tubo más grande termina a una distancia $x$ de donde empezó. La distancia $x$ puede expresarse en la forma $a\pi + b\sqrt{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $a + b + c$ ?

Two long cylindrical tubes of the same length but different diameters lie parallel to each other on a flat surface. The larger tube has radius $72$ and rolls along the surface toward the smaller tube, which has radius $24.$ It rolls over the smaller tube and continues rolling along the flat surface until it comes to rest on the same point of its circumference as it started, having made one complete revolution. If the smaller tube never moves, and the rolling occurs with no slipping, the larger tube ends up a distance $x$ from where it starts. The distance $x$ can be expressed in the form $a\pi + b\sqrt{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are integers and $c$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c.$

Respuesta

Solución:

Cuando el tubo que rueda toca a la vez el suelo y el tubo pequeño, el segmento entre los centros tiene longitud $72 + 24 = 96$ y componente vertical $72 - 24 = 48,$ así que forma un ángulo de $30^\circ$ con la horizontal. Mientras el tubo grande rueda por encima del pequeño, su centro se desplaza a lo largo de un arco de radio $96$ alrededor del centro del tubo pequeño, desde $30^\circ$ por encima de la horizontal en un lado hasta $30^\circ$ en el otro: un barrido de $120^\circ,$ que hace avanzar el centro horizontalmente en $2 \cdot 96\cos 30^\circ = 96\sqrt{3}.$

Durante ese barrido, el arco de contacto sobre el tubo pequeño equivale a $120^\circ \cdot \frac{24}{72} = 40^\circ$ de la circunferencia del tubo grande, y el propio barrido también hace girar al tubo grande $120^\circ,$ así que cruzar el tubo pequeño hace girar al tubo grande $160^\circ$ en total. Para completar exactamente una vuelta, los $360^\circ - 160^\circ = 200^\circ$ de giro restantes ocurren rodando sobre suelo plano, donde el centro avanza la distancia rodada $\frac{200}{360} \cdot 2\pi \cdot 72 = 80\pi.$

Por lo tanto $x = 80\pi + 96\sqrt{3},$ y $a + b + c = 80 + 96 + 3 = 179.$

When the rolling tube touches both the ground and the small tube, the segment between centers has length $72 + 24 = 96$ and vertical component $72 - 24 = 48,$ so it makes a $30^\circ$ angle with the horizontal. As the big tube rolls over the small one, its center swings along an arc of radius $96$ about the small tube's center, from $30^\circ$ above the horizontal on one side to $30^\circ$ on the other: a sweep of $120^\circ,$ advancing the center horizontally by $2 \cdot 96\cos 30^\circ = 96\sqrt{3}.$

During that sweep, the contact arc on the small tube is $120^\circ \cdot \frac{24}{72} = 40^\circ$ worth of the big tube's circumference, and the sweep itself also rotates the big tube by $120^\circ,$ so crossing the small tube turns the big tube by $160^\circ$ in all. To complete exactly one revolution, the remaining $360^\circ - 160^\circ = 200^\circ$ of turning happens rolling on flat ground, where the center advances the rolled distance $\frac{200}{360} \cdot 2\pi \cdot 72 = 80\pi.$

Hence $x = 80\pi + 96\sqrt{3},$ and $a + b + c = 80 + 96 + 3 = 179.$

2007 AIME II Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años