Question

El circuncírculo del $\triangle ABC$ agudo tiene centro $O.$ La recta que pasa por el punto $O$ perpendicular a $\overline{OB}$ corta a las rectas $AB$ y $BC$ en $P$ y $Q,$ respectivamente. Además $AB = 5,$ $BC = 4,$ $BQ = 4.5,$ y $BP = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

The circumcircle of acute $\triangle ABC$ has center $O.$ The line passing through point $O$ perpendicular to $\overline{OB}$ intersects lines $AB$ and $BC$ at $P$ and $Q,$ respectively. Also $AB = 5,$ $BC = 4,$ $BQ = 4.5,$ and $BP = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

El ángulo central sobre $\overline{BC}$ es $\angle BOC = 2\angle A,$ y $OB = OC$ hace que el triángulo $OBC$ sea isósceles, así que $\angle OBC = 90^\circ - \angle A.$ En el triángulo $OBQ$ el ángulo en $O$ es $90^\circ,$ por lo tanto $\begin{aligned} &\angle BQP = 90^\circ - \angle OBQ \\ &= 90^\circ - (90^\circ - \angle A) \\ &= \angle A. \end{aligned}$

Los triángulos $BQP$ y $BAC$ comparten el ángulo en $B$ y tienen $\angle BQP = \angle BAC,$ así que son semejantes, dando $\frac{BP}{BC} = \frac{BQ}{BA}.$ Por lo tanto $\begin{aligned} &BP = \frac{BQ \cdot BC}{BA} \\ &= \frac{4.5 \cdot 4}{5} = \frac{18}{5}, \end{aligned}$ y $m + n = 18 + 5 = 23.$

The central angle over $\overline{BC}$ is $\angle BOC = 2\angle A,$ and $OB = OC$ makes triangle $OBC$ isosceles, so $\angle OBC = 90^\circ - \angle A.$ In triangle $OBQ$ the angle at $O$ is $90^\circ,$ hence $\begin{aligned} &\angle BQP = 90^\circ - \angle OBQ \\ &= 90^\circ - (90^\circ - \angle A) \\ &= \angle A. \end{aligned}$

Triangles $BQP$ and $BAC$ share the angle at $B$ and have $\angle BQP = \angle BAC,$ so they are similar, giving $\frac{BP}{BC} = \frac{BQ}{BA}.$ Therefore $\begin{aligned} &BP = \frac{BQ \cdot BC}{BA} \\ &= \frac{4.5 \cdot 4}{5} = \frac{18}{5}, \end{aligned}$ and $m + n = 18 + 5 = 23.$

2015 AIME II Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años