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2012 AIME II Problema 11

Intenta el Problema 11 del 2012 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2012 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

11.

Sea f1(x)=23−33x+1,f_1(x) = \frac{2}{3} - \frac{3}{3x + 1}, y para n≥2,n \ge 2, defina fn(x)=f1(fn−1(x)).f_n(x) = f_1(f_{n-1}(x)). El valor de xx que satisface f1001(x)=x−3f_{1001}(x) = x - 3 puede expresarse en la forma mn,\frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. Halle m+n.m + n.
Let f1(x)=23−33x+1,f_1(x) = \frac{2}{3} - \frac{3}{3x + 1}, and for n≥2,n \ge 2, define fn(x)=f1(fn−1(x)).f_n(x) = f_1(f_{n-1}(x)). The value of xx that satisfies f1001(x)=x−3f_{1001}(x) = x - 3 can be expressed in the form mn,\frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. Find m+n.m + n.
Respuesta: 8
Conceptos:funcióncuadráticareconocimiento de patrones
Nivel de dificultad: 2650
Pista pequeña:
Escriba f1f_1 como una sola fracción y calcule f2f_2 y f3f_3 a mano: aparece un patrón.
Write f1f_1 as a single fraction and compute f2f_2 and f3f_3 by hand — a pattern appears
Pista grande:
f3(x)=x,f_3(x) = x, así que f1001=f2;f_{1001} = f_2; plantear f2(x)=x−3f_2(x) = x - 3 da una cuadrática con raíz doble.
f3(x)=x,f_3(x) = x, so f1001=f2;f_{1001} = f_2; setting f2(x)=x−3f_2(x) = x - 3 gives a quadratic with a double root
Solución:
Combinando fracciones, f1(x)=2(3x+1)−93(3x+1)=6x−79x+3.f_1(x) = \frac{2(3x + 1) - 9}{3(3x + 1)} = \frac{6x - 7}{9x + 3}. Componiendo una vez, f2(x)=6f1(x)−79f1(x)+3=−3x−79x−6,f_2(x) = \frac{6 f_1(x) - 7}{9 f_1(x) + 3} = \frac{-3x - 7}{9x - 6}, y componiendo de nuevo se obtiene f3(x)=x.f_3(x) = x.
Así que la iteración es periódica con periodo 3.3. Como 1001≡2(mod3),1001 \equiv 2 \pmod{3}, tenemos f1001=f2,f_{1001} = f_2, y la ecuación se convierte en −3x−79x−6=x−3,\frac{-3x - 7}{9x - 6} = x - 3, es decir 9x2−33x+18=−3x−7,9x^2 - 33x + 18 = -3x - 7, o 9x2−30x+25=(3x−5)2=0.9x^2 - 30x + 25 = (3x - 5)^2 = 0.
La única solución es x=53,x = \frac{5}{3}, así que m+n=5+3=8.m + n = 5 + 3 = 8.
Combining fractions, f1(x)=2(3x+1)−93(3x+1)=6x−79x+3.f_1(x) = \frac{2(3x + 1) - 9}{3(3x + 1)} = \frac{6x - 7}{9x + 3}. Composing once, f2(x)=6f1(x)−79f1(x)+3=−3x−79x−6,f_2(x) = \frac{6 f_1(x) - 7}{9 f_1(x) + 3} = \frac{-3x - 7}{9x - 6}, and composing again gives f3(x)=x.f_3(x) = x.
So the iteration is periodic with period 3.3. Since 1001≡2(mod3),1001 \equiv 2 \pmod{3}, we have f1001=f2,f_{1001} = f_2, and the equation becomes −3x−79x−6=x−3,\frac{-3x - 7}{9x - 6} = x - 3, that is 9x2−33x+18=−3x−7,9x^2 - 33x + 18 = -3x - 7, or 9x2−30x+25=(3x−5)2=0.9x^2 - 30x + 25 = (3x - 5)^2 = 0.
The unique solution is x=53,x = \frac{5}{3}, so m+n=5+3=8.m + n = 5 + 3 = 8.
Problema 10#10
Examen completo
Problema 12#12

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