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2024 AIME II Problema 11

Intenta el Problema 11 del 2024 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2024 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

11.

Halla el número de ternas de enteros no negativos (a,b,c)(a, b, c) que satisfacen a+b+c=300a + b + c = 300 y a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b=6,000,000. \begin{aligned} &a^2 b + a^2 c \\ &\quad {}+ b^2 a + b^2 c \\ &\quad {}+ c^2 a + c^2 b = 6{,}000{,}000. \end{aligned}
Find the number of triples of nonnegative integers (a,b,c)(a, b, c) satisfying a+b+c=300a + b + c = 300 and a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b=6,000,000. \begin{aligned} &a^2 b + a^2 c \\ &\quad {}+ b^2 a + b^2 c \\ &\quad {}+ c^2 a + c^2 b = 6{,}000{,}000. \end{aligned}
Respuesta: 601
Conceptos:Ecuación diofánticafactorizaciónsimetría (álgebra)
Nivel de dificultad: 3060
Pista pequeña:
Con a+b+c=300,a + b + c = 300, la suma dada es igual a 300(ab+bc+ca)−3abc300(ab + bc + ca) - 3abc
With a+b+c=300,a + b + c = 300, the given sum equals 300(ab+bc+ca)−3abc300(ab + bc + ca) - 3abc
Pista grande:
Desarrolla (100−a)(100−b)(100−c)(100 - a)(100 - b)(100 - c) usando a+b+c=300:a + b + c = 300: la condición dice exactamente que este producto se anula
Expand (100−a)(100−b)(100−c)(100 - a)(100 - b)(100 - c) using a+b+c=300:a + b + c = 300: the condition says exactly that this product vanishes
Solución:
El lado izquierdo es la suma simétrica (a+b+c)(ab+bc+ca)(a + b + c)(ab + bc + ca) −3abc=300q−3p,- 3abc = 300q - 3p, donde q=ab+bc+caq = ab + bc + ca y p=abc.p = abc. Así que la condición es 100q−p=2,000,000.100q - p = 2{,}000{,}000. Ahora desarrolla (100−a)(100−b)(100−c)=106−104(a+b+c)+100q−p=(100q−p)−2⋅106, \begin{gathered} (100 - a)(100 - b)(100 - c) \\ = 10^6 - 10^4 (a + b + c) \\ \quad {}+ 100q - p \\ = (100q - p) - 2 \cdot 10^6, \end{gathered} usando a+b+c=300.a + b + c = 300. La condición se cumple exactamente cuando este producto es 0,0, es decir, cuando al menos uno de a,b,ca, b, c es igual a 100.100.
Si a=100,a = 100, entonces b+c=200,b + c = 200, lo que da 201201 ternas, y de igual modo para bb y c:c: 3⋅201=603.3 \cdot 201 = 603. Una terna contada más de una vez tiene dos variables iguales a 100,100, lo que obliga a que la tercera también sea 100100; la terna (100,100,100)(100, 100, 100) se cuenta tres veces, así que el total es 603−2=601.603 - 2 = 601.
The left side is the symmetric sum (a+b+c)(ab+bc+ca)(a + b + c)(ab + bc + ca) −3abc=300q−3p,- 3abc = 300q - 3p, where q=ab+bc+caq = ab + bc + ca and p=abc.p = abc. So the condition is 100q−p=2,000,000.100q - p = 2{,}000{,}000. Now expand (100−a)(100−b)(100−c)=106−104(a+b+c)+100q−p=(100q−p)−2⋅106, \begin{gathered} (100 - a)(100 - b)(100 - c) \\ = 10^6 - 10^4 (a + b + c) \\ \quad {}+ 100q - p \\ = (100q - p) - 2 \cdot 10^6, \end{gathered} using a+b+c=300.a + b + c = 300. The condition holds exactly when this product is 0,0, that is, when at least one of a,b,ca, b, c equals 100.100.
If a=100,a = 100, then b+c=200,b + c = 200, giving 201201 triples, and likewise for bb and c:c: 3⋅201=603.3 \cdot 201 = 603. A triple counted more than once has two variables equal to 100,100, which forces the third to be 100100 as well; the triple (100,100,100)(100, 100, 100) is counted three times, so the total is 603−2=601.603 - 2 = 601.
Problema 10#10
Examen completo
Problema 12#12

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