Question

El Club Truncator está en una liga de fútbol con otros seis equipos, y juega una vez contra cada uno. En cualquiera de sus $6$ partidos, las probabilidades de que el Club Truncator gane, pierda o empate son cada una $\frac{1}{3}.$ La probabilidad de que el Club Truncator termine la temporada con más victorias que derrotas es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Club Truncator is in a soccer league with six other teams, each of which it plays once. In any of its $6$ matches, the probabilities that Club Truncator will win, lose, or tie are each $\frac{1}{3}.$ The probability that Club Truncator will finish the season with more wins than losses is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Intercambiar victorias y derrotas es una simetría que preserva la probabilidad, así que la probabilidad $P$ de más victorias que derrotas es igual a la probabilidad de más derrotas que victorias, lo que da $P = \frac{1 - p_0}{2},$ donde $p_0$ es la probabilidad de igual número de victorias y derrotas.

Un resultado con $k$ victorias, $k$ derrotas y $6 - 2k$ empates se puede ordenar de $\frac{6!}{k! \, k! \, (6 - 2k)!}$ maneras: $1,$ $30,$ $90,$ $20$ para $k = 0, 1, 2, 3,$ que suman $141.$ Cada una de las $3^6 = 729$ secuencias de resultados es igualmente probable, así que $p_0 = \frac{141}{729} = \frac{47}{243}.$

Por tanto $P = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{47}{243}\right) = \frac{98}{243},$ y $m + n = 98 + 243 = 341.$

Swapping wins and losses is a probability-preserving symmetry, so the probability $P$ of more wins than losses equals the probability of more losses than wins, giving $P = \frac{1 - p_0}{2},$ where $p_0$ is the probability of equally many wins and losses.

An outcome with $k$ wins, $k$ losses, and $6 - 2k$ ties can be arranged in $\frac{6!}{k! \, k! \, (6 - 2k)!}$ ways: $1,$ $30,$ $90,$ $20$ for $k = 0, 1, 2, 3,$ totaling $141.$ Each of the $3^6 = 729$ outcome sequences is equally likely, so $p_0 = \frac{141}{729} = \frac{47}{243}.$

Therefore $P = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{47}{243}\right) = \frac{98}{243},$ and $m + n = 98 + 243 = 341.$

2001 AIME II Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años