Soluciones del 2001 AIME II | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Sea $N$ el mayor entero positivo con la siguiente propiedad: leyendo de izquierda a derecha, cada par de dígitos consecutivos de $N$ forma un cuadrado perfecto. ¿Cuáles son los tres dígitos de más a la izquierda de $N$ ?

Let $N$ be the largest positive integer with the following property: reading from left to right, each pair of consecutive digits of $N$ forms a perfect square. What are the leftmost three digits of $N?$

Respuesta

Conceptos:dígitos cuadrado perfecto enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

Cada par de dígitos consecutivos debe ser uno de los cuadrados de dos dígitos $16,$ $25,$ $36,$ $49,$ $64,$ $81.$ Por tanto, si existe, cada dígito determina de forma única a su sucesor: $1 \to 6,$ $2 \to 5,$ $3 \to 6,$ $4 \to 9,$ $6 \to 4,$ $8 \to 1,$ mientras que $5$ y $9$ terminan el número.

Siguiendo estas cadenas desde cada posible dígito inicial, las cadenas más largas son $25,$ $3649,$ y $81649.$ La cadena de cinco dígitos $8 \to 1 \to 6 \to 4 \to 9$ supera a todas las demás, así que $N = 81649,$ cuyos tres dígitos de más a la izquierda son $816.$

Each pair of consecutive digits must be one of the two-digit squares $16,$ $25,$ $36,$ $49,$ $64,$ $81.$ So each digit determines its successor uniquely if one exists: $1 \to 6,$ $2 \to 5,$ $3 \to 6,$ $4 \to 9,$ $6 \to 4,$ $8 \to 1,$ while $5$ and $9$ end the number.

Following these chains from each possible starting digit, the longest strings are $25,$ $3649,$ and $81649.$ The five-digit chain $8 \to 1 \to 6 \to 4 \to 9$ beats everything else, so $N = 81649,$ whose leftmost three digits are $816.$

2.

Cada uno de los $2001$ estudiantes de un instituto estudia español o francés, y algunos estudian ambos. El número de los que estudian español está entre el $80$ por ciento y el $85$ por ciento de la población escolar, y el número de los que estudian francés está entre el $30$ por ciento y el $40$ por ciento. Sea $m$ el menor número de estudiantes que podrían estudiar ambos idiomas, y sea $M$ el mayor número de estudiantes que podrían estudiar ambos idiomas. Halla $M - m.$

Each of the $2001$ students at a high school studies either Spanish or French, and some study both. The number who study Spanish is between $80$ percent and $85$ percent of the school population, and the number who study French is between $30$ percent and $40$ percent. Let $m$ be the smallest number of students who could study both languages, and let $M$ be the largest number of students who could study both languages. Find $M - m.$

Respuesta

Conceptos:inclusión-exclusión porcentaje acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

Sean $s$ y $f$ los números de estudiantes que estudian español y francés. Como cada estudiante estudia al menos un idioma, el número de los que estudian ambos es $s + f - 2001.$ Las cotas $1600.8 \lt s \lt 1700.85$ obligan a $1601 \le s \le 1700,$ y $600.3 \lt f \lt 800.4$ obligan a $601 \le f \le 800.$

El solapamiento es mínimo cuando $s + f$ es mínimo, lo que da $m = 1601 + 601 - 2001 = 201,$ y máximo cuando $s + f$ es máximo, lo que da $M = 1700 + 800 - 2001 = 499.$ Ambos extremos son alcanzables, así que $M - m = 499 - 201 = 298.$

Let $s$ and $f$ be the numbers of students studying Spanish and French. Since every student studies at least one language, the number studying both is $s + f - 2001.$ The bounds $1600.8 \lt s \lt 1700.85$ force $1601 \le s \le 1700,$ and $600.3 \lt f \lt 800.4$ force $601 \le f \le 800.$

The overlap is smallest when $s + f$ is smallest, giving $m = 1601 + 601 - 2001 = 201,$ and largest when $s + f$ is largest, giving $M = 1700 + 800 - 2001 = 499.$ Both extremes are achievable, so $M - m = 499 - 201 = 298.$

3.

Dado que $x_1 = 211,$ $x_2 = 375,$ $x_3 = 420,$ $x_4 = 523,$ y $\begin{aligned} x_n &= x_{n-1} - x_{n-2} + x_{n-3} - x_{n-4} \\ &\quad \text{when } n \ge 5, \end{aligned}$ halla el valor de $x_{531} + x_{753} + x_{975}.$

Given that $x_1 = 211,$ $x_2 = 375,$ $x_3 = 420,$ $x_4 = 523,$ and $\begin{aligned} x_n &= x_{n-1} - x_{n-2} + x_{n-3} - x_{n-4} \\ &\quad \text{when } n \ge 5, \end{aligned}$ find the value of $x_{531} + x_{753} + x_{975}.$

Respuesta

Conceptos:recursión reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 2070

Solución:

Para $n \ge 6,$ sustituye la recurrencia de $x_{n-1}:$ $\begin{aligned} x_n &= \\ &(x_{n-2} - x_{n-3} + x_{n-4} - x_{n-5}) \\ &\quad {}- x_{n-2} \\ &\quad {}+ x_{n-3} - x_{n-4} \\ &= -x_{n-5}. \end{aligned}$ Por tanto $x_{n+10} = -x_{n+5} = x_n,$ así que la sucesión tiene periodo $10.$

Como $531,$ $753,$ y $975$ dejan restos $1,$ $3,$ y $5$ al dividir entre $10,$ obtenemos $x_{531} = x_1 = 211,$ $x_{753} = x_3 = 420,$ y $x_{975} = x_5$ $= x_4 - x_3 + x_2 - x_1$ $= 523 - 420 + 375 - 211$ $= 267.$

La suma es $211 + 420 + 267 = 898.$

For $n \ge 6,$ substitute the recurrence for $x_{n-1}:$ $\begin{aligned} x_n &= \\ &(x_{n-2} - x_{n-3} + x_{n-4} - x_{n-5}) \\ &\quad {}- x_{n-2} \\ &\quad {}+ x_{n-3} - x_{n-4} \\ &= -x_{n-5}. \end{aligned}$ Hence $x_{n+10} = -x_{n+5} = x_n,$ so the sequence has period $10.$

Since $531,$ $753,$ and $975$ leave remainders $1,$ $3,$ and $5$ upon division by $10,$ we get $x_{531} = x_1 = 211,$ $x_{753} = x_3 = 420,$ and $x_{975} = x_5$ $= x_4 - x_3 + x_2 - x_1$ $= 523 - 420 + 375 - 211$ $= 267.$

The sum is $211 + 420 + 267 = 898.$

4.

Sea $R = (8, 6).$ Las rectas cuyas ecuaciones son $8y = 15x$ y $10y = 3x$ contienen los puntos $P$ y $Q,$ respectivamente, de modo que $R$ es el punto medio de $\overline{PQ}.$ La longitud $PQ$ es igual a $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $R = (8, 6).$ The lines whose equations are $8y = 15x$ and $10y = 3x$ contain points $P$ and $Q,$ respectively, such that $R$ is the midpoint of $\overline{PQ}.$ The length $PQ$ equals $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:geometría analítica punto medio sistema de ecuaciones fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 2170

Solución:

Los puntos de las dos rectas se pueden escribir $P = (8t, 15t)$ y $Q = (10u, 3u).$ Como $R = (8, 6)$ es el punto medio de $\overline{PQ},$ $8t + 10u = 16$ y $15t + 3u = 12.$

La segunda ecuación da $u = 4 - 5t;$ sustituyendo en la primera, $8t + 40 - 50t = 16,$ así que $t = \frac{4}{7}$ y $u = \frac{8}{7}.$ Por tanto $P = \left(\frac{32}{7}, \frac{60}{7}\right)$ y $Q = \left(\frac{80}{7}, \frac{24}{7}\right).$

Entonces $PQ = \sqrt{\left(\frac{48}{7}\right)^2 + \left(\frac{36}{7}\right)^2}$ $= \frac{12}{7}\sqrt{4^2 + 3^2}$ $= \frac{60}{7},$ así que $m + n = 60 + 7 = 67.$

Points on the two lines can be written $P = (8t, 15t)$ and $Q = (10u, 3u).$ Since $R = (8, 6)$ is the midpoint of $\overline{PQ},$ $8t + 10u = 16$ and $15t + 3u = 12.$

The second equation gives $u = 4 - 5t;$ substituting into the first, $8t + 40 - 50t = 16,$ so $t = \frac{4}{7}$ and $u = \frac{8}{7}.$ Thus $P = \left(\frac{32}{7}, \frac{60}{7}\right)$ and $Q = \left(\frac{80}{7}, \frac{24}{7}\right).$

Then $PQ = \sqrt{\left(\frac{48}{7}\right)^2 + \left(\frac{36}{7}\right)^2}$ $= \frac{12}{7}\sqrt{4^2 + 3^2}$ $= \frac{60}{7},$ so $m + n = 60 + 7 = 67.$

5.

Un conjunto de números positivos tiene la propiedad del triángulo si tiene tres elementos distintos que son las longitudes de los lados de un triángulo cuya área es positiva. Considera conjuntos $\{4, 5, 6, \ldots, n\}$ de enteros positivos consecutivos, tales que todos sus subconjuntos de diez elementos tienen la propiedad del triángulo. ¿Cuál es el mayor valor posible de $n$ ?

A set of positive numbers has the triangle property if it has three distinct elements that are the lengths of the sides of a triangle whose area is positive. Consider sets $\{4, 5, 6, \ldots, n\}$ of consecutive positive integers, all of whose ten-element subsets have the triangle property. What is the largest possible value of $n?$

Respuesta

Conceptos:desigualdad triangular Fibonacci argumento extremal

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Supongamos que un conjunto de diez elementos $\{a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_{10}\}$ no tiene triángulo. Entonces cada tres elementos incumplen la desigualdad triangular estricta; en particular $a_{i+2} \ge a_{i+1} + a_i$ para cada $i.$ Partiendo de $a_1 \ge 4$ y $a_2 \ge 5,$ esto obliga a $a_3 \ge 9,$ $a_4 \ge 14,$ $a_5 \ge 23,$ $a_6 \ge 37,$ $a_7 \ge 60,$ $a_8 \ge 97,$ $a_9 \ge 157,$ y $a_{10} \ge 254.$

Así que si $n \le 253,$ ningún subconjunto de diez elementos de $\{4, 5, \ldots, n\}$ puede evitar los triángulos, ya que su mayor elemento tendría que ser al menos $254.$ Recíprocamente, tomando la igualdad en todo, el subconjunto $\{4, 5, 9, 14, 23,$ $37, 60, 97, 157, 254\}$ de $\{4, 5, \ldots, 254\}$ no tiene triángulo.

Por tanto, el mayor valor posible es $n = 253.$

Suppose a ten-element set $\{a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_{10}\}$ has no triangle. Then every three elements fail the strict triangle inequality; in particular $a_{i+2} \ge a_{i+1} + a_i$ for each $i.$ Starting from $a_1 \ge 4$ and $a_2 \ge 5,$ this forces $a_3 \ge 9,$ $a_4 \ge 14,$ $a_5 \ge 23,$ $a_6 \ge 37,$ $a_7 \ge 60,$ $a_8 \ge 97,$ $a_9 \ge 157,$ and $a_{10} \ge 254.$

So if $n \le 253,$ no ten-element subset of $\{4, 5, \ldots, n\}$ can avoid triangles, since its largest element would have to be at least $254.$ Conversely, taking equality throughout, the subset $\{4, 5, 9, 14, 23,$ $37, 60, 97, 157, 254\}$ of $\{4, 5, \ldots, 254\}$ has no triangle.

Therefore the largest possible value is $n = 253.$

6.

El cuadrado $ABCD$ está inscrito en una circunferencia. El cuadrado $EFGH$ tiene los vértices $E$ y $F$ sobre $\overline{CD}$ y los vértices $G$ y $H$ sobre la circunferencia. La razón entre el área del cuadrado $EFGH$ y el área del cuadrado $ABCD$ se puede expresar como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí y $m \lt n.$ Halla $10n + m.$

Square $ABCD$ is inscribed in a circle. Square $EFGH$ has vertices $E$ and $F$ on $\overline{CD}$ and vertices $G$ and $H$ on the circle. The ratio of the area of square $EFGH$ to the area of square $ABCD$ can be expressed as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers and $m \lt n.$ Find $10n + m.$

Respuesta

Conceptos:cuadrado (geometría)círculo geometría analítica cuadrática

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Centra la circunferencia en el origen y sea $ABCD$ de lado $s,$ de modo que la circunferencia es $x^2 + y^2 = \frac{s^2}{2}$ y el lado $\overline{CD}$ está sobre la recta $y = \frac{s}{2}.$ El cuadrado pequeño se apoya sobre $\overline{CD},$ por fuera de $ABCD:$ si su lado es $t,$ entonces por simetría $G = \left(\frac{t}{2}, \frac{s}{2} + t\right),$ que debe estar sobre la circunferencia.

Sustituyendo, $\frac{t^2}{4} + \left(\frac{s}{2} + t\right)^2 = \frac{s^2}{2},$ que se desarrolla como $5t^2 + 4st - s^2 = 0,$ o $(5t - s)(t + s) = 0.$ Como $t \gt 0,$ obtenemos $t = \frac{s}{5}.$

La razón de áreas es $\frac{t^2}{s^2} = \frac{1}{25},$ así que $m = 1,$ $n = 25,$ y $10n + m = 251.$

Center the circle at the origin and let $ABCD$ have side $s,$ so the circle is $x^2 + y^2 = \frac{s^2}{2}$ and side $\overline{CD}$ lies on the line $y = \frac{s}{2}.$ The small square sits on $\overline{CD},$ outside $ABCD:$ if its side is $t,$ then by symmetry $G = \left(\frac{t}{2}, \frac{s}{2} + t\right),$ which must lie on the circle.

Substituting, $\frac{t^2}{4} + \left(\frac{s}{2} + t\right)^2 = \frac{s^2}{2},$ which expands to $5t^2 + 4st - s^2 = 0,$ or $(5t - s)(t + s) = 0.$ Since $t \gt 0,$ we get $t = \frac{s}{5}.$

The ratio of areas is $\frac{t^2}{s^2} = \frac{1}{25},$ so $m = 1,$ $n = 25,$ and $10n + m = 251.$

7.

Sea $\triangle PQR$ un triángulo rectángulo con $PQ = 90,$ $PR = 120,$ y $QR = 150.$ Sea $C_1$ la circunferencia inscrita. Construye $\overline{ST},$ con $S$ sobre $\overline{PR}$ y $T$ sobre $\overline{QR},$ de modo que $\overline{ST}$ sea perpendicular a $\overline{PR}$ y tangente a $C_1.$ Construye $\overline{UV}$ con $U$ sobre $\overline{PQ}$ y $V$ sobre $\overline{QR}$ de modo que $\overline{UV}$ sea perpendicular a $\overline{PQ}$ y tangente a $C_1.$ Sea $C_2$ la circunferencia inscrita de $\triangle RST$ y $C_3$ la circunferencia inscrita de $\triangle QUV.$ La distancia entre los centros de $C_2$ y $C_3$ se puede escribir como $\sqrt{10n}.$ ¿Cuánto vale $n$ ?

Let $\triangle PQR$ be a right triangle with $PQ = 90,$ $PR = 120,$ and $QR = 150.$ Let $C_1$ be the inscribed circle. Construct $\overline{ST},$ with $S$ on $\overline{PR}$ and $T$ on $\overline{QR},$ such that $\overline{ST}$ is perpendicular to $\overline{PR}$ and tangent to $C_1.$ Construct $\overline{UV}$ with $U$ on $\overline{PQ}$ and $V$ on $\overline{QR}$ such that $\overline{UV}$ is perpendicular to $\overline{PQ}$ and tangent to $C_1.$ Let $C_2$ be the inscribed circle of $\triangle RST$ and $C_3$ the inscribed circle of $\triangle QUV.$ The distance between the centers of $C_2$ and $C_3$ can be written as $\sqrt{10n}.$ What is $n?$

Respuesta

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio triángulo rectángulo semejanza fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

El ángulo recto está en $P,$ así que coloca $P = (0, 0),$ $Q = (0, 90),$ $R = (120, 0).$ El inradio de un triángulo rectángulo es la mitad de la suma de los catetos menos la hipotenusa: $r_1 = \frac{90 + 120 - 150}{2} = 30,$ de modo que $C_1$ tiene centro $(30, 30).$ La recta tangente a $C_1$ perpendicular a $\overline{PR}$ (del lado hacia $R$ ) es $x = 60,$ y la tangente perpendicular a $\overline{PQ}$ (hacia $Q$ ) es $y = 60.$

El triángulo $RST$ es semejante al triángulo $RPQ$ con razón $\frac{RS}{RP} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2},$ así que su inradio es $15$ y su circunferencia inscrita $C_2$ tiene centro en $(60 + 15, 15) = (75, 15).$ El triángulo $QUV$ es semejante al triángulo $QPR$ con razón $\frac{QU}{QP} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3},$ así que su inradio es $10$ y $C_3$ tiene centro en $(10, 60 + 10) = (10, 70).$

La distancia al cuadrado es $65^2 + 55^2$ $= 4225 + 3025$ $= 7250$ $= 10 \cdot 725,$ así que $n = 725.$

The right angle is at $P,$ so place $P = (0, 0),$ $Q = (0, 90),$ $R = (120, 0).$ The inradius of a right triangle is half the sum of the legs minus the hypotenuse: $r_1 = \frac{90 + 120 - 150}{2} = 30,$ so $C_1$ has center $(30, 30).$ The tangent line to $C_1$ perpendicular to $\overline{PR}$ (on the side toward $R$ ) is $x = 60,$ and the tangent perpendicular to $\overline{PQ}$ (toward $Q$ ) is $y = 60.$

Triangle $RST$ is similar to triangle $RPQ$ with ratio $\frac{RS}{RP} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2},$ so its inradius is $15$ and its incircle $C_2$ is centered at $(60 + 15, 15) = (75, 15).$ Triangle $QUV$ is similar to triangle $QPR$ with ratio $\frac{QU}{QP} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3},$ so its inradius is $10$ and $C_3$ is centered at $(10, 60 + 10) = (10, 70).$

The squared distance is $65^2 + 55^2$ $= 4225 + 3025$ $= 7250$ $= 10 \cdot 725,$ so $n = 725.$

8.

Cierta función $f$ tiene las propiedades de que $f(3x) = 3f(x)$ para todos los valores reales positivos de $x,$ y de que $f(x) = 1 - |x - 2|$ para $1 \le x \le 3.$ Halla el menor $x$ para el cual $f(x) = f(2001).$

A certain function $f$ has the properties that $f(3x) = 3f(x)$ for all positive real values of $x,$ and that $f(x) = 1 - |x - 2|$ for $1 \le x \le 3.$ Find the smallest $x$ for which $f(x) = f(2001).$

Respuesta

Conceptos:ecuación funcional valor absoluto

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

Aplicando $f(3x) = 3f(x)$ seis veces se obtiene $f(2001) = 3^6 f\left(\frac{2001}{729}\right),$ y $\frac{2001}{729}$ está en $[1, 3],$ así que $\begin{aligned} f(2001) &= 729\left(1 - \left|\tfrac{2001}{729} - 2\right|\right) \\ &= 729 - |2001 - 1458| \\ &= 729 - 543 = 186. \end{aligned}$

Para $x \in [3^k, 3^{k+1}],$ tenemos $f(x) = 3^k f\left(\frac{x}{3^k}\right)$ $= 3^k\left(1 - \left|\frac{x}{3^k} - 2\right|\right),$ una tienda cuyo valor máximo es $3^k.$ Para alcanzar $186$ necesitamos $3^k \ge 186,$ así que $k \ge 5,$ y las soluciones más pequeñas están en $[243, 729],$ donde $f(x) = 243 - |x - 486|.$

Poniendo $243 - |x - 486| = 186$ se obtiene $|x - 486| = 57,$ así que $x = 429$ o $x = 543.$ El menor $x$ es $429.$

Applying $f(3x) = 3f(x)$ six times gives $f(2001) = 3^6 f\left(\frac{2001}{729}\right),$ and $\frac{2001}{729}$ lies in $[1, 3],$ so $\begin{aligned} f(2001) &= 729\left(1 - \left|\tfrac{2001}{729} - 2\right|\right) \\ &= 729 - |2001 - 1458| \\ &= 729 - 543 = 186. \end{aligned}$

For $x \in [3^k, 3^{k+1}],$ we have $f(x) = 3^k f\left(\frac{x}{3^k}\right)$ $= 3^k\left(1 - \left|\frac{x}{3^k} - 2\right|\right),$ a tent whose maximum value is $3^k.$ To achieve $186$ we need $3^k \ge 186,$ so $k \ge 5,$ and the smallest solutions lie in $[243, 729],$ where $f(x) = 243 - |x - 486|.$

Setting $243 - |x - 486| = 186$ gives $|x - 486| = 57,$ so $x = 429$ or $x = 543.$ The smallest $x$ is $429.$

9.

Cada cuadrado unitario de una cuadrícula de cuadrados unitarios de $3$ por $3$ se va a colorear de azul o de rojo. Para cada cuadrado, cada color es igualmente probable. La probabilidad de obtener una cuadrícula que no tenga un cuadrado rojo de $2$ por $2$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Each unit square of a $3$ -by- $3$ unit-square grid is to be colored either blue or red. For each square, either color is equally likely to be used. The probability of obtaining a grid that does not have a $2$ -by- $2$ red square is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:inclusión-exclusión probabilidad complementaria

Nivel de dificultad: 2710

Solución:

Calcula la probabilidad de que la cuadrícula sí contenga un bloque totalmente rojo de $2$ por $2$ por inclusión-exclusión sobre las cuatro posiciones posibles. Un bloque fuerza $4$ celdas; dos bloques que comparten una arista fuerzan $6$ celdas ( $4$ de esos pares), mientras que los dos pares diagonales fuerzan $7;$ tres bloques cualesquiera fuerzan $8$ celdas, y los cuatro fuerzan las $9.$

Cada configuración de celdas rojas forzadas tiene probabilidad $\left(\frac{1}{2}\right)^{\text{cells}},$ así que la probabilidad de al menos un bloque rojo es $\begin{aligned} &4 \cdot \frac{1}{16} - \left(4 \cdot \frac{1}{64} + 2 \cdot \frac{1}{128}\right) \\ &\quad {}+ 4 \cdot \frac{1}{256} - \frac{1}{512} \\ &= \frac{128 - 40 + 8 - 1}{512} = \frac{95}{512}. \end{aligned}$

La probabilidad buscada es $1 - \frac{95}{512} = \frac{417}{512},$ y $417 = 3 \cdot 139$ es coprimo con $512,$ así que $m + n = 417 + 512 = 929.$

Compute the probability that the grid does contain an all-red $2$ -by- $2$ block by inclusion-exclusion over the four possible positions. One block forces $4$ cells; two blocks sharing an edge force $6$ cells ( $4$ such pairs), while the two diagonal pairs force $7;$ any three blocks force $8$ cells, and all four force all $9.$

Each configuration of forced red cells has probability $\left(\frac{1}{2}\right)^{\text{cells}},$ so the probability of at least one red block is $\begin{aligned} &4 \cdot \frac{1}{16} - \left(4 \cdot \frac{1}{64} + 2 \cdot \frac{1}{128}\right) \\ &\quad {}+ 4 \cdot \frac{1}{256} - \frac{1}{512} \\ &= \frac{128 - 40 + 8 - 1}{512} = \frac{95}{512}. \end{aligned}$

The desired probability is $1 - \frac{95}{512} = \frac{417}{512},$ and $417 = 3 \cdot 139$ is coprime to $512,$ so $m + n = 417 + 512 = 929.$

10.

¿Cuántos múltiplos enteros positivos de $1001$ se pueden expresar en la forma $10^{j} - 10^{i},$ donde $i$ y $j$ son enteros y $0 \le i \lt j \le 99$ ?

How many positive integer multiples of $1001$ can be expressed in the form $10^{j} - 10^{i},$ where $i$ and $j$ are integers and $0 \le i \lt j \le 99?$

Respuesta

Conceptos:orden multiplicativo aritmética modular conteo de pares

Nivel de dificultad: 2710

Solución:

Factoriza $10^j - 10^i = 10^i(10^{j-i} - 1).$ Como $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$ es coprimo con $10^i,$ necesitamos $1001 \mid 10^{j-i} - 1.$ El orden multiplicativo de $10$ es $6$ módulo $7,$ $2$ módulo $11,$ y $6$ módulo $13,$ así que $10^k \equiv 1 \pmod{1001}$ exactamente cuando $k$ es múltiplo de $6.$ Pares distintos $(i, j)$ dan valores distintos, así que basta con contar los pares.

Para $j - i = 6d$ con $1 \le d \le 16,$ el índice $i$ puede ser $0, 1, \ldots, 99 - 6d,$ lo que da $100 - 6d$ opciones. El total es $\begin{aligned} &\sum_{d=1}^{16} (100 - 6d) \\ &= 94 + 88 + \cdots + 4 \\ &= \frac{(94 + 4) \cdot 16}{2} \\ &= 784. \end{aligned}$

Factor $10^j - 10^i = 10^i(10^{j-i} - 1).$ Since $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$ is coprime to $10^i,$ we need $1001 \mid 10^{j-i} - 1.$ The multiplicative order of $10$ is $6$ modulo $7,$ $2$ modulo $11,$ and $6$ modulo $13,$ so $10^k \equiv 1 \pmod{1001}$ exactly when $k$ is a multiple of $6.$ Distinct pairs $(i, j)$ give distinct values, so we just count the pairs.

For $j - i = 6d$ with $1 \le d \le 16,$ the index $i$ can be $0, 1, \ldots, 99 - 6d,$ giving $100 - 6d$ choices. The total is $\begin{aligned} &\sum_{d=1}^{16} (100 - 6d) \\ &= 94 + 88 + \cdots + 4 \\ &= \frac{(94 + 4) \cdot 16}{2} \\ &= 784. \end{aligned}$

11.

El Club Truncator está en una liga de fútbol con otros seis equipos, y juega una vez contra cada uno. En cualquiera de sus $6$ partidos, las probabilidades de que el Club Truncator gane, pierda o empate son cada una $\frac{1}{3}.$ La probabilidad de que el Club Truncator termine la temporada con más victorias que derrotas es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Club Truncator is in a soccer league with six other teams, each of which it plays once. In any of its $6$ matches, the probabilities that Club Truncator will win, lose, or tie are each $\frac{1}{3}.$ The probability that Club Truncator will finish the season with more wins than losses is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:probabilidad básica permutaciones de multiconjuntos conteo complementario simetría

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

Intercambiar victorias y derrotas es una simetría que preserva la probabilidad, así que la probabilidad $P$ de más victorias que derrotas es igual a la probabilidad de más derrotas que victorias, lo que da $P = \frac{1 - p_0}{2},$ donde $p_0$ es la probabilidad de igual número de victorias y derrotas.

Un resultado con $k$ victorias, $k$ derrotas y $6 - 2k$ empates se puede ordenar de $\frac{6!}{k! \, k! \, (6 - 2k)!}$ maneras: $1,$ $30,$ $90,$ $20$ para $k = 0, 1, 2, 3,$ que suman $141.$ Cada una de las $3^6 = 729$ secuencias de resultados es igualmente probable, así que $p_0 = \frac{141}{729} = \frac{47}{243}.$

Por tanto $P = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{47}{243}\right) = \frac{98}{243},$ y $m + n = 98 + 243 = 341.$

Swapping wins and losses is a probability-preserving symmetry, so the probability $P$ of more wins than losses equals the probability of more losses than wins, giving $P = \frac{1 - p_0}{2},$ where $p_0$ is the probability of equally many wins and losses.

An outcome with $k$ wins, $k$ losses, and $6 - 2k$ ties can be arranged in $\frac{6!}{k! \, k! \, (6 - 2k)!}$ ways: $1,$ $30,$ $90,$ $20$ for $k = 0, 1, 2, 3,$ totaling $141.$ Each of the $3^6 = 729$ outcome sequences is equally likely, so $p_0 = \frac{141}{729} = \frac{47}{243}.$

Therefore $P = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{47}{243}\right) = \frac{98}{243},$ and $m + n = 98 + 243 = 341.$

12.

Dado un triángulo, su triángulo medial se obtiene uniendo los puntos medios de sus lados. Una sucesión de poliedros $\mathcal{P}_i$ se define recursivamente como sigue: $\mathcal{P}_0$ es un tetraedro regular cuyo volumen es $1.$ Para obtener $\mathcal{P}_{i+1},$ reemplaza el triángulo medial de cada cara de $\mathcal{P}_i$ por un tetraedro regular que apunta hacia afuera y que tiene ese triángulo medial como cara. El volumen de $\mathcal{P}_3$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Given a triangle, its midpoint triangle is obtained by joining the midpoints of its sides. A sequence of polyhedra $\mathcal{P}_i$ is defined recursively as follows: $\mathcal{P}_0$ is a regular tetrahedron whose volume is $1.$ To obtain $\mathcal{P}_{i+1},$ replace the midpoint triangle of every face of $\mathcal{P}_i$ by an outward-pointing regular tetrahedron that has the midpoint triangle as a face. The volume of $\mathcal{P}_3$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:volumen escalamiento de potencias de longitud, área y volumen recursión sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Adjuntar un tetraedro sobre el triángulo medial de una cara reemplaza esa cara por $6$ triángulos equiláteros con la mitad de la longitud del lado: los $3$ triángulos de las esquinas más las $3$ caras expuestas del nuevo tetraedro. Así que todas las caras de $\mathcal{P}_i$ son congruentes, con lado $\left(\frac{1}{2}\right)^i$ veces el original, y $\mathcal{P}_i$ tiene $4 \cdot 6^i$ caras.

Al pasar de $\mathcal{P}_i$ a $\mathcal{P}_{i+1}$ se pega un tetraedro regular sobre cada cara; cada uno es semejante a $\mathcal{P}_0$ con razón $\left(\frac{1}{2}\right)^{i+1},$ por lo que tiene volumen $\left(\frac{1}{8}\right)^{i+1}.$ El volumen añadido es $4 \cdot 6^i \left(\frac{1}{8}\right)^{i+1} = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}\right)^i.$

Por tanto, el volumen de $\mathcal{P}_3$ es $1 + \frac{1}{2} + \frac{3}{8} + \frac{9}{32} = \frac{69}{32},$ y $m + n = 69 + 32 = 101.$

Attaching a tetrahedron over the midpoint triangle of a face replaces that face by $6$ equilateral triangles of half the side length: the $3$ corner triangles plus $3$ exposed faces of the new tetrahedron. So all faces of $\mathcal{P}_i$ are congruent, with side $\left(\frac{1}{2}\right)^i$ times the original, and $\mathcal{P}_i$ has $4 \cdot 6^i$ faces.

Passing from $\mathcal{P}_i$ to $\mathcal{P}_{i+1}$ glues one regular tetrahedron onto each face; each is similar to $\mathcal{P}_0$ with ratio $\left(\frac{1}{2}\right)^{i+1},$ hence has volume $\left(\frac{1}{8}\right)^{i+1}.$ The volume added is $4 \cdot 6^i \left(\frac{1}{8}\right)^{i+1} = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}\right)^i.$

Therefore the volume of $\mathcal{P}_3$ is $1 + \frac{1}{2} + \frac{3}{8} + \frac{9}{32} = \frac{69}{32},$ and $m + n = 69 + 32 = 101.$

13.

En el cuadrilátero $ABCD,$ $\angle BAD \cong \angle ADC$ y $\angle ABD \cong \angle BCD,$ $AB = 8,$ $BD = 10,$ y $BC = 6.$ La longitud $CD$ se puede escribir en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

In quadrilateral $ABCD,$ $\angle BAD \cong \angle ADC$ and $\angle ABD \cong \angle BCD,$ $AB = 8,$ $BD = 10,$ and $BC = 6.$ The length $CD$ may be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:semejanza triángulo isósceles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Prolonga $\overline{AB}$ más allá de $B$ y $\overline{DC}$ más allá de $C$ hasta que se corten en $P.$ Como $\angle PAD = \angle PDA,$ el triángulo $APD$ es isósceles con $PA = PD.$ Además, $\angle PBD = 180^\circ - \angle ABD$ y $\angle PCB = 180^\circ - \angle BCD,$ así que $\angle PBD = \angle PCB.$

Los triángulos $PCB$ y $PBD$ comparten el ángulo $P$ y tienen $\angle PCB = \angle PBD,$ así que son semejantes, lo que da $\frac{PC}{PB} = \frac{PB}{PD} = \frac{CB}{BD} = \frac{3}{5}.$ Como $PB = PA - 8 = PD - 8,$ la razón central queda $\frac{PD - 8}{PD} = \frac{3}{5},$ así que $PD = 20$ y $PB = 12.$ Entonces $PC = \frac{3}{5} \cdot 12 = \frac{36}{5}.$

Por último, $CD = PD - PC$ $= 20 - \frac{36}{5}$ $= \frac{64}{5},$ que está en su forma irreducible, así que $m + n = 64 + 5 = 69.$

Extend $\overline{AB}$ beyond $B$ and $\overline{DC}$ beyond $C$ to meet at $P.$ Since $\angle PAD = \angle PDA,$ triangle $APD$ is isosceles with $PA = PD.$ Also $\angle PBD = 180^\circ - \angle ABD$ and $\angle PCB = 180^\circ - \angle BCD,$ so $\angle PBD = \angle PCB.$

Triangles $PCB$ and $PBD$ share angle $P$ and have $\angle PCB = \angle PBD,$ so they are similar, giving $\frac{PC}{PB} = \frac{PB}{PD} = \frac{CB}{BD} = \frac{3}{5}.$ Since $PB = PA - 8 = PD - 8,$ the middle ratio reads $\frac{PD - 8}{PD} = \frac{3}{5},$ so $PD = 20$ and $PB = 12.$ Then $PC = \frac{3}{5} \cdot 12 = \frac{36}{5}.$

Finally $CD = PD - PC$ $= 20 - \frac{36}{5}$ $= \frac{64}{5},$ which is in lowest terms, so $m + n = 64 + 5 = 69.$

14.

Hay $2n$ números complejos que satisfacen a la vez $z^{28} - z^{8} - 1 = 0$ y $|z| = 1.$ Estos números tienen la forma $z_{m} = \cos\theta_{m} + i\sin\theta_{m},$ donde $0 \le \theta_{1} \lt \theta_{2} \lt \ldots \lt \theta_{2n} \lt 360$ y los ángulos se miden en grados. Halla el valor de $\theta_{2} + \theta_{4} + \cdots + \theta_{2n}.$

There are $2n$ complex numbers that satisfy both $z^{28} - z^{8} - 1 = 0$ and $|z| = 1.$ These numbers have the form $z_{m} = \cos\theta_{m} + i\sin\theta_{m},$ where $0 \le \theta_{1} \lt \theta_{2} \lt \ldots \lt \theta_{2n} \lt 360$ and angles are measured in degrees. Find the value of $\theta_{2} + \theta_{4} + \cdots + \theta_{2n}.$

Respuesta

Conceptos:número complejo Teorema de De Moivre aritmética modular

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Escribe $\operatorname{cis}\theta = \cos\theta + i\sin\theta.$ La ecuación dice $z^8(z^{20} - 1) = 1.$ Tomando valores absolutos y usando $|z| = 1$ se obtiene $|z^{20} - 1| = 1,$ así que $z^{20}$ está a distancia $1$ tanto de $0$ como de $1:$ es $\operatorname{cis}(\pm 60^\circ).$

Si $z^{20} = \operatorname{cis} 60^\circ,$ entonces $z^{20} - 1 = \operatorname{cis} 120^\circ,$ así que $z^8 = \operatorname{cis}(-120^\circ)$ y $\begin{aligned} z^4 &= \frac{z^{20}}{(z^8)^2} \\ &= \operatorname{cis}(60^\circ + 240^\circ) = \operatorname{cis} 300^\circ, \end{aligned}$ lo que significa $4\theta \equiv 300^\circ,$ es decir $\theta \equiv 75^\circ \pmod{90^\circ}.$ Recíprocamente, todo $\theta$ de este tipo funciona, ya que entonces $z^{20} = (z^4)^5 = \operatorname{cis} 60^\circ$ y $z^8 = (z^4)^2 = \operatorname{cis}(-120^\circ).$ El caso $z^{20} = \operatorname{cis}(-60^\circ)$ da de forma análoga exactamente $\theta \equiv 15^\circ \pmod{90^\circ}.$

Así que los $2n = 8$ ángulos en orden creciente son $15, 75, 105, 165,$ $195, 255, 285, 345,$ y $\theta_2 + \theta_4 + \theta_6 + \theta_8$ $= 75 + 165 + 255 + 345$ $= 840.$

Write $\operatorname{cis}\theta = \cos\theta + i\sin\theta.$ The equation says $z^8(z^{20} - 1) = 1.$ Taking absolute values and using $|z| = 1$ gives $|z^{20} - 1| = 1,$ so $z^{20}$ is at distance $1$ from both $0$ and $1:$ it is $\operatorname{cis}(\pm 60^\circ).$

If $z^{20} = \operatorname{cis} 60^\circ,$ then $z^{20} - 1 = \operatorname{cis} 120^\circ,$ so $z^8 = \operatorname{cis}(-120^\circ)$ and $\begin{aligned} z^4 &= \frac{z^{20}}{(z^8)^2} \\ &= \operatorname{cis}(60^\circ + 240^\circ) = \operatorname{cis} 300^\circ, \end{aligned}$ which means $4\theta \equiv 300^\circ,$ i.e. $\theta \equiv 75^\circ \pmod{90^\circ}.$ Conversely every such $\theta$ works, since then $z^{20} = (z^4)^5 = \operatorname{cis} 60^\circ$ and $z^8 = (z^4)^2 = \operatorname{cis}(-120^\circ).$ The case $z^{20} = \operatorname{cis}(-60^\circ)$ similarly gives exactly $\theta \equiv 15^\circ \pmod{90^\circ}.$

So the $2n = 8$ angles in increasing order are $15, 75, 105, 165,$ $195, 255, 285, 345,$ and $\theta_2 + \theta_4 + \theta_6 + \theta_8$ $= 75 + 165 + 255 + 345$ $= 840.$

15.

Sean $EFGH,$ $EFDC,$ y $EHBC$ tres caras cuadradas adyacentes de un cubo, para el cual $EC = 8,$ y sea $A$ el octavo vértice del cubo. Sean $I,$ $J,$ y $K$ puntos sobre $\overline{EF},$ $\overline{EH},$ y $\overline{EC},$ respectivamente, de modo que $EI = EJ = EK = 2.$ Un sólido $S$ se obtiene perforando un túnel a través del cubo. Los lados del túnel son planos paralelos a $\overline{AE},$ y que contienen las aristas $\overline{IJ},$ $\overline{JK},$ y $\overline{KI}.$ El área de la superficie de $S,$ incluyendo las paredes del túnel, es $m + n\sqrt{p},$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros positivos y $p$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $m + n + p.$

Let $EFGH,$ $EFDC,$ and $EHBC$ be three adjacent square faces of a cube, for which $EC = 8,$ and let $A$ be the eighth vertex of the cube. Let $I,$ $J,$ and $K$ be points on $\overline{EF},$ $\overline{EH},$ and $\overline{EC},$ respectively, so that $EI = EJ = EK = 2.$ A solid $S$ is obtained by drilling a tunnel through the cube. The sides of the tunnel are planes parallel to $\overline{AE},$ and containing the edges $\overline{IJ},$ $\overline{JK},$ and $\overline{KI}.$ The surface area of $S,$ including the walls of the tunnel, is $m + n\sqrt{p},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers and $p$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n + p.$

Respuesta

Conceptos:geometría del cubo geometría analítica área de superficie

Nivel de dificultad: 3370

Solución:

Coloca $A = (0,0,0)$ y $E = (8,8,8),$ de modo que $I = (6,8,8),$ $J = (8,6,8),$ $K = (8,8,6),$ y $\overline{AE}$ tiene dirección $(1,1,1).$ La recta que pasa por $I$ en esa dirección sale del cubo en $L = (0,2,2);$ de forma análoga, $J$ y $K$ llevan a $M = (2,0,2)$ y $N = (2,2,0).$ La pared del túnel que pasa por $I$ y $J$ es el plano $2z = x + y + 2,$ que también contiene a $L$ y $M$ y corta al eje $z$ en $O = (0,0,1);$ las otras dos paredes se comportan de forma simétrica, cortando a los ejes $y$ y $x$ en $(0,1,0)$ y $(1,0,0).$

Ahora suma la superficie. Cada una de las tres caras del cubo en $E$ pierde un triángulo rectángulo con catetos $2$ (como $IEJ$ ), dejando un área $64 - 2 = 62.$ Cada una de las tres caras en $A$ pierde un cuadrilátero de área $2:$ sobre la cara $z = 0$ sus vértices son $(0,0,0),$ $(1,0,0),$ $(2,2,0),$ $(0,1,0).$ Cada pared del túnel es un pentágono como $ILOMJ:$ el rectángulo $ILMJ$ con $IJ = 2\sqrt{2}$ y $IL = 6\sqrt{3}$ tiene área $12\sqrt{6},$ y el triángulo isósceles $LOM$ con base $LM = 2\sqrt{2}$ y altura $\sqrt{3}$ añade $\sqrt{6},$ para $13\sqrt{6}$ por pared.

El área total de la superficie es $6 \cdot 62 + 3 \cdot 13\sqrt{6} = 372 + 39\sqrt{6},$ así que $m + n + p = 372 + 39 + 6$ $= 417.$

Place $A = (0,0,0)$ and $E = (8,8,8),$ so that $I = (6,8,8),$ $J = (8,6,8),$ $K = (8,8,6),$ and $\overline{AE}$ has direction $(1,1,1).$ The line through $I$ in that direction leaves the cube at $L = (0,2,2);$ similarly $J$ and $K$ lead to $M = (2,0,2)$ and $N = (2,2,0).$ The tunnel wall through $I$ and $J$ is the plane $2z = x + y + 2,$ which also contains $L$ and $M$ and crosses the $z$ -axis at $O = (0,0,1);$ the other two walls behave symmetrically, crossing the $y$ - and $x$ -axes at $(0,1,0)$ and $(1,0,0).$

Now add up the surface. Each of the three cube faces at $E$ loses a right triangle with legs $2$ (such as $IEJ$ ), leaving area $64 - 2 = 62.$ Each of the three faces at $A$ loses a quadrilateral of area $2:$ on the face $z = 0$ its vertices are $(0,0,0),$ $(1,0,0),$ $(2,2,0),$ $(0,1,0).$ Each tunnel wall is a pentagon like $ILOMJ:$ the rectangle $ILMJ$ with $IJ = 2\sqrt{2}$ and $IL = 6\sqrt{3}$ has area $12\sqrt{6},$ and the isosceles triangle $LOM$ with base $LM = 2\sqrt{2}$ and height $\sqrt{3}$ adds $\sqrt{6},$ for $13\sqrt{6}$ per wall.

The total surface area is $6 \cdot 62 + 3 \cdot 13\sqrt{6} = 372 + 39\sqrt{6},$ so $m + n + p = 372 + 39 + 6$ $= 417.$