Question

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $AB = 4,$ $BC = 5,$ $CD = 6,$ y $DA = 7.$ Sean $A_1$ y $C_1$ los pies de las perpendiculares desde $A$ y $C,$ respectivamente, a la recta $BD,$ y sean $B_1$ y $D_1$ los pies de las perpendiculares desde $B$ y $D,$ respectivamente, a la recta $AC.$ El perímetro de $A_1B_1C_1D_1$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Let $ABCD$ be a cyclic quadrilateral with $AB = 4,$ $BC = 5,$ $CD = 6,$ and $DA = 7.$ Let $A_1$ and $C_1$ be the feet of the perpendiculars from $A$ and $C,$ respectively, to line $BD,$ and let $B_1$ and $D_1$ be the feet of the perpendiculars from $B$ and $D,$ respectively, to line $AC.$ The perimeter of $A_1B_1C_1D_1$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Sea $P = AC \cap BD$ y sea $\theta$ el ángulo agudo entre las diagonales. Como $A$ está sobre la recta $AC,$ su pie $A_1$ sobre $BD$ satisface $PA_1 = PA\cos\theta,$ cayendo sobre el rayo de $BD$ que forma el ángulo agudo con el rayo $PA;$ lo mismo vale para los cuatro pies. Así que $A_1B_1C_1D_1$ es la imagen de $ABCD$ bajo la aplicación que gira cada rayo desde $P$ hacia la otra diagonal (por el ángulo $\theta$ ) y escala por $\cos\theta:$ los triángulos correspondientes en $P$ son semejantes con razón $\cos\theta,$ y cada lado de $A_1B_1C_1D_1$ es $\cos\theta$ veces el lado correspondiente de $ABCD.$ Por lo tanto el perímetro es $(4 + 5 + 6 + 7)\cos\theta = 22\cos\theta.$

Por Ptolomeo, $AC \cdot BD = 4 \cdot 6 + 5 \cdot 7 = 59.$ Por Brahmagupta con $s = 11,$ el área es $\sqrt{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4} = 2\sqrt{210}.$ Como el área también es igual a $\frac{1}{2} \, AC \cdot BD \sin\theta,$ obtenemos $\sin\theta = \frac{4\sqrt{210}}{59},$ así que $\begin{aligned} \cos^2\theta &= 1 - \frac{3360}{3481} = \frac{121}{3481}, \\ \cos\theta &= \frac{11}{59}. \end{aligned}$

El perímetro es $22 \cdot \frac{11}{59} = \frac{242}{59},$ que está en su forma más simple, así que $m + n = 242 + 59 = 301.$

Let $P = AC \cap BD$ and let $\theta$ be the acute angle between the diagonals. Since $A$ lies on line $AC,$ its foot $A_1$ on $BD$ satisfies $PA_1 = PA\cos\theta,$ landing on the ray of $BD$ making the acute angle with ray $PA;$ the same holds for all four feet. So $A_1B_1C_1D_1$ is the image of $ABCD$ under the map that rotates each ray from $P$ onto the other diagonal (through angle $\theta$ ) and scales by $\cos\theta:$ corresponding triangles at $P$ are similar with ratio $\cos\theta,$ and every side of $A_1B_1C_1D_1$ is $\cos\theta$ times the corresponding side of $ABCD.$ Hence the perimeter is $(4 + 5 + 6 + 7)\cos\theta = 22\cos\theta.$

By Ptolemy, $AC \cdot BD = 4 \cdot 6 + 5 \cdot 7 = 59.$ By Brahmagupta with $s = 11,$ the area is $\sqrt{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4} = 2\sqrt{210}.$ Since the area also equals $\frac{1}{2} \, AC \cdot BD \sin\theta,$ we get $\sin\theta = \frac{4\sqrt{210}}{59},$ so $\begin{aligned} \cos^2\theta &= 1 - \frac{3360}{3481} = \frac{121}{3481}, \\ \cos\theta &= \frac{11}{59}. \end{aligned}$

The perimeter is $22 \cdot \frac{11}{59} = \frac{242}{59},$ which is in lowest terms, so $m + n = 242 + 59 = 301.$

2021 AIME I Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años