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2014 AIME II Problema 11

Intenta el Problema 11 del 2014 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2014 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

11.

En △RED,\triangle RED, RD=1,RD = 1, ∠DRE=75∘\angle DRE = 75^\circ y ∠RED=45∘.\angle RED = 45^\circ. Sea MM el punto medio del segmento RD‾.\overline{RD}. El punto CC está sobre el lado ED‾\overline{ED} tal que RC‾⊥EM‾.\overline{RC} \perp \overline{EM}. Extiende el segmento DE‾\overline{DE} a través de EE hasta el punto AA tal que CA=AR.CA = AR. Entonces AE=a−bc,AE = \frac{a - \sqrt{b}}{c}, donde aa y cc son enteros positivos primos entre sí, y bb es un entero positivo. Halla a+b+c.a + b + c.
In △RED,\triangle RED, RD=1,RD = 1, ∠DRE=75∘\angle DRE = 75^\circ and ∠RED=45∘.\angle RED = 45^\circ. Let MM be the midpoint of segment RD‾.\overline{RD}. Point CC lies on side ED‾\overline{ED} such that RC‾⊥EM‾.\overline{RC} \perp \overline{EM}. Extend segment DE‾\overline{DE} through EE to point AA such that CA=AR.CA = AR. Then AE=a−bc,AE = \frac{a - \sqrt{b}}{c}, where aa and cc are relatively prime positive integers, and bb is a positive integer. Find a+b+c.a + b + c.
Respuesta: 56
Conceptos:geometría analíticaley de los senospendiente
Nivel de dificultad: 3060
Pista pequeña:
Coloca DD en el origen y EE sobre el eje xx positivo; entonces R=(cos⁡60∘,sin⁡60∘)R = (\cos 60^\circ, \sin 60^\circ) y la ley de senos da DE=3+12DE = \frac{\sqrt{3}+1}{2}
Place DD at the origin and EE on the positive xx-axis; then R=(cos⁡60∘,sin⁡60∘)R = (\cos 60^\circ, \sin 60^\circ) and the law of sines gives DE=3+12DE = \frac{\sqrt{3}+1}{2}
Pista grande:
Las pendientes perpendiculares localizan CC sobre el eje xx, y CA=ARCA = AR es una ecuación lineal en la coordenada xx de AA
Perpendicular slopes locate CC on the xx-axis, and CA=ARCA = AR is a linear equation in the xx-coordinate of AA
Solución:
Como ∠RDE=180∘−75∘−45∘\angle RDE = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ =60∘,= 60^\circ, coloca D=(0,0)D = (0,0) con EE sobre el eje xx positivo, de modo que R=(12,32).R = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right). La ley de senos da DE=sin⁡75∘sin⁡45∘=3+12,DE = \frac{\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}, y M=(14,34).M = \left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right).
La pendiente de EMEM es 3414−3+12=−31+23,\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}+1}{2}} = \frac{-\sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}}, así que la recta RCRC tiene pendiente 1+233.\frac{1 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}. Descender desde RR en 32\frac{\sqrt{3}}{2} hasta el eje xx nos mueve hacia la izquierda en 321+23=63−322,\frac{\frac{3}{2}}{1 + 2\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3} - 3}{22}, así que C=(c,0)C = (c, 0) con c=12−63−322=7−3311.c = \frac{1}{2} - \frac{6\sqrt{3} - 3}{22} = \frac{7 - 3\sqrt{3}}{11}.
Para A=(t,0),A = (t, 0), la condición CA=ARCA = AR se escribe (t−c)2=(t−12)2+34,(t - c)^2 = \left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}, que es lineal en t:t: t=1−c21−2c=9+4311.t = \frac{1 - c^2}{1 - 2c} = \frac{9 + 4\sqrt{3}}{11}. Entonces AE=t−3+12=18+83−113−1122=7−3322=7−2722, \begin{aligned} AE &= t - \frac{\sqrt{3}+1}{2} \\ &= \frac{18 + 8\sqrt{3} - 11\sqrt{3} - 11}{22} \\ &= \frac{7 - 3\sqrt{3}}{22} = \frac{7 - \sqrt{27}}{22}, \end{aligned} así que a+b+c=7+27+22=56.a + b + c = 7 + 27 + 22 = 56.
Since ∠RDE=180∘−75∘−45∘\angle RDE = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ =60∘,= 60^\circ, place D=(0,0)D = (0,0) with EE on the positive xx-axis, so R=(12,32).R = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right). The law of sines gives DE=sin⁡75∘sin⁡45∘=3+12,DE = \frac{\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}, and M=(14,34).M = \left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right).
The slope of EMEM is 3414−3+12=−31+23,\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}+1}{2}} = \frac{-\sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}}, so line RCRC has slope 1+233.\frac{1 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}. Descending from RR by 32\frac{\sqrt{3}}{2} to the xx-axis moves us left by 321+23=63−322,\frac{\frac{3}{2}}{1 + 2\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3} - 3}{22}, so C=(c,0)C = (c, 0) with c=12−63−322=7−3311.c = \frac{1}{2} - \frac{6\sqrt{3} - 3}{22} = \frac{7 - 3\sqrt{3}}{11}.
For A=(t,0),A = (t, 0), the condition CA=ARCA = AR reads (t−c)2=(t−12)2+34,(t - c)^2 = \left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}, which is linear in t:t: t=1−c21−2c=9+4311.t = \frac{1 - c^2}{1 - 2c} = \frac{9 + 4\sqrt{3}}{11}. Then AE=t−3+12=18+83−113−1122=7−3322=7−2722, \begin{aligned} AE &= t - \frac{\sqrt{3}+1}{2} \\ &= \frac{18 + 8\sqrt{3} - 11\sqrt{3} - 11}{22} \\ &= \frac{7 - 3\sqrt{3}}{22} = \frac{7 - \sqrt{27}}{22}, \end{aligned} so a+b+c=7+27+22=56.a + b + c = 7 + 27 + 22 = 56.
Problema 10#10
Examen completo
Problema 12#12

El Problema 11 en otros años

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