Question

En $\triangle RED,$ $RD = 1,$ $\angle DRE = 75^\circ$ y $\angle RED = 45^\circ.$ Sea $M$ el punto medio del segmento $\overline{RD}.$ El punto $C$ está sobre el lado $\overline{ED}$ tal que $\overline{RC} \perp \overline{EM}.$ Extiende el segmento $\overline{DE}$ a través de $E$ hasta el punto $A$ tal que $CA = AR.$ Entonces $AE = \frac{a - \sqrt{b}}{c},$ donde $a$ y $c$ son enteros positivos primos entre sí, y $b$ es un entero positivo. Halla $a + b + c.$

In $\triangle RED,$ $RD = 1,$ $\angle DRE = 75^\circ$ and $\angle RED = 45^\circ.$ Let $M$ be the midpoint of segment $\overline{RD}.$ Point $C$ lies on side $\overline{ED}$ such that $\overline{RC} \perp \overline{EM}.$ Extend segment $\overline{DE}$ through $E$ to point $A$ such that $CA = AR.$ Then $AE = \frac{a - \sqrt{b}}{c},$ where $a$ and $c$ are relatively prime positive integers, and $b$ is a positive integer. Find $a + b + c.$

Respuesta

Solución:

Como $\angle RDE = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ$ $= 60^\circ,$ coloca $D = (0,0)$ con $E$ sobre el eje $x$ positivo, de modo que $R = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right).$ La ley de senos da $DE = \frac{\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2},$ y $M = \left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right).$

La pendiente de $EM$ es $\frac{\sqrt{3}/4}{\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}+1}{2}} = \frac{-\sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}},$ así que la recta $RC$ tiene pendiente $\frac{1 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}.$ Descender desde $R$ en $\frac{\sqrt{3}}{2}$ hasta el eje $x$ nos mueve hacia la izquierda en $\frac{3/2}{1 + 2\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3} - 3}{22},$ así que $C = (c, 0)$ con $c = \frac{1}{2} - \frac{6\sqrt{3} - 3}{22} = \frac{7 - 3\sqrt{3}}{11}.$

Para $A = (t, 0),$ la condición $CA = AR$ se escribe $(t - c)^2 = \left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4},$ que es lineal en $t:$ $t = \frac{1 - c^2}{1 - 2c} = \frac{9 + 4\sqrt{3}}{11}.$ Entonces $\begin{aligned} AE &= t - \frac{\sqrt{3}+1}{2} \\ &= \frac{18 + 8\sqrt{3} - 11\sqrt{3} - 11}{22} \\ &= \frac{7 - 3\sqrt{3}}{22} = \frac{7 - \sqrt{27}}{22}, \end{aligned}$ así que $a + b + c = 7 + 27 + 22 = 56.$

Since $\angle RDE = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ$ $= 60^\circ,$ place $D = (0,0)$ with $E$ on the positive $x$ -axis, so $R = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right).$ The law of sines gives $DE = \frac{\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2},$ and $M = \left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right).$

The slope of $EM$ is $\frac{\sqrt{3}/4}{\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}+1}{2}} = \frac{-\sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}},$ so line $RC$ has slope $\frac{1 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}.$ Descending from $R$ by $\frac{\sqrt{3}}{2}$ to the $x$ -axis moves us left by $\frac{3/2}{1 + 2\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3} - 3}{22},$ so $C = (c, 0)$ with $c = \frac{1}{2} - \frac{6\sqrt{3} - 3}{22} = \frac{7 - 3\sqrt{3}}{11}.$

For $A = (t, 0),$ the condition $CA = AR$ reads $(t - c)^2 = \left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4},$ which is linear in $t:$ $t = \frac{1 - c^2}{1 - 2c} = \frac{9 + 4\sqrt{3}}{11}.$ Then $\begin{aligned} AE &= t - \frac{\sqrt{3}+1}{2} \\ &= \frac{18 + 8\sqrt{3} - 11\sqrt{3} - 11}{22} \\ &= \frac{7 - 3\sqrt{3}}{22} = \frac{7 - \sqrt{27}}{22}, \end{aligned}$ so $a + b + c = 7 + 27 + 22 = 56.$

2014 AIME II Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años