Soluciones del 2014 AIME II | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Abe puede pintar la habitación en

15

horas, Bea puede pintar un

50

por ciento más rápido que Abe, y Coe puede pintar el doble de rápido que Abe. Abe empieza a pintar la habitación y trabaja solo durante la primera hora y media. Luego Bea se une a Abe, y trabajan juntos hasta que la mitad de la habitación está pintada. Luego Coe se une a Abe y Bea, y trabajan juntos hasta que toda la habitación está pintada. Halla el número de minutos que transcurren desde que Abe empieza hasta que los tres terminan de pintar la habitación.

Abe can paint the room in

15

hours, Bea can paint

50

percent faster than Abe, and Coe can paint twice as fast as Abe. Abe begins to paint the room and works alone for the first hour and a half. Then Bea joins Abe, and they work together until half the room is painted. Then Coe joins Abe and Bea, and they work together until the entire room is painted. Find the number of minutes after Abe begins for the three of them to finish painting the room.

Respuesta

Conceptos:tasa fracción

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Trabaja en habitaciones por minuto: la tasa de Abe es

\frac{1}{900},

así que la de Bea es

\frac{1}{600}

y la de Coe es

\frac{1}{450}

Work in rooms per minute: Abe’s rate is

\frac{1}{900},

so Bea’s is

\frac{1}{600}

and Coe’s is

\frac{1}{450}

Pista grande:

Después de

90

minutos solo, se ha pintado

\frac{1}{10}

de la habitación. Divide cada porción restante de la habitación entre la tasa combinada de los pintores que trabajan en ese momento.

After

90

minutes alone,

\frac{1}{10}

of the room is done. Divide each remaining portion of the room by the combined rate of the painters working then.

Solución:

Abe pinta

\frac{1}{900}

de la habitación por minuto, así que Bea pinta

\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{900} = \frac{1}{600}

por minuto y Coe pinta

\frac{2}{900} = \frac{1}{450}

por minuto. En los primeros

90

minutos Abe pinta

\frac{90}{900} = \frac{1}{10}

de la habitación.

Abe y Bea juntos pintan

\frac{1}{900} + \frac{1}{600} = \frac{1}{360}

por minuto, y deben llevar el total desde

\frac{1}{10}

hasta

\frac{1}{2},

lo cual toma

\frac{2}{5} \cdot 360 = 144

minutos. Los tres juntos pintan

\frac{1}{360} + \frac{1}{450} = \frac{1}{200}

por minuto, así que la mitad restante de la habitación toma

\frac{1}{2} \cdot 200 = 100

minutos.

El tiempo total es

90 + 144 + 100 = 334

minutos.

Abe paints

\frac{1}{900}

of the room per minute, so Bea paints

\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{900} = \frac{1}{600}

per minute and Coe paints

\frac{2}{900} = \frac{1}{450}

per minute. In the first

90

minutes Abe paints

\frac{90}{900} = \frac{1}{10}

of the room.

Abe and Bea together paint

\frac{1}{900} + \frac{1}{600} = \frac{1}{360}

per minute, and they must bring the total from

\frac{1}{10}

up to

\frac{1}{2},

which takes

\frac{2}{5} \cdot 360 = 144

minutes. All three together paint

\frac{1}{360} + \frac{1}{450} = \frac{1}{200}

per minute, so the remaining half of the room takes

\frac{1}{2} \cdot 200 = 100

minutes.

The total time is

90 + 144 + 100 = 334

minutes.

2.

Arnold está estudiando la prevalencia de tres factores de riesgo para la salud, denotados por

A,

B,

y

C,

dentro de una población de hombres. Para cada uno de los tres factores, la probabilidad de que un hombre elegido al azar de la población tenga solo este factor de riesgo (y ninguno de los otros) es

0.1.

Para cualesquiera dos de los tres factores, la probabilidad de que un hombre elegido al azar tenga exactamente estos dos factores de riesgo (pero no el tercero) es

0.14.

La probabilidad de que un hombre elegido al azar tenga los tres factores de riesgo, dado que tiene

A

y

B,

es

\frac{1}{3}.

La probabilidad de que un hombre no tenga ninguno de los tres factores de riesgo dado que no tiene el factor de riesgo

A

es

\frac{p}{q},

donde

p

y

q

son enteros positivos primos entre sí. Halla

p + q.

Arnold is studying the prevalence of three health risk factors, denoted by

A,

B,

and

C,

within a population of men. For each of the three factors, the probability that a randomly selected man in the population has only this risk factor (and none of the others) is

0.1.

For any two of the three factors, the probability that a randomly selected man has exactly these two risk factors (but not the third) is

0.14.

The probability that a randomly selected man has all three risk factors, given that he has

A

and

B,

is

\frac{1}{3}.

The probability that a man has none of the three risk factors given that he does not have risk factor

A

is

\frac{p}{q},

where

p

and

q

are relatively prime positive integers. Find

p + q.

Respuesta

Conceptos:Diagrama de Venn probabilidad condicional

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Toma una población de

100

y completa un diagrama de Venn: cada región con exactamente un factor tiene

10

hombres y cada región con exactamente dos factores tiene

14

Take a population of

100

and fill in a Venn diagram: each exactly-one region holds

10

men and each exactly-two region holds

14

Pista grande:

Si

x

hombres tienen los tres factores, entonces

\frac{x}{x + 14} = \frac{1}{3}.

Luego cuenta los hombres fuera de

A

y los hombres que no tienen ningún factor.

If

x

men have all three factors, then

\frac{x}{x + 14} = \frac{1}{3}.

Then count the men outside

A

and the men with no factor at all.

Solución:

Toma una población de

100

hombres y completa un diagrama de Venn. Cada una de las tres regiones con exactamente un factor contiene

10

hombres, y cada una de las tres regiones con exactamente dos factores contiene

14.

Si

x

hombres tienen los tres factores, entonces los hombres que tienen tanto

A

como

B

suman

x + 14,

así que la probabilidad condicional dada dice

\frac{x}{x + 14} = \frac{1}{3},

lo que da

x = 7.

La unión de los tres conjuntos contiene por tanto

3 \cdot 10 + 3 \cdot 14 + 7 = 79

hombres, dejando

21

sin ningún factor de riesgo. Los hombres con el factor de riesgo

A

suman

10 + 14 + 14 + 7 = 45,

así que

55

hombres no tienen

A.

La probabilidad buscada es

\frac{21}{55},

que está en su forma más simple, así que

p + q = 21 + 55 = 76.

Take a population of

100

men and fill in a Venn diagram. Each of the three exactly-one regions contains

10

men, and each of the three exactly-two regions contains

14.

If

x

men have all three factors, then the men with both

A

and

B

number

x + 14,

so the given conditional probability says

\frac{x}{x + 14} = \frac{1}{3},

giving

x = 7.

The union of the three sets therefore contains

3 \cdot 10 + 3 \cdot 14 + 7 = 79

men, leaving

21

with no risk factor. The men with risk factor

A

number

10 + 14 + 14 + 7 = 45,

so

55

men do not have

A.

The desired probability is

\frac{21}{55},

which is in lowest terms, so

p + q = 21 + 55 = 76.

3.

Un rectángulo tiene lados de longitud

a

y

36.

Se instala una bisagra en cada vértice del rectángulo y en el punto medio de cada lado de longitud

36.

Los lados de longitud

a

se pueden presionar uno hacia el otro manteniendo esos dos lados paralelos, de modo que el rectángulo se convierte en un hexágono convexo como se muestra. Cuando la figura es un hexágono con los lados de longitud

a

paralelos y separados por una distancia de

24,

el hexágono tiene la misma área que el rectángulo original. Halla

a^2.

A rectangle has sides of length

a

and

36.

A hinge is installed at each vertex of the rectangle and at the midpoint of each side of length

36.

The sides of length

a

can be pressed toward each other keeping those two sides parallel so the rectangle becomes a convex hexagon as shown. When the figure is a hexagon with the sides of length

a

parallel and separated by a distance of

24,

the hexagon has the same area as the original rectangle. Find

a^2.

Respuesta

Conceptos:Teorema de Pitágoras trapecio área

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Cada mitad de un lado de

36

es una barra articulada de longitud

18

cuya extensión vertical en el hexágono es

12;

el teorema de Pitágoras da su alcance horizontal

Each half of a

36

-side is a hinged bar of length

18

whose vertical extent in the hexagon is

12;

the Pythagorean theorem gives its horizontal reach

Pista grande:

Corta el hexágono a lo largo de la recta que pasa por las dos bisagras de los puntos medios en dos trapecios congruentes y establece que el área total sea igual a

36a

Cut the hexagon along the line through the two midpoint hinges into two congruent trapezoids and set the total area equal to

36a

Solución:

En el hexágono, cada lado de longitud

36

se ha plegado en su punto medio en dos barras de longitud

18.

Los dos lados de longitud

a

están separados por

24

, así que cada barra abarca una distancia vertical de

12

y por tanto una distancia horizontal de

\sqrt{18^2 - 12^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}.

La recta que pasa por las dos bisagras de los puntos medios divide el hexágono en dos trapecios congruentes con lados paralelos

a

y

a + 12\sqrt{5}

y altura

12,

así que el hexágono tiene área

\begin{aligned} &2 \cdot \frac{a + (a + 12\sqrt{5})}{2} \cdot 12 \\ &= 24a + 144\sqrt{5}. \end{aligned}

Igualando esto al área del rectángulo

36a

se obtiene

12a = 144\sqrt{5},

así que

a = 12\sqrt{5}

y

a^2 = 720.

In the hexagon, each side of length

36

has folded at its midpoint into two bars of length

18.

The two sides of length

a

are

24

apart, so each bar spans a vertical distance of

12

and hence a horizontal distance of

\sqrt{18^2 - 12^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}.

The line through the two midpoint hinges splits the hexagon into two congruent trapezoids with parallel sides

a

and

a + 12\sqrt{5}

and height

12,

so the hexagon has area

\begin{aligned} &2 \cdot \frac{a + (a + 12\sqrt{5})}{2} \cdot 12 \\ &= 24a + 144\sqrt{5}. \end{aligned}

Setting this equal to the rectangle’s area

36a

gives

12a = 144\sqrt{5},

so

a = 12\sqrt{5}

and

a^2 = 720.

4.

Los decimales periódicos

0.abab\overline{ab}

y

0.abcabc\overline{abc}

satisfacen

0.abab\overline{ab} + 0.abcabc\overline{abc} = \frac{33}{37},

donde

a,

b,

y

c

son dígitos (no necesariamente distintos). Halla el número de tres cifras

abc.

The repeating decimals

0.abab\overline{ab}

and

0.abcabc\overline{abc}

satisfy

0.abab\overline{ab} + 0.abcabc\overline{abc} = \frac{33}{37},

where

a,

b,

and

c

are (not necessarily distinct) digits. Find the three-digit number

abc.

Respuesta

Conceptos:decimal periódico dígitos aritmética modular

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Escribe los decimales como

\frac{ab}{99}

y

\frac{abc}{999},

luego elimina los denominadores usando

99 = 9 \cdot 11

y

999 = 27 \cdot 37

Write the decimals as

\frac{ab}{99}

and

\frac{abc}{999},

then clear denominators using

99 = 9 \cdot 11

and

999 = 27 \cdot 37

Pista grande:

Reducir la ecuación módulo

11

obliga a que

a = b;

luego una breve ecuación lineal fija los dígitos

Reducing the equation modulo

11

forces

a = b;

then a short linear equation pins down the digits

Solución:

Escribiendo

ab

y

abc

para los números de dos y tres cifras, los decimales son iguales a

\frac{ab}{99}

y

\frac{abc}{999}.

Como

99 = 9 \cdot 11

y

999 = 27 \cdot 37,

el denominador común es

27 \cdot 37 \cdot 11 = 10989,

y multiplicar la ecuación por él da

\begin{aligned} &111 \cdot ab + 11 \cdot abc \\ &= \frac{33}{37} \cdot 10989 \\ &= 9801. \end{aligned}

Módulo

11,

como

9801 = 11 \cdot 891

y

111 \equiv 1,

esto obliga a que

ab

sea divisible por

11,

así que

a = b.

Entonces

ab = 11a,

y dividir la ecuación entre

11

da

111a + abc = 891.

Como

abc = 110a + c,

esto es

221a + c = 891,

lo cual requiere

a = 4

y

c = 7.

Por tanto

a = b = 4,

c = 7,

y el número de tres cifras

abc

es

447.

Writing

ab

and

abc

for the two- and three-digit numbers, the decimals equal

\frac{ab}{99}

and

\frac{abc}{999}.

Since

99 = 9 \cdot 11

and

999 = 27 \cdot 37,

the common denominator is

27 \cdot 37 \cdot 11 = 10989,

and multiplying the equation by it gives

\begin{aligned} &111 \cdot ab + 11 \cdot abc \\ &= \frac{33}{37} \cdot 10989 \\ &= 9801. \end{aligned}

Modulo

11,

since

9801 = 11 \cdot 891

and

111 \equiv 1,

this forces

ab

to be divisible by

11,

so

a = b.

Then

ab = 11a,

and dividing the equation by

11

gives

111a + abc = 891.

Since

abc = 110a + c,

this is

221a + c = 891,

which requires

a = 4

and

c = 7.

Thus

a = b = 4,

c = 7,

and the three-digit number

abc

is

447.

5.

Los números reales

r

y

s

son raíces de

p(x) = x^3 + ax + b,

y

r + 4

y

s - 3

son raíces de

q(x) = x^3 + ax + b + 240.

Halla la suma de todos los valores posibles de

|b|.

Real numbers

r

and

s

are roots of

p(x) = x^3 + ax + b,

and

r + 4

and

s - 3

are roots of

q(x) = x^3 + ax + b + 240.

Find the sum of all possible values of

|b|.

Respuesta

Conceptos:polinomio Fórmulas de Vieta sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Ninguna de las cúbicas tiene un término

x^2

, así que las terceras raíces son

t = -r - s

y

t - 1.

Iguala los coeficientes de

x

en las dos cúbicas.

Neither cubic has an

x^2

term, so the third roots are

t = -r - s

and

t - 1.

Equate the coefficients of

x

in the two cubics.

Pista grande:

Comparar los términos constantes y sustituir

t = 4r - 3s + 13

produce

(r-s)^2 + 7(r-s) - 8 = 0;

termina cada caso usando

r + s + t = 0.

Comparing constant terms and substituting

t = 4r - 3s + 13

yields

(r-s)^2 + 7(r-s) - 8 = 0;

finish each case using

r + s + t = 0.

Solución:

Ambas cúbicas tienen coeficiente

x^2

igual a cero, así que sus raíces suman

0:

la tercera raíz de

p

es

t = -r - s,

y la tercera raíz de

q

es

-(r+4) - (s-3) = t - 1.

El coeficiente de

x

es

a

en ambas, así que

\begin{aligned} &rs + st + tr \\ &= (r+4)(s-3) \\ &\quad {}+ (s-3)(t-1) \\ &\quad {}+ (t-1)(r+4), \end{aligned}

lo cual se simplifica a

t = 4r - 3s + 13.

Los términos constantes dan

b = -rst

y

b + 240 =

-(r+4)(s-3)(t-1),

así que

240 =

rst - (r+4)(s-3)(t-1),

es decir

rs - 4st + 3tr - 3r

+ 4s + 12t - 252 = 0.

Sustituir

t = 4r - 3s + 13

reduce esto a

12\left[(r-s)^2 + 7(r-s) - 8\right] = 0,

así que

r - s = 1

o

r - s = -8.

Si

r - s = 1,

entonces

t = 4r - 3s + 13 = r + 16

y

t = -r - s = -2r + 1,

así que

r = -5:

las raíces son

-5,

-6,

11,

y

b = -rst = -330.

Si

r - s = -8,

entonces

t = r - 11 = -2r - 8,

así que

r = 1:

las raíces son

1,

9,

-10,

y

b = 90.

La suma pedida es

330 + 90 = 420.

Both cubics have zero

x^2

coefficient, so their roots sum to

0:

the third root of

p

is

t = -r - s,

and the third root of

q

is

-(r+4) - (s-3) = t - 1.

The coefficient of

x

is

a

in both, so

\begin{aligned} &rs + st + tr \\ &= (r+4)(s-3) \\ &\quad {}+ (s-3)(t-1) \\ &\quad {}+ (t-1)(r+4), \end{aligned}

which simplifies to

t = 4r - 3s + 13.

The constant terms give

b = -rst

and

b + 240 =

-(r+4)(s-3)(t-1),

so

240 =

rst - (r+4)(s-3)(t-1),

i.e.

rs - 4st + 3tr - 3r

+ 4s + 12t - 252 = 0.

Substituting

t = 4r - 3s + 13

reduces this to

12\left[(r-s)^2 + 7(r-s) - 8\right] = 0,

so

r - s = 1

or

r - s = -8.

If

r - s = 1,

then

t = 4r - 3s + 13 = r + 16

and

t = -r - s = -2r + 1,

so

r = -5:

the roots are

-5,

-6,

11,

and

b = -rst = -330.

If

r - s = -8,

then

t = r - 11 = -2r - 8,

so

r = 1:

the roots are

1,

9,

-10,

and

b = 90.

The requested sum is

330 + 90 = 420.

6.

Charles tiene dos dados de seis caras. Uno de los dados es justo, y el otro dado está sesgado de modo que sale seis con probabilidad

\frac{2}{3},

y cada una de las otras cinco caras tiene probabilidad

\frac{1}{15}.

Charles elige uno de los dos dados al azar y lo lanza tres veces. Dado que las dos primeras tiradas son ambas seises, la probabilidad de que la tercera tirada sea también un seis es

\frac{p}{q},

donde

p

y

q

son enteros positivos primos entre sí. Halla

p + q.

Charles has two six-sided dice. One of the dice is fair, and the other die is biased so that it comes up six with probability

\frac{2}{3},

and each of the other five sides has probability

\frac{1}{15}.

Charles chooses one of the two dice at random and rolls it three times. Given that the first two rolls are both sixes, the probability that the third roll will also be a six is

\frac{p}{q},

where

p

and

q

are relatively prime positive integers. Find

p + q.

Respuesta

Conceptos:probabilidad condicional Teorema de Bayes dados (probabilidad)

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

La respuesta es la probabilidad de tres seises dividida entre la probabilidad de dos seises, cada una promediada sobre los dos dados igualmente probables

The answer is the probability of three sixes divided by the probability of two sixes, each averaged over the two equally likely dice

Pista grande:

Dos seises seguidos hacen que el dado sesgado sea mucho más probable: pondera cada dado por su probabilidad de producir los dos seises observados antes de predecir la tercera tirada

Two sixes in a row make the biased die much more likely: weight each die by its chance of producing the observed two sixes before predicting the third roll

Solución:

La probabilidad condicional buscada es

\begin{aligned} &\frac{\Pr(\text{tres seises})}{\Pr(\text{los dos primeros son seises})} \\ &= \frac{\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^3 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^3} {\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^2}, \end{aligned}

ya que cada dado se elige con probabilidad

\frac{1}{2}

y el dado justo muestra un seis con probabilidad

\frac{1}{6}.

El numerador es

\frac{1}{2}\left(\frac{8}{27} + \frac{1}{216}\right) = \frac{65}{432}

y el denominador es

\frac{1}{2}\left(\frac{4}{9} + \frac{1}{36}\right) = \frac{17}{72},

así que la probabilidad es

\frac{65}{432} \cdot \frac{72}{17} = \frac{65}{102}.

Como

65 = 5 \cdot 13

y

102 = 2 \cdot 3 \cdot 17

no comparten ningún factor,

p + q = 65 + 102 = 167.

The desired conditional probability is

\begin{aligned} &\frac{\Pr(\text{three sixes})}{\Pr(\text{first two are sixes})} \\ &= \frac{\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^3 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^3} {\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^2}, \end{aligned}

since each die is chosen with probability

\frac{1}{2}

and the fair die shows a six with probability

\frac{1}{6}.

The numerator is

\frac{1}{2}\left(\frac{8}{27} + \frac{1}{216}\right) = \frac{65}{432}

and the denominator is

\frac{1}{2}\left(\frac{4}{9} + \frac{1}{36}\right) = \frac{17}{72},

so the probability is

\frac{65}{432} \cdot \frac{72}{17} = \frac{65}{102}.

Since

65 = 5 \cdot 13

and

102 = 2 \cdot 3 \cdot 17

share no factor,

p + q = 65 + 102 = 167.

7.

Sea

f(x) = \left(x^2 + 3x + 2\right)^{\cos(\pi x)}.

Halla la suma de todos los enteros positivos

n

para los que

\left|\sum_{k=1}^{n} \log_{10} f(k)\right| = 1.

Let

f(x) = \left(x^2 + 3x + 2\right)^{\cos(\pi x)}.

Find the sum of all positive integers

n

for which

\left|\sum_{k=1}^{n} \log_{10} f(k)\right| = 1.

Respuesta

Conceptos:telescópica logaritmo paridad

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Como

\cos(\pi k) = (-1)^k,

el producto de los

f(k)

es telescópico: los

k

pares aportan

(k+1)(k+2)

y los

k

impares aportan su recíproco

Since

\cos(\pi k) = (-1)^k,

the product of the

f(k)

telescopes: even

k

contribute

(k+1)(k+2)

and odd

k

contribute its reciprocal

Pista grande:

Para

n

par el producto es

\frac{n+2}{2};

para

n

impar es

\frac{1}{2(n+2)}.

La suma de logaritmos es

\pm 1

cuando el producto es

10

o

\frac{1}{10}.

For even

n

the product is

\frac{n+2}{2};

for odd

n

it is

\frac{1}{2(n+2)}.

The sum of logs is

\pm 1

when the product is

10

or

\frac{1}{10}.

Solución:

Como

\cos(\pi k) = (-1)^k

y

k^2 + 3k + 2 = (k+1)(k+2),

tenemos

f(k) = \left[(k+1)(k+2)\right]^{(-1)^k}.

La suma de los logaritmos es el logaritmo del producto

\prod_{k=1}^n f(k),

que es telescópico: los factores consecutivos

\frac{1}{(k+1)(k+2)}

y

(k+2)(k+3)

dejan solo los términos de frontera.

Para

n

par el producto es

\frac{3 \cdot 4 \cdots (n+2)}{2 \cdot 3 \cdots (n+1)} = \frac{n+2}{2},

y para

n

impar es

\frac{3 \cdot 4 \cdots (n+1)}{2 \cdot 3 \cdots (n+2)} = \frac{1}{2(n+2)}.

El valor absoluto del logaritmo es igual a

1

exactamente cuando el producto es

10

o

\frac{1}{10}.

Para

n

par,

\frac{n+2}{2} = 10

da

n = 18;

para

n

impar,

2(n+2) = 10

da

n = 3.

La suma pedida es

18 + 3 = 21.

Since

\cos(\pi k) = (-1)^k

and

k^2 + 3k + 2 = (k+1)(k+2),

we have

f(k) = \left[(k+1)(k+2)\right]^{(-1)^k}.

The sum of the logarithms is the log of the product

\prod_{k=1}^n f(k),

which telescopes: consecutive factors

\frac{1}{(k+1)(k+2)}

and

(k+2)(k+3)

leave only boundary terms.

For even

n

the product is

\frac{3 \cdot 4 \cdots (n+2)}{2 \cdot 3 \cdots (n+1)} = \frac{n+2}{2},

and for odd

n

it is

\frac{3 \cdot 4 \cdots (n+1)}{2 \cdot 3 \cdots (n+2)} = \frac{1}{2(n+2)}.

The absolute value of the log equals

1

exactly when the product is

10

or

\frac{1}{10}.

For even

n,

\frac{n+2}{2} = 10

gives

n = 18;

for odd

n,

2(n+2) = 10

gives

n = 3.

The requested sum is

18 + 3 = 21.

8.

El círculo

C

con radio

2

tiene diámetro

\overline{AB}.

El círculo

D

es tangente interiormente al círculo

C

en

A.

El círculo

E

es tangente interiormente al círculo

C,

tangente exteriormente al círculo

D,

y tangente a

\overline{AB}.

El radio del círculo

D

es tres veces el radio del círculo

E

y se puede escribir en la forma

\sqrt{m} - n,

donde

m

y

n

son enteros positivos. Halla

m + n.

Circle

C

with radius

2

has diameter

\overline{AB}.

Circle

D

is internally tangent to circle

C

at

A.

Circle

E

is internally tangent to circle

C,

externally tangent to circle

D,

and tangent to

\overline{AB}.

The radius of circle

D

is three times the radius of circle

E

and can be written in the form

\sqrt{m} - n,

where

m

and

n

are positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Conceptos:circunferencias tangentes Teorema de Pitágoras radical

Nivel de dificultad: 2710

Pista pequeña:

Sea

s

el radio del círculo

E

y sea

F

el pie de la perpendicular trazada desde su centro a

\overline{AB};

expresa

CF

y

DF

con el teorema de Pitágoras

Let

s

be the radius of circle

E

and drop its center to a foot

F

on

\overline{AB};

express

CF

and

DF

with the Pythagorean theorem

Pista grande:

DF = DC + CF

da

s\sqrt{15} = (2 - 3s) + \sqrt{4 - 4s};

aislar un radical y elevar al cuadrado dos veces deja una ecuación cuadrática en

s

DF = DC + CF

gives

s\sqrt{15} = (2 - 3s) + \sqrt{4 - 4s};

isolating one radical and squaring twice leaves a quadratic in

s

Solución:

Sean

C,

D,

E

también los nombres de los centros de los círculos, sea

s

el radio del círculo

E,

de modo que el círculo

D

tiene radio

3s,

y sea

F

el pie de

E

sobre

\overline{AB}.

La tangencia da

CE = 2 - s,

DE = 3s + s = 4s,

y

EF = s,

mientras que

D

está sobre

\overline{AB}

con

DC = 2 - 3s.

Los triángulos rectángulos

CEF

y

DEF

dan

CF = \sqrt{(2-s)^2 - s^2}

= \sqrt{4 - 4s}

y

DF = \sqrt{(4s)^2 - s^2} = s\sqrt{15}.

Como

F

está en el lado opuesto de

C

respecto de

A,

tenemos

DF = DC + CF,

así que

s\sqrt{15} = (2 - 3s) + \sqrt{4 - 4s}.

Pasar

2 - 3s

a la izquierda y elevar al cuadrado da

24s^2 - 8s = 2\sqrt{15}\,s\,(2 - 3s),

es decir

12s - 4 = \sqrt{15}\,(2 - 3s);

elevar al cuadrado de nuevo produce

9s^2 + 84s - 44 = 0,

así que

s = \frac{-14 + 4\sqrt{15}}{3}.

El radio del círculo

D

es

3s = 4\sqrt{15} - 14 = \sqrt{240} - 14,

y

m + n = 240 + 14 = 254.

Let

C,

D,

E

also name the circles’ centers, let

s

be the radius of circle

E,

so circle

D

has radius

3s,

and let

F

be the foot of

E

on

\overline{AB}.

Tangency gives

CE = 2 - s,

DE = 3s + s = 4s,

and

EF = s,

while

D

lies on

\overline{AB}

with

DC = 2 - 3s.

Right triangles

CEF

and

DEF

give

CF = \sqrt{(2-s)^2 - s^2}

= \sqrt{4 - 4s}

and

DF = \sqrt{(4s)^2 - s^2} = s\sqrt{15}.

Since

F

is on the opposite side of

C

from

A,

we have

DF = DC + CF,

so

s\sqrt{15} = (2 - 3s) + \sqrt{4 - 4s}.

Moving

2 - 3s

to the left and squaring gives

24s^2 - 8s = 2\sqrt{15}\,s\,(2 - 3s),

i.e.

12s - 4 = \sqrt{15}\,(2 - 3s);

squaring again yields

9s^2 + 84s - 44 = 0,

so

s = \frac{-14 + 4\sqrt{15}}{3}.

The radius of circle

D

is

3s = 4\sqrt{15} - 14 = \sqrt{240} - 14,

and

m + n = 240 + 14 = 254.

9.

Diez sillas están dispuestas en un círculo. Halla el número de subconjuntos de este conjunto de sillas que contienen al menos tres sillas adyacentes.

Ten chairs are arranged in a circle. Find the number of subsets of this set of chairs that contain at least three adjacent chairs.

Respuesta

Conceptos:arreglos circulares subconjuntos inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 2760

Pista pequeña:

Cuenta los subconjuntos distintos del conjunto completo localizando una silla vacía seguida, en sentido horario, por tres sillas del subconjunto

Count subsets other than the full set by locating an empty chair followed clockwise by three chairs of the subset

Pista grande:

Cada patrón formado por una silla no elegida seguida de tres elegidas deja

2^6

opciones para las sillas restantes; resta los subconjuntos contados dos veces que contienen dos rachas separadas de tres o más

Each such empty-full-full-full pattern leaves

2^6

choices for the remaining chairs; subtract the double-counted subsets containing two separate runs of three or more

Solución:

El conjunto completo de

10

sillas cumple; cuenta los demás localizando el inicio, en sentido horario, de cada racha máxima de al menos tres sillas elegidas adyacentes. Cualquier subconjunto de este tipo contiene un bloque de cuatro sillas consecutivas formado por una no elegida seguida de tres elegidas. Hay

10

posiciones para este bloque, y las

6

sillas restantes son libres, lo que da

10 \cdot 2^6 = 640.

Esto cuenta una vez por cada racha máxima de longitud al menos

3.

Dos rachas de este tipo requieren al menos

3 + 3

sillas elegidas más dos huecos, así que tres rachas son imposibles, y los subconjuntos con exactamente dos rachas se cuentan dos veces. Para tener dos rachas, coloca dos bloques disjuntos, cada uno formado por una silla no elegida seguida de tres elegidas:

\frac{10 \cdot 3}{2} = 15

maneras (el segundo bloque cabe en

3

posiciones entre las

6

sillas restantes), con las últimas

2

sillas libres, para

15 \cdot 2^2 = 60

subconjuntos.

El total es

1 + 640 - 60 = 581.

The full set of

10

chairs qualifies; count the others by locating each maximal run of at least three adjacent chosen chairs at its clockwise start. Any such subset contains a block of four consecutive chairs that is empty-chosen-chosen-chosen. There are

10

positions for this block, and the remaining

6

chairs are free, giving

10 \cdot 2^6 = 640.

This counts once for each maximal run of length at least

3.

Two such runs require at least

3 + 3

chosen chairs plus two gaps, so three runs are impossible, and subsets with exactly two runs are counted twice. To have two runs, place two disjoint empty-chosen-chosen-chosen blocks:

\frac{10 \cdot 3}{2} = 15

ways (the second block fits in

3

positions among the remaining

6

chairs), with the last

2

chairs free, for

15 \cdot 2^2 = 60

subsets.

The total is

1 + 640 - 60 = 581.

10.

Sea

z

un número complejo con

|z| = 2014.

Sea

P

el polígono en el plano complejo cuyos vértices son

z

y todo

w

tal que

\frac{1}{z+w} = \frac{1}{z} + \frac{1}{w}.

Entonces el área encerrada por

P

se puede escribir en la forma

n\sqrt{3},

donde

n

es un entero. Halla el residuo cuando

n

se divide entre

1000.

Let

z

be a complex number with

|z| = 2014.

Let

P

be the polygon in the complex plane whose vertices are

z

and every

w

such that

\frac{1}{z+w} = \frac{1}{z} + \frac{1}{w}.

Then the area enclosed by

P

can be written in the form

n\sqrt{3},

where

n

is an integer. Find the remainder when

n

is divided by

1000.

Respuesta

Conceptos:número complejo raíces de la unidad triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Elimina los denominadores en

\frac{1}{z+w} = \frac{1}{z} + \frac{1}{w}

para obtener

z^2 + zw + w^2 = 0

Clear denominators in

\frac{1}{z+w} = \frac{1}{z} + \frac{1}{w}

to get

z^2 + zw + w^2 = 0

Pista grande:

Multiplicar por

z - w

da

w^3 = z^3,

así que los vértices son

z

por las raíces cúbicas de la unidad: un triángulo equilátero con circunradio

2014

Multiplying by

z - w

gives

w^3 = z^3,

so the vertices are

z

times the cube roots of unity: an equilateral triangle with circumradius

2014

Solución:

Multiplicar

\frac{1}{z+w} = \frac{1}{z} + \frac{1}{w}

por

zw(z+w)

da

zw = (z+w)^2,

es decir

z^2 + zw + w^2 = 0.

Multiplicar por

z - w

produce

z^3 - w^3 = 0,

así que

w = \omega z

o

w = \omega^2 z,

donde

\omega

es una raíz cúbica primitiva de la unidad (y ambas satisfacen efectivamente la ecuación original).

Por tanto

P

es el triángulo equilátero con vértices

z,

\omega z,

\omega^2 z,

inscrito en el círculo de radio

2014.

Su área es

\frac{3\sqrt{3}}{4}\,(2014)^2 = 3 \cdot 1007^2 \sqrt{3},

así que

n = 3 \cdot 1007^2 = 3042147.

El residuo cuando

n

se divide entre

1000

es

147.

Multiplying

\frac{1}{z+w} = \frac{1}{z} + \frac{1}{w}

by

zw(z+w)

gives

zw = (z+w)^2,

i.e.

z^2 + zw + w^2 = 0.

Multiplying by

z - w

yields

z^3 - w^3 = 0,

so

w = \omega z

or

w = \omega^2 z,

where

\omega

is a primitive cube root of unity (and both indeed satisfy the original equation).

Thus

P

is the equilateral triangle with vertices

z,

\omega z,

\omega^2 z,

inscribed in the circle of radius

2014.

Its area is

\frac{3\sqrt{3}}{4}\,(2014)^2 = 3 \cdot 1007^2 \sqrt{3},

so

n = 3 \cdot 1007^2 = 3042147.

The remainder when

n

is divided by

1000

is

147.

11.

En

\triangle RED,

RD = 1,

\angle DRE = 75^\circ

y

\angle RED = 45^\circ.

Sea

M

el punto medio del segmento

\overline{RD}.

El punto

C

está sobre el lado

\overline{ED}

tal que

\overline{RC} \perp \overline{EM}.

Extiende el segmento

\overline{DE}

a través de

E

hasta el punto

A

tal que

CA = AR.

Entonces

AE = \frac{a - \sqrt{b}}{c},

donde

a

y

c

son enteros positivos primos entre sí, y

b

es un entero positivo. Halla

a + b + c.

In

\triangle RED,

RD = 1,

\angle DRE = 75^\circ

and

\angle RED = 45^\circ.

Let

M

be the midpoint of segment

\overline{RD}.

Point

C

lies on side

\overline{ED}

such that

\overline{RC} \perp \overline{EM}.

Extend segment

\overline{DE}

through

E

to point

A

such that

CA = AR.

Then

AE = \frac{a - \sqrt{b}}{c},

where

a

and

c

are relatively prime positive integers, and

b

is a positive integer. Find

a + b + c.

Respuesta

Conceptos:geometría analítica ley de los senos pendiente

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Coloca

D

en el origen y

E

sobre el eje

x

positivo; entonces

R = (\cos 60^\circ, \sin 60^\circ)

y la ley de senos da

DE = \frac{\sqrt{3}+1}{2}

Place

D

at the origin and

E

on the positive

x

-axis; then

R = (\cos 60^\circ, \sin 60^\circ)

and the law of sines gives

DE = \frac{\sqrt{3}+1}{2}

Pista grande:

Las pendientes perpendiculares localizan

C

sobre el eje

x

, y

CA = AR

es una ecuación lineal en la coordenada

x

de

A

Perpendicular slopes locate

C

on the

x

-axis, and

CA = AR

is a linear equation in the

x

-coordinate of

A

Solución:

Como

\angle RDE = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ

= 60^\circ,

coloca

D = (0,0)

con

E

sobre el eje

x

positivo, de modo que

R = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right).

La ley de senos da

DE = \frac{\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2},

y

M = \left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right).

La pendiente de

EM

es

\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}+1}{2}} = \frac{-\sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}},

así que la recta

RC

tiene pendiente

\frac{1 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}.

Descender desde

R

en

\frac{\sqrt{3}}{2}

hasta el eje

x

nos mueve hacia la izquierda en

\frac{\frac{3}{2}}{1 + 2\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3} - 3}{22},

así que

C = (c, 0)

con

c = \frac{1}{2} - \frac{6\sqrt{3} - 3}{22} = \frac{7 - 3\sqrt{3}}{11}.

Para

A = (t, 0),

la condición

CA = AR

se escribe

(t - c)^2 = \left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4},

que es lineal en

t:

t = \frac{1 - c^2}{1 - 2c} = \frac{9 + 4\sqrt{3}}{11}.

Entonces

\begin{aligned} AE &= t - \frac{\sqrt{3}+1}{2} \\ &= \frac{18 + 8\sqrt{3} - 11\sqrt{3} - 11}{22} \\ &= \frac{7 - 3\sqrt{3}}{22} = \frac{7 - \sqrt{27}}{22}, \end{aligned}

así que

a + b + c = 7 + 27 + 22 = 56.

Since

\angle RDE = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ

= 60^\circ,

place

D = (0,0)

with

E

on the positive

x

-axis, so

R = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right).

The law of sines gives

DE = \frac{\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2},

and

M = \left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right).

The slope of

EM

is

\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}+1}{2}} = \frac{-\sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}},

so line

RC

has slope

\frac{1 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}.

Descending from

R

by

\frac{\sqrt{3}}{2}

to the

x

-axis moves us left by

\frac{\frac{3}{2}}{1 + 2\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3} - 3}{22},

so

C = (c, 0)

with

c = \frac{1}{2} - \frac{6\sqrt{3} - 3}{22} = \frac{7 - 3\sqrt{3}}{11}.

For

A = (t, 0),

the condition

CA = AR

reads

(t - c)^2 = \left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4},

which is linear in

t:

t = \frac{1 - c^2}{1 - 2c} = \frac{9 + 4\sqrt{3}}{11}.

Then

\begin{aligned} AE &= t - \frac{\sqrt{3}+1}{2} \\ &= \frac{18 + 8\sqrt{3} - 11\sqrt{3} - 11}{22} \\ &= \frac{7 - 3\sqrt{3}}{22} = \frac{7 - \sqrt{27}}{22}, \end{aligned}

so

a + b + c = 7 + 27 + 22 = 56.

12.

Supón que los ángulos de

\triangle ABC

satisfacen

\cos(3A) + \cos(3B)

+ \cos(3C) = 1.

Dos lados del triángulo tienen longitudes

10

y

13.

Existe un entero positivo

m

tal que la máxima longitud posible para el lado restante de

\triangle ABC

es

\sqrt{m}.

Halla

m.

Suppose that the angles of

\triangle ABC

satisfy

\cos(3A) + \cos(3B)

+ \cos(3C) = 1.

Two sides of the triangle have lengths

10

and

13.

There is a positive integer

m

so that the maximum possible length for the remaining side of

\triangle ABC

is

\sqrt{m}.

Find

m.

Respuesta

Conceptos:identidad trigonométrica factorización ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Escribe

1 - \cos 3A = 2\sin^2 \frac{3A}{2}

y combina

\cos 3B + \cos 3C

mediante suma-a-producto; toda la condición se factoriza

Write

1 - \cos 3A = 2\sin^2 \frac{3A}{2}

and combine

\cos 3B + \cos 3C

by sum-to-product; the whole condition factors

Pista grande:

Un ángulo debe ser igual a

120^\circ.

El lado restante es el más largo cuando ese ángulo se encuentra entre los lados de longitudes

10

y

13.

One angle must equal

120^\circ.

The remaining side is longest when that angle lies between the sides of lengths

10

and

13.

Solución:

Usando

1 - \cos 3A = 2\sin^2\frac{3A}{2}

y

\cos 3B + \cos 3C =

2\cos\frac{3(B+C)}{2}\cos\frac{3(B-C)}{2},

junto con

\frac{3(B+C)}{2} = 270^\circ - \frac{3A}{2}

de modo que

\cos\frac{3(B+C)}{2} = -\sin\frac{3A}{2},

la condición se convierte en

\begin{aligned} 0 &= 2\sin\tfrac{3A}{2} \\ &\quad {}\cdot \left(\sin\tfrac{3A}{2} + \cos\tfrac{3(B-C)}{2}\right) \\ &= 2\sin\tfrac{3A}{2} \\ &\quad {}\cdot \left(\cos\tfrac{3(B-C)}{2} - \cos\tfrac{3(B+C)}{2}\right) \\ &= 4\sin\tfrac{3A}{2}\sin\tfrac{3B}{2}\sin\tfrac{3C}{2}. \end{aligned}

Para un ángulo

X

de un triángulo,

\frac{3X}{2}

está estrictamente entre

0^\circ

y

270^\circ,

así que

\sin\frac{3X}{2} = 0

exactamente cuando

X = 120^\circ.

Por tanto un ángulo del triángulo es

120^\circ.

El lado restante es el más largo cuando el ángulo de

120^\circ

se sitúa entre los lados de longitudes

10

y

13

(si

120^\circ

estuviera opuesto a uno de ellos, el lado restante sería más corto que ese lado). Por la ley de cosenos su longitud es

\sqrt{10^2 + 13^2 + 10 \cdot 13} = \sqrt{399},

así que

m = 399.

Using

1 - \cos 3A = 2\sin^2\frac{3A}{2}

and

\cos 3B + \cos 3C =

2\cos\frac{3(B+C)}{2}\cos\frac{3(B-C)}{2},

together with

\frac{3(B+C)}{2} = 270^\circ - \frac{3A}{2}

so that

\cos\frac{3(B+C)}{2} = -\sin\frac{3A}{2},

the condition becomes

\begin{aligned} 0 &= 2\sin\tfrac{3A}{2} \\ &\quad {}\cdot \left(\sin\tfrac{3A}{2} + \cos\tfrac{3(B-C)}{2}\right) \\ &= 2\sin\tfrac{3A}{2} \\ &\quad {}\cdot \left(\cos\tfrac{3(B-C)}{2} - \cos\tfrac{3(B+C)}{2}\right) \\ &= 4\sin\tfrac{3A}{2}\sin\tfrac{3B}{2}\sin\tfrac{3C}{2}. \end{aligned}

For an angle

X

of a triangle,

\frac{3X}{2}

lies strictly between

0^\circ

and

270^\circ,

so

\sin\frac{3X}{2} = 0

exactly when

X = 120^\circ.

Hence one angle of the triangle is

120^\circ.

The remaining side is longest when the

120^\circ

angle sits between the sides of lengths

10

and

13

(if

120^\circ

were opposite one of them, the remaining side would be shorter than that side). By the law of cosines its length is

\sqrt{10^2 + 13^2 + 10 \cdot 13} = \sqrt{399},

so

m = 399.

13.

Diez adultos entran en una habitación, se quitan los zapatos y arrojan sus zapatos a un montón. Después, un niño empareja al azar cada zapato izquierdo con un zapato derecho sin tener en cuenta qué zapatos van juntos. La probabilidad de que, para todo entero positivo

k \lt 5,

ninguna colección de

k

pares formados por el niño contenga los zapatos de exactamente

k

de los adultos es

\frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halla

m + n.

Ten adults enter a room, remove their shoes, and toss their shoes into a pile. Later, a child randomly pairs each left shoe with a right shoe without regard to which shoes belong together. The probability that for every positive integer

k \lt 5,

no collection of

k

pairs made by the child contains the shoes from exactly

k

of the adults is

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Conceptos:permutaciones probabilidad básica

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Emparejar el zapato izquierdo

j

con el zapato derecho

\pi(j)

define una permutación aleatoria; una colección de

k

pares que usa los zapatos de exactamente

k

adultos es una unión de ciclos

Pairing left shoe

j

with right shoe

\pi(j)

defines a random permutation; a collection of

k

pairs using exactly

k

adults’ shoes is a union of cycles

Pista grande:

La condición dice que todo ciclo de

\pi

tiene longitud al menos

5:

cuenta los

10

-ciclos y los productos de dos

5

-ciclos

The condition says every cycle of

\pi

has length at least

5:

count

10

-cycles and products of two

5

-cycles

Solución:

El emparejamiento del niño hace corresponder el zapato izquierdo

j

con el zapato derecho

\pi(j)

para una permutación uniformemente aleatoria

\pi

de

\{1, \ldots, 10\}.

Una colección de

k

pares usa

k

zapatos izquierdos y

k

derechos, así que involucra exactamente

k

adultos precisamente cuando los índices de esos adultos forman un conjunto cerrado bajo

\pi

, es decir, cuando la colección es una unión de ciclos de

\pi.

Por tanto la condición dice que

\pi

no tiene ningún ciclo de longitud menor que

5.

Las longitudes de los ciclos deben partir

10

en partes de tamaño al menos

5:

o bien un

10

-ciclo o bien dos

5

-ciclos. Hay

9!

ciclos de diez, y

\frac{1}{2}\binom{10}{5}(4!)^2 = \frac{9!}{5}

permutaciones que son productos de dos

5

-ciclos.

La probabilidad es

\frac{9! + \frac{1}{5} \cdot 9!}{10!} = \frac{1 + \frac{1}{5}}{10} = \frac{3}{25},

así que

m + n = 3 + 25 = 28.

The child’s pairing matches left shoe

j

with right shoe

\pi(j)

for a uniformly random permutation

\pi

of

\{1, \ldots, 10\}.

A collection of

k

pairs uses

k

left and

k

right shoes, so it involves exactly

k

adults precisely when those adults’ indices are closed under

\pi

— that is, when the collection is a union of cycles of

\pi.

The condition therefore says

\pi

has no cycle of length less than

5.

The cycle lengths must partition

10

into parts of size at least

5:

either one

10

-cycle or two

5

-cycles. There are

9!

ten-cycles, and

\frac{1}{2}\binom{10}{5}(4!)^2 = \frac{9!}{5}

permutations that are products of two

5

-cycles.

The probability is

\frac{9! + \frac{1}{5} \cdot 9!}{10!} = \frac{1 + \frac{1}{5}}{10} = \frac{3}{25},

so

m + n = 3 + 25 = 28.

14.

En

\triangle ABC,

AB = 10,

\angle A = 30^\circ,

y

\angle C = 45^\circ.

Sean

H,

D,

y

M

puntos sobre la recta

\overline{BC}

tales que

\overline{AH} \perp \overline{BC},

\angle BAD = \angle CAD,

y

BM = CM.

El punto

N

es el punto medio del segmento

\overline{HM},

y el punto

P

está sobre el rayo

AD

tal que

\overline{PN} \perp \overline{BC}.

Entonces

AP^2 = \frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halla

m + n.

In

\triangle ABC,

AB = 10,

\angle A = 30^\circ,

and

\angle C = 45^\circ.

Let

H,

D,

and

M

be points on line

\overline{BC}

such that

\overline{AH} \perp \overline{BC},

\angle BAD = \angle CAD,

and

BM = CM.

Point

N

is the midpoint of segment

\overline{HM},

and point

P

is on ray

AD

such that

\overline{PN} \perp \overline{BC}.

Then

AP^2 = \frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio bisectriz ley de los senos punto medio

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Extiende el rayo

AD

hasta el circuncírculo: vuelve a cortarlo en el punto medio

E

del arco

BC,

cuya proyección sobre la recta

BC

es exactamente

M

Extend ray

AD

to the circumcircle: it meets it at the midpoint

E

of arc

BC,

whose projection onto line

BC

is exactly

M

Pista grande:

Como

N

es el punto medio de

\overline{HM},

P

es el punto medio de

\overline{AE}.

Halla

AE

a partir del triángulo

ABE

con la ley de senos.

Since

N

is the midpoint of

\overline{HM},

P

is the midpoint of

\overline{AE}.

Find

AE

from triangle

ABE

with the law of sines.

Solución:

Sea

E

el segundo punto en que el rayo

AD

corta el circuncírculo de

\triangle ABC.

Como

AD

bisecta el ángulo

A,

el punto

E

es el punto medio del arco

BC,

así que

E

está sobre la mediatriz de

\overline{BC}

y se proyecta sobre la recta

BC

en

M.

Las proyecciones de los puntos colineales

A,

P,

E

sobre la recta

BC

son

H,

N,

M,

y la proyección conserva las razones a lo largo de una recta; como

N

es el punto medio de

\overline{HM},

el punto

P

es el punto medio de

\overline{AE}.

Aquí

\angle B = 105^\circ,

y

\angle CBE = \angle CAE = 15^\circ

(ambos subtienden el arco

CE

), así que

\angle ABE = 120^\circ.

Además

\angle AEB = \angle ACB = 45^\circ

(ambos subtienden el arco

AB

). La ley de senos en

\triangle ABE

da

\begin{aligned} AE &= AB \cdot \frac{\sin \angle ABE}{\sin \angle AEB} \\ &= 10 \cdot \frac{\sin 120^\circ}{\sin 45^\circ} \\ &= 5\sqrt{6}. \end{aligned}

Por tanto

AP = \frac{1}{2} AE = \frac{5\sqrt{6}}{2},

así que

AP^2 = \frac{75}{2}

y

m + n = 75 + 2 = 77.

Let ray

AD

meet the circumcircle of

\triangle ABC

again at

E.

Since

AD

bisects angle

A,

the point

E

is the midpoint of arc

BC,

so

E

lies on the perpendicular bisector of

\overline{BC}

and projects onto line

BC

at

M.

The projections of the collinear points

A,

P,

E

onto line

BC

are

H,

N,

M,

and projection preserves ratios along a line; since

N

is the midpoint of

\overline{HM},

point

P

is the midpoint of

\overline{AE}.

Here

\angle B = 105^\circ,

and

\angle CBE = \angle CAE = 15^\circ

(both subtend arc

CE

), so

\angle ABE = 120^\circ.

Also

\angle AEB = \angle ACB = 45^\circ

(both subtend arc

AB

). The law of sines in

\triangle ABE

gives

\begin{aligned} AE &= AB \cdot \frac{\sin \angle ABE}{\sin \angle AEB} \\ &= 10 \cdot \frac{\sin 120^\circ}{\sin 45^\circ} \\ &= 5\sqrt{6}. \end{aligned}

Therefore

AP = \frac{1}{2} AE = \frac{5\sqrt{6}}{2},

so

AP^2 = \frac{75}{2}

and

m + n = 75 + 2 = 77.

15.

Para cualquier entero

k \ge 1,

sea

p(k)

el menor primo que no divide a

k.

Define la función entera

X(k)

como el producto de todos los primos menores que

p(k)

si

p(k) \gt 2,

y

X(k) = 1

si

p(k) = 2.

Sea

\{x_n\}

la sucesión definida por

x_0 = 1,

y

x_{n+1} X(x_n) = x_n p(x_n)

para

n \ge 0.

Halla el menor entero positivo

t

tal que

x_t = 2090.

For any integer

k \ge 1,

let

p(k)

be the smallest prime which does not divide

k.

Define the integer function

X(k)

to be the product of all primes less than

p(k)

if

p(k) \gt 2,

and

X(k) = 1

if

p(k) = 2.

Let

\{x_n\}

be the sequence defined by

x_0 = 1,

and

x_{n+1} X(x_n) = x_n p(x_n)

for

n \ge 0.

Find the smallest positive integer

t

such that

x_t = 2090.

Respuesta

Conceptos:primo base numérica recursión reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Calcula

x_1

hasta

x_8

y factoriza cada uno; compara el conjunto de primos que aparecen en

x_n

con los dígitos binarios de

n

Compute

x_1

through

x_8

and factor each; compare the set of primes appearing in

x_n

with the binary digits of

n

Pista grande:

La recursión es un conteo binario: dividir entre

X(x_n)

elimina los bits finales iguales a uno, representados por primos, y multiplicar por

p(x_n)

lleva un

1

al siguiente bit

The recursion is binary counting: dividing by

X(x_n)

clears the trailing prime “ones” and multiplying by

p(x_n)

carries a

1

into the next bit

Solución:

Enumera los primos en orden como

\rho_0 = 2,

\rho_1 = 3,

\rho_2 = 5, \ldots.

Cada

x_n

es libre de cuadrados, así que queda descrito por el conjunto de primos que lo dividen, y afirmamos que este conjunto codifica

n

en binario: si

n = \sum_i d_i 2^i

con

d_i \in \{0, 1\},

entonces

x_n = \prod_i \rho_i^{d_i}.

En efecto, supón que

x_n = \prod_i \rho_i^{d_i}

y sea

j

el menor índice con

d_j = 0.

Entonces

p(x_n) = \rho_j,

y

X(x_n) = \rho_0 \rho_1 \cdots \rho_{j-1}

es exactamente el producto de los primos que representan los bits finales iguales a

1

(con

X(x_n) = 1

cuando

j = 0

). Así

x_{n+1} = \frac{x_n \, \rho_j}{\rho_0 \rho_1 \cdots \rho_{j-1}}

elimina los unos finales e inserta

\rho_j

, que es precisamente sumar

1

en binario. Como

x_0 = 1

corresponde a

0,

la inducción demuestra la afirmación.

Ahora

2090 = 2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 19 = \rho_0 \rho_2 \rho_4 \rho_7,

que corresponde a dígitos binarios en las posiciones

0,

2,

4,

7.

Por tanto

t = 2^0 + 2^2 + 2^4 + 2^7 = 149.

List the primes in order as

\rho_0 = 2,

\rho_1 = 3,

\rho_2 = 5, \ldots.

Every

x_n

is squarefree, so it is described by the set of primes dividing it, and we claim this set encodes

n

in binary: if

n = \sum_i d_i 2^i

with

d_i \in \{0, 1\},

then

x_n = \prod_i \rho_i^{d_i}.

Indeed, suppose

x_n = \prod_i \rho_i^{d_i}

and let

j

be the smallest index with

d_j = 0.

Then

p(x_n) = \rho_j,

and

X(x_n) = \rho_0 \rho_1 \cdots \rho_{j-1}

is exactly the product of the primes for the trailing

1

-bits (with

X(x_n) = 1

when

j = 0

). So

x_{n+1} = \frac{x_n \, \rho_j}{\rho_0 \rho_1 \cdots \rho_{j-1}}

removes the trailing ones and inserts

\rho_j

— precisely adding

1

in binary. Since

x_0 = 1

corresponds to

0,

induction proves the claim.

Now

2090 = 2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 19 = \rho_0 \rho_2 \rho_4 \rho_7,

which corresponds to binary digits at positions

0,

2,

4,

7.

Hence

t = 2^0 + 2^2 + 2^4 + 2^7 = 149.