Question

Una ficha parte del punto $(0, 0)$ de una cuadrícula de coordenadas $xy$ y luego realiza una sucesión de seis movimientos. Cada movimiento es de $1$ unidad en una dirección paralela a uno de los ejes coordenados. Cada movimiento se elige al azar entre las cuatro direcciones posibles e independientemente de los demás movimientos. La probabilidad de que la ficha termine en un punto de la gráfica de $|y| = |x|$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

A token starts at the point $(0, 0)$ of an $xy$ -coordinate grid and then makes a sequence of six moves. Each move is $1$ unit in a direction parallel to one of the coordinate axes. Each move is selected randomly from the four possible directions and independently of the other moves. The probability that the token ends at a point on the graph of $|y| = |x|$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Trabajemos en las coordenadas diagonales $u = x + y$ y $v = x - y.$ Cada uno de los cuatro movimientos cambia $u$ en $\pm 1$ y $v$ en $\pm 1,$ y los cuatro movimientos realizan las cuatro combinaciones de signos con igual frecuencia, de modo que $u$ y $v$ realizan caminatas independientes de seis pasos con paso $\pm 1$ cada una. La ficha termina en $|y| = |x|$ exactamente cuando $y = \pm x,$ es decir, cuando $u = 0$ o $v = 0.$

Cada uno de $u = 0$ y $v = 0$ requiere tres $+1$ y tres $-1$ , con probabilidad $\binom{6}{3}/2^6 = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}.$ Por independencia e inclusión-exclusión, la probabilidad es $\begin{aligned} &\frac{5}{16} + \frac{5}{16} - \left(\frac{5}{16}\right)^2 \\ &= \frac{160 - 25}{256} = \frac{135}{256}. \end{aligned}$

Por lo tanto $m + n = 135 + 256 = 391.$

Work in the diagonal coordinates $u = x + y$ and $v = x - y.$ Each of the four moves changes $u$ by $\pm 1$ and $v$ by $\pm 1,$ and the four moves realize all four sign combinations equally often — so $u$ and $v$ perform independent six-step $\pm 1$ walks. The token ends on $|y| = |x|$ exactly when $y = \pm x,$ that is, when $u = 0$ or $v = 0.$

Each of $u = 0$ and $v = 0$ requires three $+1$ s and three $-1$ s, with probability $\binom{6}{3}/2^6 = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}.$ By independence and inclusion-exclusion, the probability is $\begin{aligned} &\frac{5}{16} + \frac{5}{16} - \left(\frac{5}{16}\right)^2 \\ &= \frac{160 - 25}{256} = \frac{135}{256}. \end{aligned}$

Thus $m + n = 135 + 256 = 391.$

2014 AIME I Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años