Question

Un semicírculo de diámetro $d$ está contenido en un cuadrado cuyos lados tienen longitud $8.$ Dado que el valor máximo de $d$ es $m - \sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros, halle $m + n.$

A semicircle with diameter $d$ is contained in a square whose sides have length $8.$ Given that the maximum value of $d$ is $m - \sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are integers, find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Escale a un semicírculo de radio $1$ y busque el menor cuadrado que lo contiene cuando su diámetro forma un ángulo $\theta$ con un par de lados, donde $0 \le \theta \le 90^\circ.$ Encierre el semicírculo entre dos pares de rectas paralelas en las dos direcciones de los lados del cuadrado: en cada dirección una recta del par es tangente al arco y la otra pasa por un extremo del diámetro, y las distancias entre los pares son $1 + \cos\theta$ y $1 + \sin\theta.$ Así que el menor cuadrado que lo encierra en esa orientación tiene lado $\max\{1 + \cos\theta,\ 1 + \sin\theta\},$ que se minimiza cuando $\theta = 45^\circ,$ dando lado $1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}.$

Escalando esta configuración óptima para que el cuadrado tenga lado $8,$ el radio pasa a ser $r = \frac{8}{(2 + \sqrt{2})/2}$ $= \frac{16}{2 + \sqrt{2}}$ $= 8\left(2 - \sqrt{2}\right),$ así que $\begin{aligned} d &= 2r = 16\left(2 - \sqrt{2}\right) \\ &= 32 - 16\sqrt{2} = 32 - \sqrt{512}. \end{aligned}$

Por lo tanto $m + n = 32 + 512 = 544.$

Scale to a semicircle of radius $1$ and ask for the smallest square containing it when its diameter makes angle $\theta$ with one pair of sides, where $0 \le \theta \le 90^\circ.$ Squeeze the semicircle between two pairs of parallel lines in the square's two side directions: in each direction one line of the pair is tangent to the arc and the other passes through an endpoint of the diameter, and the distances between the pairs are $1 + \cos\theta$ and $1 + \sin\theta.$ So the smallest enclosing square in that orientation has side $\max\{1 + \cos\theta,\ 1 + \sin\theta\},$ which is minimized when $\theta = 45^\circ,$ giving side $1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}.$

Scaling this optimal configuration so the square has side $8,$ the radius becomes $r = \frac{8}{(2 + \sqrt{2})/2}$ $= \frac{16}{2 + \sqrt{2}}$ $= 8\left(2 - \sqrt{2}\right),$ so $\begin{aligned} d &= 2r = 16\left(2 - \sqrt{2}\right) \\ &= 32 - 16\sqrt{2} = 32 - \sqrt{512}. \end{aligned}$

Thus $m + n = 32 + 512 = 544.$

2005 AIME I Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años