Question

Considera el conjunto de todos los triángulos $OPQ$ donde $O$ es el origen y $P$ y $Q$ son puntos distintos del plano con coordenadas enteras no negativas $(x, y)$ tales que $41x + y = 2009.$ Halla el número de tales triángulos distintos cuya área es un entero positivo.

Consider the set of all triangles $OPQ$ where $O$ is the origin and $P$ and $Q$ are distinct points in the plane with nonnegative integer coordinates $(x, y)$ such that $41x + y = 2009.$ Find the number of such distinct triangles whose area is a positive integer.

Respuesta

Solución:

Los puntos de la recta con coordenadas enteras no negativas son $P_i = (i,\, 2009 - 41i)$ para $i = 0, 1, \ldots, 49$ , cincuenta puntos en total. Para $P = P_i$ y $Q = P_j,$ la fórmula del cordón de zapato da $\begin{aligned} [OPQ] &= \small \frac{1}{2}\left|\,i(2009 - 41j) - j(2009 - 41i)\,\right| \\ &= \frac{2009}{2}\,|i - j|. \end{aligned}$

Esto es automáticamente positivo para puntos distintos, y como $2009$ es impar, es un entero exactamente cuando $i - j$ es par, es decir, cuando $i$ y $j$ tienen la misma paridad. Hay $25$ índices pares y $25$ impares, así que el número de triángulos es $\binom{25}{2} + \binom{25}{2} = 300 + 300 = 600.$

The points on the line with nonnegative integer coordinates are $P_i = (i,\, 2009 - 41i)$ for $i = 0, 1, \ldots, 49$ — fifty points in all. For $P = P_i$ and $Q = P_j,$ the shoelace formula gives $\begin{aligned} [OPQ] &= \small \frac{1}{2}\left|\,i(2009 - 41j) - j(2009 - 41i)\,\right| \\ &= \frac{2009}{2}\,|i - j|. \end{aligned}$

This is automatically positive for distinct points, and since $2009$ is odd, it is an integer exactly when $i - j$ is even, that is, when $i$ and $j$ have the same parity. There are $25$ even and $25$ odd indices, so the number of triangles is $\binom{25}{2} + \binom{25}{2} = 300 + 300 = 600.$

2009 AIME I Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años