Soluciones del 2009 AIME I | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Se dice que un número de $3$ cifras es geométrico si tiene $3$ dígitos distintos que, leídos de izquierda a derecha, forman una progresión geométrica. Halla la diferencia entre el mayor y el menor número geométrico.

Call a $3$ -digit number geometric if it has $3$ distinct digits which, when read from left to right, form a geometric sequence. Find the difference between the largest and smallest geometric numbers.

Respuesta

Conceptos:sucesión geométrica dígitos análisis por casos

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Escribe los dígitos como $a,$ $ar,$ $ar^2;$ la razón $r$ puede ser una fracción siempre que los tres dígitos sean enteros distintos.

Write the digits as $a,$ $ar,$ $ar^2;$ the ratio $r$ may be a fraction as long as all three digits are distinct integers

Pista grande:

Para el mayor, empieza con el dígito de las centenas $9$ y prueba razones con denominador $3;$ para el menor, empieza con $1$ y una razón entera.

For the largest, start with hundreds digit $9$ and try ratios with denominator $3;$ for the smallest, start with $1$ and an integer ratio

Solución:

Escribe los dígitos como $a,$ $ar,$ $ar^2.$ Para el mayor número geométrico, toma $a = 9.$ Una razón entera de al menos $2$ llevaría el siguiente dígito más allá de $9,$ y $r = 1$ repite dígitos, así que $r$ es una fracción cuyo denominador al cuadrado divide a $9:$ las opciones $r = \frac{2}{3}$ y $r = \frac{1}{3}$ dan $964$ y $931.$ El mayor es $964.$

Para el menor, toma el dígito de las centenas $1.$ Entonces el dígito de las decenas $r$ debe ser un entero de al menos $2$ (los dígitos son distintos), y $r = 2$ da $124,$ que es menor que $r = 3,$ que da $139.$

La diferencia es $964 - 124 = 840.$

Write the digits as $a,$ $ar,$ $ar^2.$ For the largest geometric number, take $a = 9.$ An integer ratio at least $2$ would push the next digit past $9,$ and $r = 1$ repeats digits, so $r$ is a fraction whose denominator squares into $9:$ the choices $r = \frac{2}{3}$ and $r = \frac{1}{3}$ give $964$ and $931.$ The largest is $964.$

For the smallest, take hundreds digit $1.$ Then the tens digit $r$ must be an integer at least $2$ (the digits are distinct), and $r = 2$ gives $124,$ which beats $r = 3$ ’s $139.$

The difference is $964 - 124 = 840.$

2.

Existe un número complejo $z$ con parte imaginaria $164$ y un entero positivo $n$ tales que $\frac{z}{z + n} = 4i.$ Halla $n.$

There is a complex number $z$ with imaginary part $164$ and a positive integer $n$ such that $\frac{z}{z + n} = 4i.$ Find $n.$

Respuesta

Conceptos:número complejo manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Escribe $z = a + 164i$ y elimina el denominador: $z = 4i(z + n).$

Write $z = a + 164i$ and clear the denominator: $z = 4i(z + n)$

Pista grande:

Desarrolla $4i(z + n)$ e iguala primero las partes reales y luego las imaginarias para hallar $a$ y después $n.$

Expand $4i(z + n)$ and match real parts, then imaginary parts, to find $a$ and then $n$

Solución:

Escribe $z = a + 164i.$ Al eliminar el denominador se obtiene $z = 4i(z + n),$ es decir, $\begin{aligned} a + 164i &= 4i\,(a + n + 164i) \\ &= -656 + 4(a + n)i. \end{aligned}$

Las partes reales dan $a = -656,$ y las partes imaginarias dan $164 = 4(a + n),$ de modo que $a + n = 41$ y $n = 41 + 656 = 697.$

Write $z = a + 164i.$ Clearing the denominator gives $z = 4i(z + n),$ that is, $\begin{aligned} a + 164i &= 4i\,(a + n + 164i) \\ &= -656 + 4(a + n)i. \end{aligned}$

Real parts give $a = -656,$ and imaginary parts give $164 = 4(a + n),$ so $a + n = 41$ and $n = 41 + 656 = 697.$

3.

Una moneda que sale cara con probabilidad $p \gt 0$ y cruz con probabilidad $1 - p \gt 0$ de forma independiente en cada lanzamiento se lanza ocho veces. Supón que la probabilidad de tres caras y cinco cruces es igual a $\frac{1}{25}$ de la probabilidad de cinco caras y tres cruces. Sea $p = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

A coin that comes up heads with probability $p \gt 0$ and tails with probability $1 - p \gt 0$ independently on each flip is flipped eight times. Suppose the probability of three heads and five tails is equal to $\frac{1}{25}$ of the probability of five heads and three tails. Let $p = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:probabilidad binomial manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Plantea $\binom{8}{3}p^3(1-p)^5 = \frac{1}{25}\binom{8}{5}p^5(1-p)^3.$

Set up $\binom{8}{3}p^3(1-p)^5 = \frac{1}{25}\binom{8}{5}p^5(1-p)^3$

Pista grande:

Los coeficientes binomiales se cancelan, dejando $(1-p)^2 = \frac{p^2}{25};$ ambos lados son positivos, así que toma raíces cuadradas.

The binomial coefficients cancel, leaving $(1-p)^2 = \frac{p^2}{25};$ both sides are positive, so take square roots

Solución:

La condición dice $\begin{aligned} &\binom{8}{3} p^3 (1-p)^5 \\ &= \frac{1}{25} \binom{8}{5} p^5 (1-p)^3. \end{aligned}$ Como $\binom{8}{3} = \binom{8}{5}$ y tanto $p$ como $1 - p$ son positivos, al dividir entre $p^3(1-p)^3$ queda $(1-p)^2 = \frac{p^2}{25},$ de modo que $1 - p = \frac{p}{5}.$

Por tanto $p = \frac{5}{6},$ y $m + n = 5 + 6 = 11.$

The condition says $\begin{aligned} &\binom{8}{3} p^3 (1-p)^5 \\ &= \frac{1}{25} \binom{8}{5} p^5 (1-p)^3. \end{aligned}$ Since $\binom{8}{3} = \binom{8}{5}$ and both $p$ and $1 - p$ are positive, dividing by $p^3(1-p)^3$ leaves $(1-p)^2 = \frac{p^2}{25},$ so $1 - p = \frac{p}{5}.$

Hence $p = \frac{5}{6},$ and $m + n = 5 + 6 = 11.$

4.

En el paralelogramo $ABCD,$ el punto $M$ está sobre $\overline{AB}$ de modo que $\frac{AM}{AB} = \frac{17}{1000},$ y el punto $N$ está sobre $\overline{AD}$ de modo que $\frac{AN}{AD} = \frac{17}{2009}.$ Sea $P$ el punto de intersección de $\overline{AC}$ y $\overline{MN}.$ Halla $\frac{AC}{AP}.$

In parallelogram $ABCD,$ point $M$ is on $\overline{AB}$ so that $\frac{AM}{AB} = \frac{17}{1000},$ and point $N$ is on $\overline{AD}$ so that $\frac{AN}{AD} = \frac{17}{2009}.$ Let $P$ be the point of intersection of $\overline{AC}$ and $\overline{MN}.$ Find $\frac{AC}{AP}.$

Respuesta

Conceptos:vector paralelogramo

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Toma $A$ como origen y expresa $M,$ $N$ y $C$ en términos de los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AD}.$

Set $A$ as the origin and express $M,$ $N,$ and $C$ in terms of the vectors $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AD}$

Pista grande:

Los puntos de la recta $MN$ tienen la forma $tM + (1-t)N;$ escribe además $P = s\,(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}),$ iguala coeficientes y suma las dos ecuaciones resultantes.

Points of line $MN$ have the form $tM + (1-t)N;$ also write $P = s\,(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}),$ match coefficients, and add the two resulting equations

Solución:

Coloca $A$ en el origen y sean $\mathbf{b} = \overrightarrow{AB}$ y $\mathbf{d} = \overrightarrow{AD},$ de modo que $C = \mathbf{b} + \mathbf{d},$ $M = \frac{17}{1000}\mathbf{b},$ y $N = \frac{17}{2009}\mathbf{d}.$ Como $P$ está sobre $\overline{AC},$ escribe $P = s\,(\mathbf{b} + \mathbf{d})$ donde $s = \frac{AP}{AC};$ como $P$ también está sobre la recta $MN,$ escribe $P = tM + (1 - t)N$ para algún $t.$

Como $\mathbf{b}$ y $\mathbf{d}$ son independientes, los coeficientes deben coincidir: $s = \frac{17t}{1000}$ y $s = \frac{17(1-t)}{2009}.$ Así $t = \frac{1000s}{17}$ y $1 - t = \frac{2009s}{17};$ al sumar se obtiene $1 = \frac{3009s}{17}.$

Por tanto $\frac{AC}{AP} = \frac{1}{s} = \frac{3009}{17} = 177.$

Place $A$ at the origin and let $\mathbf{b} = \overrightarrow{AB}$ and $\mathbf{d} = \overrightarrow{AD},$ so that $C = \mathbf{b} + \mathbf{d},$ $M = \frac{17}{1000}\mathbf{b},$ and $N = \frac{17}{2009}\mathbf{d}.$ Since $P$ lies on $\overline{AC},$ write $P = s\,(\mathbf{b} + \mathbf{d})$ where $s = \frac{AP}{AC};$ since $P$ also lies on line $MN,$ write $P = tM + (1 - t)N$ for some $t.$

Because $\mathbf{b}$ and $\mathbf{d}$ are independent, the coefficients must agree: $s = \frac{17t}{1000}$ and $s = \frac{17(1-t)}{2009}.$ Thus $t = \frac{1000s}{17}$ and $1 - t = \frac{2009s}{17};$ adding gives $1 = \frac{3009s}{17}.$

Therefore $\frac{AC}{AP} = \frac{1}{s} = \frac{3009}{17} = 177.$

5.

El triángulo $ABC$ tiene $AC = 450$ y $BC = 300.$ Los puntos $K$ y $L$ están sobre $\overline{AC}$ y $\overline{AB}$ respectivamente de modo que $AK = CK,$ y $\overline{CL}$ es la bisectriz del ángulo $C.$ Sea $P$ el punto de intersección de $\overline{BK}$ y $\overline{CL},$ y sea $M$ el punto sobre la recta $BK$ para el cual $K$ es el punto medio de $\overline{PM}.$ Si $AM = 180,$ halla $LP.$

Triangle $ABC$ has $AC = 450$ and $BC = 300.$ Points $K$ and $L$ are located on $\overline{AC}$ and $\overline{AB}$ respectively so that $AK = CK,$ and $\overline{CL}$ is the angle bisector of angle $C.$ Let $P$ be the point of intersection of $\overline{BK}$ and $\overline{CL},$ and let $M$ be the point on line $BK$ for which $K$ is the midpoint of $\overline{PM}.$ If $AM = 180,$ find $LP.$

Respuesta

Conceptos:paralelogramo semejanza teorema de la bisectriz

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

$AK = CK$ y que $K$ sea el punto medio de $\overline{PM}$ significan que las diagonales del cuadrilátero $APCM$ se bisecan mutuamente, así que $APCM$ es un paralelogramo.

$AK = CK$ and $K$ the midpoint of $\overline{PM}$ mean the diagonals of quadrilateral $APCM$ bisect each other, so $APCM$ is a parallelogram

Pista grande:

$AM \parallel CP$ hace que los triángulos $BLP$ y $BAM$ sean semejantes; obtén $\frac{BL}{BA}$ a partir del teorema de la bisectriz.

$AM \parallel CP$ makes triangles $BLP$ and $BAM$ similar; get $\frac{BL}{BA}$ from the angle bisector theorem

Solución:

Como $AK = CK$ y $K$ es el punto medio de $\overline{PM},$ las diagonales del cuadrilátero $APCM$ se bisecan mutuamente, así que $APCM$ es un paralelogramo y $AM \parallel CP.$ Como $P$ está sobre la recta $CL$ y $B,$ $P$ y $M$ están todos sobre la recta $BK,$ los triángulos $BLP$ y $BAM$ son semejantes.

Así $\frac{LP}{AM} = \frac{BL}{BA}.$ El teorema de la bisectriz da $\frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} = \frac{450}{300} = \frac{3}{2},$ de modo que $\frac{BL}{BA} = \frac{2}{2 + 3} = \frac{2}{5}.$

Por tanto $LP = \frac{2}{5} \cdot AM = \frac{2}{5} \cdot 180 = 72.$

Because $AK = CK$ and $K$ is the midpoint of $\overline{PM},$ the diagonals of quadrilateral $APCM$ bisect each other, so $APCM$ is a parallelogram and $AM \parallel CP.$ Since $P$ lies on line $CL$ and $B,$ $P,$ $M$ all lie on line $BK,$ triangles $BLP$ and $BAM$ are similar.

Thus $\frac{LP}{AM} = \frac{BL}{BA}.$ The angle bisector theorem gives $\frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} = \frac{450}{300} = \frac{3}{2},$ so $\frac{BL}{BA} = \frac{2}{2 + 3} = \frac{2}{5}.$

Therefore $LP = \frac{2}{5} \cdot AM = \frac{2}{5} \cdot 180 = 72.$

6.

¿Cuántos enteros positivos $N$ menores que $1000$ hay tales que la ecuación $x^{\lfloor x \rfloor} = N$ tenga solución para $x$ ? (La notación $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $x.$ )

How many positive integers $N$ less than $1000$ are there such that the equation $x^{\lfloor x \rfloor} = N$ has a solution for $x?$ (The notation $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer that is less than or equal to $x.$ )

Respuesta

Conceptos:funciones piso y techo conteo de enteros en un rango análisis por casos

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Si $\lfloor x \rfloor = k,$ entonces cuando $x$ recorre $[k, k+1)$ el valor $x^k$ cubre exactamente los enteros desde $k^k$ hasta $(k+1)^k - 1.$

If $\lfloor x \rfloor = k,$ then as $x$ runs over $[k, k+1)$ the value $x^k$ covers exactly the integers from $k^k$ to $(k+1)^k - 1$

Pista grande:

Suma las cantidades $(k+1)^k - k^k$ para $k = 1,$ $2,$ $3,$ y $4;$ para $k = 5$ los valores ya superan $1000.$

Sum the counts $(k+1)^k - k^k$ for $k = 1,$ $2,$ $3,$ and $4;$ for $k = 5$ the values already exceed $1000$

Solución:

Supón que $\lfloor x \rfloor = k$ para un entero positivo $k.$ Cuando $x$ recorre $[k, k+1),$ el valor $x^k$ crece de forma continua desde $k^k$ hacia $(k+1)^k,$ así que los enteros alcanzables $N$ son exactamente los que cumplen $k^k \le N \le (k+1)^k - 1:$ hay $(k+1)^k - k^k$ de ellos, y estos rangos son disjuntos para distintos $k.$ Si $0 \lt x \lt 1,$ entonces $x^{\lfloor x \rfloor} = x^0 = 1,$ que ya se alcanza. Si $x \lt 0,$ entonces $\lfloor x \rfloor$ es negativo; un exponente impar da un valor negativo, mientras que un exponente par da un valor estrictamente entre $0$ y $1.$ Por tanto, ningún $x \lt 1$ produce un entero positivo nuevo.

Para $k = 1,$ $2,$ $3,$ y $4,$ las cantidades son $2 - 1 = 1,$ $9 - 4 = 5,$ $64 - 27 = 37,$ y $625 - 256 = 369,$ y todo $N$ de este tipo es a lo sumo $624 \lt 1000.$ Para $k = 5$ el valor más pequeño es $5^5 = 3125 \gt 1000.$

El total es $1 + 5 + 37 + 369 = 412.$

Suppose $\lfloor x \rfloor = k$ for a positive integer $k.$ As $x$ runs over $[k, k+1),$ the value $x^k$ increases continuously from $k^k$ toward $(k+1)^k,$ so the attainable integers $N$ are exactly those with $k^k \le N \le (k+1)^k - 1:$ there are $(k+1)^k - k^k$ of them, and these ranges are disjoint for different $k.$ If $0 \lt x \lt 1,$ then $x^{\lfloor x \rfloor} = x^0 = 1,$ which is already attained. If $x \lt 0,$ then $\lfloor x \rfloor$ is negative; an odd exponent gives a negative value, while an even exponent gives a value strictly between $0$ and $1.$ Thus no $x \lt 1$ produces a new positive integer.

For $k = 1,$ $2,$ $3,$ and $4,$ the counts are $2 - 1 = 1,$ $9 - 4 = 5,$ $64 - 27 = 37,$ and $625 - 256 = 369,$ and every such $N$ is at most $624 \lt 1000.$ For $k = 5$ the smallest value is $5^5 = 3125 \gt 1000.$

The total is $1 + 5 + 37 + 369 = 412.$

7.

La sucesión $(a_n)$ satisface $a_1 = 1$ y $5^{(a_{n+1} - a_n)} - 1 = \frac{1}{n + \frac{2}{3}}$ para $n \ge 1.$ Sea $k$ el menor entero mayor que $1$ para el cual $a_k$ es un entero. Halla $k.$

The sequence $(a_n)$ satisfies $a_1 = 1$ and $5^{(a_{n+1} - a_n)} - 1 = \frac{1}{n + \frac{2}{3}}$ for $n \ge 1.$ Let $k$ be the least integer greater than $1$ for which $a_k$ is an integer. Find $k.$

Respuesta

Conceptos:telescópica logaritmo aritmética modular

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Reescribe la relación como $5^{a_{n+1} - a_n} = \frac{3n+5}{3n+2}$ y multiplica las igualdades sucesivas para que se cancelen los factores intermedios.

Rewrite the relation as $5^{a_{n+1} - a_n} = \frac{3n+5}{3n+2}$ and multiply successive instances to telescope

Pista grande:

La forma cerrada es $a_k = \log_5(3k+2),$ así que necesitas que $3k + 2$ sea una potencia de $5.$

The closed form is $a_k = \log_5(3k+2),$ so you need $3k + 2$ to be a power of $5$

Solución:

La relación dice $5^{a_{n+1} - a_n} = 1 + \frac{3}{3n + 2} = \frac{3n+5}{3n+2}.$ Al multiplicar estas ecuaciones para $n = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $k - 1,$ se cancelan los factores intermedios: $5^{a_k - a_1} = \frac{3k + 2}{5},$ de modo que $\begin{aligned} a_k &= 1 + \log_5 \frac{3k+2}{5} \\ &= \log_5 (3k + 2). \end{aligned}$

Así $a_k$ es un entero exactamente cuando $3k + 2$ es una potencia de $5.$ Como $5^j \equiv 2^j \pmod 3,$ solo los exponentes impares $j$ dan números de la forma $3k + 2.$ La potencia $5^1 = 5$ da $k = 1,$ que queda excluido, y la siguiente, $5^3 = 125 = 3 \cdot 41 + 2,$ da $k = 41.$

The relation says $5^{a_{n+1} - a_n} = 1 + \frac{3}{3n + 2} = \frac{3n+5}{3n+2}.$ Multiplying these equations for $n = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $k - 1$ telescopes: $5^{a_k - a_1} = \frac{3k + 2}{5},$ so $\begin{aligned} a_k &= 1 + \log_5 \frac{3k+2}{5} \\ &= \log_5 (3k + 2). \end{aligned}$

Thus $a_k$ is an integer exactly when $3k + 2$ is a power of $5.$ Since $5^j \equiv 2^j \pmod 3,$ only odd exponents $j$ give numbers of the form $3k + 2.$ The power $5^1 = 5$ gives $k = 1,$ which is excluded, and the next, $5^3 = 125 = 3 \cdot 41 + 2,$ gives $k = 41.$

8.

Sea $S = \{2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{10}\}.$ Considera todas las posibles diferencias positivas de pares de elementos de $S.$ Sea $N$ la suma de todas estas diferencias. Halla el resto cuando $N$ se divide entre $1000.$

Let $S = \{2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{10}\}.$ Consider all possible positive differences of pairs of elements of $S.$ Let $N$ be the sum of all of these differences. Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:sumatoria potencia de 2 emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

En la suma de todas las diferencias positivas, cuenta cuántas veces se suma cada $2^k$ y cuántas veces se resta.

In the sum of all positive differences, count how many times each $2^k$ is added and how many times it is subtracted

Pista grande:

$N = \sum_{k=0}^{10}(2k - 10)\,2^k;$ evalúa con $\sum k\,2^k$ y una serie geométrica, luego reduce módulo $1000.$

$N = \sum_{k=0}^{10}(2k - 10)\,2^k;$ evaluate with $\sum k\,2^k$ and a geometric series, then reduce mod $1000$

Solución:

En la suma de todas las diferencias positivas, el elemento $2^k$ se suma una vez por cada elemento menor ( $k$ veces) y se resta una vez por cada elemento mayor ( $10 - k$ veces). Por tanto $\begin{aligned} N &= \sum_{k=0}^{10} (2k - 10)\,2^k \\ &= 2\sum_{k=0}^{10} k\,2^k - 10\sum_{k=0}^{10} 2^k. \end{aligned}$

Las sumas estándar son $\sum_{k=0}^{10} k\,2^k = 9 \cdot 2^{11} + 2 = 18434$ y $\sum_{k=0}^{10} 2^k = 2^{11} - 1 = 2047,$ de modo que $\begin{aligned} N &= 2 \cdot 18434 - 10 \cdot 2047 \\ &= 36868 - 20470 = 16398. \end{aligned}$

El resto al dividir entre $1000$ es $398.$

In the sum of all positive differences, the element $2^k$ is added once for each smaller element ( $k$ times) and subtracted once for each larger element ( $10 - k$ times). Hence $\begin{aligned} N &= \sum_{k=0}^{10} (2k - 10)\,2^k \\ &= 2\sum_{k=0}^{10} k\,2^k - 10\sum_{k=0}^{10} 2^k. \end{aligned}$

The standard sums are $\sum_{k=0}^{10} k\,2^k = 9 \cdot 2^{11} + 2 = 18434$ and $\sum_{k=0}^{10} 2^k = 2^{11} - 1 = 2047,$ so $\begin{aligned} N &= 2 \cdot 18434 - 10 \cdot 2047 \\ &= 36868 - 20470 = 16398. \end{aligned}$

The remainder upon division by $1000$ is $398.$

9.

Un programa de concursos ofrece a un participante tres premios $A,$ $B$ y $C,$ cada uno de los cuales vale un número entero de dólares desde $\$1$ hasta $\$9999$ inclusive. El participante gana los premios adivinando correctamente el precio de cada premio en el orden $A,$ $B,$ $C.$ Como pista, se dan los dígitos de los tres precios. Un día concreto, los dígitos dados fueron $1,$ $1,$ $1,$ $1,$ $3,$ $3,$ $3.$ Halla el número total de combinaciones de precios posibles que sean coherentes con la pista.

A game show offers a contestant three prizes $A,$ $B$ and $C,$ each of which is worth a whole number of dollars from $\$1$ to $\$9999$ inclusive. The contestant wins the prizes by correctly guessing the price of each prize in the order $A,$ $B,$ $C.$ As a hint, the digits of the three prices are given. On a particular day, the digits given were $1,$ $1,$ $1,$ $1,$ $3,$ $3,$ $3.$ Find the total number of possible guesses for all three prizes consistent with the hint.

Respuesta

Conceptos:permutaciones de multiconjuntos particiones y composiciones principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

Concatenar los tres precios en orden da un ordenamiento de los siete dígitos; cuenta los ordenamientos y luego las formas de cortar uno en tres precios.

Concatenating the three prices in order gives an arrangement of the seven digits; count arrangements, then the ways to cut one into three prices

Pista grande:

Cada ordenamiento se corta en tres bloques no vacíos de a lo sumo $4$ dígitos: las longitudes de los bloques son permutaciones de $1,2,4;$ $2,2,3$ o $1,3,3.$

Each arrangement is cut into three nonempty blocks of at most $4$ digits: the block lengths are permutations of $1,2,4;$ $2,2,3;$ or $1,3,3$

Solución:

Concatenar los tres precios propuestos en orden produce un ordenamiento de los siete dígitos dados, y cada combinación de precios se recupera de forma única a partir de un ordenamiento junto con una forma de cortarlo en tres bloques consecutivos no vacíos de a lo sumo cuatro dígitos cada uno (los precios van desde $\$1$ hasta $\$9999,$ y aquí ningún precio puede empezar con $0$ ya que todos los dígitos son $1$ o $3$ ). Hay $\frac{7!}{4!\,3!} = 35$ ordenamientos de cuatro $1$ y tres $3$ .

Las longitudes ordenadas de los bloques son las formas de escribir $7$ como suma ordenada de tres partes entre $1$ y $4:$ las permutaciones de $(1, 2, 4),$ $(2, 2, 3)$ y $(1, 3, 3),$ que dan $6 + 3 + 3 = 12$ cortes por cada ordenamiento.

El total es $35 \cdot 12 = 420.$

Concatenating the three guessed prices in order produces an arrangement of the seven given digits, and each guess is recovered uniquely from an arrangement together with a way to cut it into three consecutive nonempty blocks of at most four digits each (prices run from $\$1$ to $\$9999,$ and no price can start with $0$ here since every digit is $1$ or $3$ ). There are $\frac{7!}{4!\,3!} = 35$ arrangements of four $1$ s and three $3$ s.

The ordered block lengths are the ways to write $7$ as an ordered sum of three parts between $1$ and $4:$ the permutations of $(1, 2, 4),$ $(2, 2, 3),$ and $(1, 3, 3),$ giving $6 + 3 + 3 = 12$ cuts for each arrangement.

The total is $35 \cdot 12 = 420.$

10.

El Examen Anual Interplanetario de Matemáticas (AIME) es redactado por un comité de cinco marcianos, cinco venusianos y cinco terrícolas. En las reuniones, los miembros del comité se sientan en una mesa redonda con sillas numeradas de $1$ a $15$ en sentido horario. Las reglas del comité establecen que un marciano debe ocupar la silla $1$ y un terrícola debe ocupar la silla $15.$ Además, ningún terrícola puede sentarse inmediatamente a la izquierda de un marciano, ningún marciano puede sentarse inmediatamente a la izquierda de un venusiano, y ningún venusiano puede sentarse inmediatamente a la izquierda de un terrícola. El número de posibles disposiciones de asientos para el comité es $N \cdot (5!)^3.$ Halla $N.$

The Annual Interplanetary Mathematics Examination (AIME) is written by a committee of five Martians, five Venusians, and five Earthlings. At meetings, committee members sit at a round table with chairs numbered from $1$ to $15$ in clockwise order. Committee rules state that a Martian must occupy chair $1$ and an Earthling must occupy chair $15.$ Furthermore, no Earthling can sit immediately to the left of a Martian, no Martian can sit immediately to the left of a Venusian, and no Venusian can sit immediately to the left of an Earthling. The number of possible seating arrangements for the committee is $N \cdot (5!)^3.$ Find $N.$

Respuesta

Conceptos:arreglos con restricciones particiones y composiciones estrellas y barras

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Cuenta primero los patrones de planeta por silla; las reglas obligan a que los bloques de marcianos, venusianos y terrícolas se repitan en ese orden horario.

Count planet-to-chair patterns first; the rules force blocks of Martians, Venusians, and Earthlings to repeat in that clockwise order

Pista grande:

Si el ciclo $MVE$ se repite $k$ veces, los $5$ miembros de cada planeta pueden dividirse en $k$ grupos ordenados no vacíos de $\binom{4}{k-1}$ maneras; eleva al cubo y suma sobre $k.$

If the cycle $MVE$ repeats $k$ times, each planet’s $5$ members split into $k$ ordered nonempty groups in $\binom{4}{k-1}$ ways; cube and sum over $k$

Solución:

Primero elige qué planeta se sienta en cada silla; después, los integrantes de cada planeta pueden asignarse a sus sillas de $5!$ maneras por planeta, así que $N$ cuenta los patrones de planetas. Las reglas de adyacencia dicen exactamente que, leyendo en sentido horario, cada bloque consecutivo maximal de marcianos debe ir seguido de un bloque de venusianos y luego de un bloque de terrícolas antes de que puedan volver a aparecer marcianos. Como la silla $1$ tiene un marciano y la silla $15$ tiene un terrícola, las sillas de $1$ a $15$ consisten en el patrón (bloque de marcianos, bloque de venusianos, bloque de terrícolas) repetido $k$ veces, para algún $1 \le k \le 5.$

Para un $k$ dado, los cinco miembros de cada planeta se distribuyen en $k$ bloques no vacíos en orden, y el número de formas de escribir $5$ como suma ordenada de $k$ enteros positivos es $\binom{4}{k-1}.$ Los tamaños de los bloques de los tres planetas son independientes, así que $\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{5} \binom{4}{k-1}^3 \\ &= 1^3 + 4^3 + 6^3 + 4^3 + 1^3 \\ &= 346. \end{aligned}$

First choose which planet sits in each chair; the individuals from each planet can then be assigned to their chairs in $5!$ ways apiece, so $N$ counts the planet patterns. The adjacency rules say exactly that, reading clockwise, each maximal block of Martians must be followed by a block of Venusians and then a block of Earthlings before Martians can appear again. Since chair $1$ holds a Martian and chair $15$ holds an Earthling, the chairs from $1$ to $15$ consist of the pattern (Martian block, Venusian block, Earthling block) repeated $k$ times, for some $1 \le k \le 5.$

For a given $k,$ each planet’s five members are distributed into $k$ nonempty blocks in order, and the number of ways to write $5$ as an ordered sum of $k$ positive integers is $\binom{4}{k-1}.$ The three planets’ block sizes are independent, so $\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{5} \binom{4}{k-1}^3 \\ &= 1^3 + 4^3 + 6^3 + 4^3 + 1^3 \\ &= 346. \end{aligned}$

11.

Considera el conjunto de todos los triángulos $OPQ$ donde $O$ es el origen y $P$ y $Q$ son puntos distintos del plano con coordenadas enteras no negativas $(x, y)$ tales que $41x + y = 2009.$ Halla el número de tales triángulos distintos cuya área es un entero positivo.

Consider the set of all triangles $OPQ$ where $O$ is the origin and $P$ and $Q$ are distinct points in the plane with nonnegative integer coordinates $(x, y)$ such that $41x + y = 2009.$ Find the number of such distinct triangles whose area is a positive integer.

Respuesta

Conceptos:punto reticular fórmula del cordón paridad

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Los puntos reticulares sobre la recta son $(i,\, 2009 - 41i)$ para $i = 0,$ $1,$ $\ldots,$ $49.$

The lattice points on the line are $(i,\, 2009 - 41i)$ for $i = 0,$ $1,$ $\ldots,$ $49$

Pista grande:

El triángulo determinado por los puntos $i$ y $j$ tiene área $\frac{2009}{2}\,|i - j|,$ un entero exactamente cuando $i$ y $j$ tienen la misma paridad.

The triangle on points $i$ and $j$ has area $\frac{2009}{2}\,|i - j|,$ an integer exactly when $i$ and $j$ have the same parity

Solución:

Los puntos de la recta con coordenadas enteras no negativas son $P_i = (i,\, 2009 - 41i)$ para $i = 0,$ $1,$ $\ldots,$ $49,$ cincuenta puntos en total. Para $P = P_i$ y $Q = P_j,$ la fórmula del zapatero da $\begin{aligned} [OPQ] &= \small \frac{1}{2}\left|\,i(2009 - 41j) - j(2009 - 41i)\,\right| \\ &= \frac{2009}{2}\,|i - j|. \end{aligned}$

Esto es automáticamente positivo para puntos distintos, y como $2009$ es impar, es un entero exactamente cuando $i - j$ es par, es decir, cuando $i$ y $j$ tienen la misma paridad. Hay $25$ índices pares y $25$ impares, así que el número de triángulos es $\binom{25}{2} + \binom{25}{2} = 300 + 300 = 600.$

The points on the line with nonnegative integer coordinates are $P_i = (i,\, 2009 - 41i)$ for $i = 0,$ $1,$ $\ldots,$ $49$ — fifty points in all. For $P = P_i$ and $Q = P_j,$ the shoelace formula gives $\begin{aligned} [OPQ] &= \small \frac{1}{2}\left|\,i(2009 - 41j) - j(2009 - 41i)\,\right| \\ &= \frac{2009}{2}\,|i - j|. \end{aligned}$

This is automatically positive for distinct points, and since $2009$ is odd, it is an integer exactly when $i - j$ is even, that is, when $i$ and $j$ have the same parity. There are $25$ even and $25$ odd indices, so the number of triangles is $\binom{25}{2} + \binom{25}{2} = 300 + 300 = 600.$

12.

En el $\triangle ABC$ rectángulo con hipotenusa $\overline{AB},$ $AC = 12,$ $BC = 35,$ y $\overline{CD}$ es la altura sobre $\overline{AB}.$ Sea $\omega$ la circunferencia que tiene a $\overline{CD}$ como diámetro. Sea $I$ un punto fuera del $\triangle ABC$ tal que $\overline{AI}$ y $\overline{BI}$ son ambas tangentes a la circunferencia $\omega.$ La razón entre el perímetro del $\triangle ABI$ y la longitud $AB$ puede expresarse en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

In right $\triangle ABC$ with hypotenuse $\overline{AB},$ $AC = 12,$ $BC = 35,$ and $\overline{CD}$ is the altitude to $\overline{AB}.$ Let $\omega$ be the circle having $\overline{CD}$ as a diameter. Let $I$ be a point outside $\triangle ABC$ such that $\overline{AI}$ and $\overline{BI}$ are both tangent to circle $\omega.$ The ratio of the perimeter of $\triangle ABI$ to the length $AB$ can be expressed in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio recta tangente Fórmula de Herón

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

$AB$ es tangente a $\omega$ en $D,$ así que $\omega$ es la circunferencia inscrita en el triángulo $ABI.$

$AB$ is tangent to $\omega$ at $D,$ so $\omega$ is the inscribed circle of triangle $ABI$

Pista grande:

Sea $x$ la longitud de la tangente desde $I$ y calcula el área del triángulo $ABI$ de dos maneras: $rs$ con $r = \frac{1}{2}\sqrt{AD \cdot BD},$ y la fórmula de Herón.

Let $x$ be the tangent length from $I$ and compute the area of $ABI$ two ways: $rs$ with $r = \frac{1}{2}\sqrt{AD \cdot BD},$ and Heron’s formula

Solución:

Como $\overline{CD} \perp \overline{AB}$ y $D$ es un extremo del diámetro, $AB$ es tangente a $\omega$ en $D.$ Junto con las rectas tangentes $AI$ y $BI,$ esto hace que $\omega$ sea la circunferencia inscrita del triángulo $ABI.$ Escribe $AD = y,$ $BD = z,$ y sea $x$ la longitud de la tangente desde $I.$ La altura del triángulo rectángulo cumple $CD^2 = AD \cdot BD,$ así que el inradio de $ABI$ es $r = \frac{1}{2}\sqrt{yz}.$

Con semiperímetro $s = x + y + z,$ las longitudes de las tangentes son exactamente $s - AB = x,$ $s - BI = y,$ y $s - AI = z,$ así que el área de $ABI$ es igual tanto a $rs$ como, por la fórmula de Herón, a $\sqrt{s \cdot xyz}.$ Igualando y elevando al cuadrado, $\frac{s^2\,yz}{4} = s\,xyz,$ de modo que $s = 4x,$ lo que da $AB = y + z = s - x = 3x.$

El perímetro es $2s = 8x,$ así que su razón respecto a $AB$ es $\frac{8x}{3x} = \frac{8}{3}$ (independiente de los catetos dados), y $m + n = 8 + 3 = 11.$

Because $\overline{CD} \perp \overline{AB}$ and $D$ is an endpoint of the diameter, $AB$ is tangent to $\omega$ at $D.$ Together with the tangent lines $AI$ and $BI,$ this makes $\omega$ the inscribed circle of triangle $ABI.$ Write $AD = y,$ $BD = z,$ and let $x$ be the tangent length from $I.$ The right-triangle altitude satisfies $CD^2 = AD \cdot BD,$ so the inradius of $ABI$ is $r = \frac{1}{2}\sqrt{yz}.$

With semiperimeter $s = x + y + z,$ the tangent lengths are exactly $s - AB = x,$ $s - BI = y,$ and $s - AI = z,$ so the area of $ABI$ equals both $rs$ and, by Heron’s formula, $\sqrt{s \cdot xyz}.$ Equating and squaring, $\frac{s^2\,yz}{4} = s\,xyz,$ so $s = 4x,$ which gives $AB = y + z = s - x = 3x.$

The perimeter is $2s = 8x,$ so its ratio to $AB$ is $\frac{8x}{3x} = \frac{8}{3}$ (independent of the given legs), and $m + n = 8 + 3 = 11.$

13.

Los términos de la sucesión $(a_i)$ definida por $a_{n+2} = \frac{a_n + 2009}{1 + a_{n+1}}$ para $n \ge 1$ son enteros positivos. Halla el valor mínimo posible de $a_1 + a_2.$

The terms of the sequence $(a_i)$ defined by $a_{n+2} = \frac{a_n + 2009}{1 + a_{n+1}}$ for $n \ge 1$ are positive integers. Find the minimum possible value of $a_1 + a_2.$

Respuesta

Conceptos:recursión argumento extremal factorización en primos

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Elimina denominadores: $a_{n+2}(1 + a_{n+1}) = a_n + 2009,$ luego resta ecuaciones consecutivas.

Clear denominators: $a_{n+2}(1 + a_{n+1}) = a_n + 2009,$ then subtract consecutive instances

Pista grande:

A menos que $a_{n+2} = a_n$ siempre, las diferencias $|a_{n+2} - a_n|$ decrecen estrictamente para siempre, lo cual es imposible; el caso de período dos resultante obliga a $a_1 a_2 = 2009.$

Unless $a_{n+2} = a_n$ always, the differences $|a_{n+2} - a_n|$ strictly decrease forever, which is impossible; the resulting two-periodic case forces $a_1 a_2 = 2009$

Solución:

Al eliminar denominadores, $a_{n+2}(1 + a_{n+1}) = a_n + 2009$ para todo $n \ge 1.$ Restar cada instancia de la siguiente da $\begin{aligned} &a_{n+2} - a_n \\ &= (a_{n+2} + 1)(a_{n+3} - a_{n+1}). \end{aligned}$

Si alguna diferencia $a_{n+2} - a_n$ fuera no nula, entonces toda diferencia posterior también sería no nula, y como cada $a_{n+2} + 1 \ge 2,$ la identidad obligaría a $|a_3 - a_1|$ $\gt |a_4 - a_2|$ $\gt |a_5 - a_3|$ $\gt \cdots,$ una sucesión infinita estrictamente decreciente de enteros positivos, lo cual es imposible. Por tanto $a_{n+2} = a_n$ para todo $n:$ los términos de índice impar son todos iguales y los de índice par son todos iguales.

La recurrencia entonces se lee $a_1(1 + a_2) = a_1 + 2009,$ de modo que $a_1 a_2 = 2009 = 7^2 \cdot 41.$ Entre los pares de factores de $2009,$ la suma es mínima para $41 \cdot 49,$ dando $41 + 49 = 90.$

Clearing denominators, $a_{n+2}(1 + a_{n+1}) = a_n + 2009$ for all $n \ge 1.$ Subtracting each instance from the next gives $\begin{aligned} &a_{n+2} - a_n \\ &= (a_{n+2} + 1)(a_{n+3} - a_{n+1}). \end{aligned}$

If some difference $a_{n+2} - a_n$ were nonzero, then every later difference would be nonzero as well, and since each $a_{n+2} + 1 \ge 2,$ the identity would force $|a_3 - a_1|$ $\gt |a_4 - a_2|$ $\gt |a_5 - a_3|$ $\gt \cdots,$ an infinite strictly decreasing sequence of positive integers — impossible. Hence $a_{n+2} = a_n$ for all $n:$ the odd-indexed terms are all equal and the even-indexed terms are all equal.

The recursion then reads $a_1(1 + a_2) = a_1 + 2009,$ so $a_1 a_2 = 2009 = 7^2 \cdot 41.$ Among the factor pairs of $2009,$ the sum is smallest for $41 \cdot 49,$ giving $41 + 49 = 90.$

14.

Para $t = 1,$ $2,$ $3,$ $4,$ define $S_t = \sum_{i=1}^{350} a_i^t,$ donde $a_i \in \{1, 2, 3, 4\}.$ Si $S_1 = 513$ y $S_4 = 4745,$ halla el valor mínimo posible de $S_2.$

For $t = 1,$ $2,$ $3,$ $4,$ define $S_t = \sum_{i=1}^{350} a_i^t,$ where $a_i \in \{1, 2, 3, 4\}.$ If $S_1 = 513$ and $S_4 = 4745,$ find the minimum possible value for $S_2.$

Respuesta

Conceptos:sistema de ecuaciones Ecuación diofántica optimización

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Sea $m_j$ el número de $a_i$ que valen $j;$ los datos dados son ecuaciones lineales en $m_1,$ $m_2,$ $m_3,$ $m_4.$

Let $m_j$ count how many $a_i$ equal $j;$ the given data are linear equations in $m_1,$ $m_2,$ $m_3,$ $m_4$

Pista grande:

Elimina $m_1$ y luego $m_2$ para obtener $5m_3 + 21m_4 = 195,$ así que $m_4$ es $0$ o $5;$ compara los dos valores resultantes de $S_2.$

Eliminating $m_1$ and then $m_2$ leaves $5m_3 + 21m_4 = 195,$ so $m_4$ is $0$ or $5;$ compare the two resulting values of $S_2$

Solución:

Para $j = 1, 2, 3, 4,$ sea $m_j$ el número de $a_i$ iguales a $j.$ Entonces $\begin{aligned} &m_1 + m_2 + m_3 + m_4 = 350, \\ &m_1 + 2m_2 + 3m_3 + 4m_4 = 513, \\ &m_1 + 16m_2 + 81m_3 \\ &\quad {}+ 256m_4 = 4745. \end{aligned}$

Restar la primera ecuación de las otras dos da $m_2 + 2m_3 + 3m_4 = 163$ y $15m_2 + 80m_3 + 255m_4 = 4395;$ restar $15$ veces la primera de la segunda deja $50m_3 + 210m_4 = 1950,$ es decir, $5m_3 + 21m_4 = 195.$ Por tanto $m_4$ es un múltiplo no negativo de $5,$ y solo $m_4 = 0$ y $m_4 = 5$ mantienen todo no negativo, dando $(m_1, m_2, m_3, m_4)$ $= (226, 85, 39, 0)$ o $(215, 112, 18, 5).$

Estos dan $S_2 = m_1 + 4m_2$ $+ 9m_3 + 16m_4$ $= 917$ y $905$ respectivamente, así que el mínimo es $905.$

For $j = 1, 2, 3, 4,$ let $m_j$ be the number of $a_i$ equal to $j.$ Then $\begin{aligned} &m_1 + m_2 + m_3 + m_4 = 350, \\ &m_1 + 2m_2 + 3m_3 + 4m_4 = 513, \\ &m_1 + 16m_2 + 81m_3 \\ &\quad {}+ 256m_4 = 4745. \end{aligned}$

Subtracting the first equation from the other two gives $m_2 + 2m_3 + 3m_4 = 163$ and $15m_2 + 80m_3 + 255m_4 = 4395;$ subtracting $15$ times the former from the latter leaves $50m_3 + 210m_4 = 1950,$ that is, $5m_3 + 21m_4 = 195.$ Hence $m_4$ is a nonnegative multiple of $5,$ and only $m_4 = 0$ and $m_4 = 5$ keep everything nonnegative, giving $(m_1, m_2, m_3, m_4)$ $= (226, 85, 39, 0)$ or $(215, 112, 18, 5).$

These yield $S_2 = m_1 + 4m_2$ $+ 9m_3 + 16m_4$ $= 917$ and $905$ respectively, so the minimum is $905.$

15.

En el triángulo $ABC,$ $AB = 10,$ $BC = 14,$ y $CA = 16.$ Sea $D$ un punto en el interior de $\overline{BC}.$ Sean $I_B$ e $I_C$ los incentros de los triángulos $ABD$ y $ACD,$ respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $BI_BD$ y $CI_CD$ se cortan en dos puntos distintos $P$ y $D.$ El área máxima posible de $\triangle BPC$ puede expresarse en la forma $a - b\sqrt{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $a + b + c.$

In triangle $ABC,$ $AB = 10,$ $BC = 14,$ and $CA = 16.$ Let $D$ be a point in the interior of $\overline{BC}.$ Let $I_B$ and $I_C$ denote the incenters of triangles $ABD$ and $ACD,$ respectively. The circumcircles of triangles $BI_BD$ and $CI_CD$ meet at distinct points $P$ and $D.$ The maximum possible area of $\triangle BPC$ can be expressed in the form $a - b\sqrt{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers and $c$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c.$

Respuesta

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio cuadrilátero cíclico ley de los cosenos optimización

Nivel de dificultad: 3500

Pista pequeña:

Usa $\angle B I_B D = 90^\circ + \frac{\angle BAD}{2}$ y la relación análoga, y transfiere estos ángulos a $P$ mediante los cuadriláteros cíclicos.

Use $\angle B I_B D = 90^\circ + \frac{\angle BAD}{2}$ and its mirror image, and transfer these angles to $P$ via the cyclic quadrilaterals

Pista grande:

$\angle BPC = 180^\circ - \frac{\angle BAC}{2}$ es independiente de $D,$ así que $P$ está sobre un arco fijo que pasa por $B$ y $C;$ el área se maximiza en el punto medio del arco.

$\angle BPC = 180^\circ - \frac{\angle BAC}{2}$ is independent of $D,$ so $P$ lies on a fixed arc through $B$ and $C;$ the area is maximized at the arc midpoint

Solución:

En el triángulo $ABD$ el incentro cumple $\angle B I_B D = 90^\circ + \frac{\angle BAD}{2},$ y análogamente $\angle C I_C D = 90^\circ + \frac{\angle DAC}{2},$ así que estos dos ángulos suman $180^\circ + \frac{\angle BAC}{2}.$ La ley de cosenos da $\cos \angle BAC = \frac{10^2 + 16^2 - 14^2}{2 \cdot 10 \cdot 16} = \frac{1}{2},$ así que $\angle BAC = 60^\circ$ y la suma es $210^\circ.$

El segundo punto de intersección $P$ está en el lado opuesto de $\overline{BC}$ respecto de los incentros (si estuviera en el mismo lado, los dos cuadriláteros cíclicos obligarían a $\angle BPC = 210^\circ \gt 180^\circ$ ). Entonces $BI_BDP$ y $CI_CDP$ son cuadriláteros cíclicos convexos, así que $\begin{aligned} \angle BPC &= \angle BPD + \angle DPC \\ &= \left(180^\circ - \angle BI_BD\right) \\ &\quad {}+ \left(180^\circ - \angle CI_CD\right) \\ &= 360^\circ - 210^\circ = 150^\circ, \end{aligned}$ independiente de $D.$ Por tanto $P$ se mueve a lo largo de un arco circular fijo que pasa por $B$ y $C.$

El área del triángulo $BPC$ se maximiza en el punto medio del arco, donde $BP = PC = x.$ La ley de cosenos da $14^2 = 2x^2 + \sqrt{3}\,x^2,$ así que $x^2 = \frac{196}{2 + \sqrt{3}} = 196\left(2 - \sqrt{3}\right),$ y el área es $\frac{1}{2}x^2 \sin 150^\circ = 49\left(2 - \sqrt{3}\right)$ $= 98 - 49\sqrt{3}.$ Por tanto $a + b + c = 98 + 49 + 3 = 150.$

In triangle $ABD$ the incenter satisfies $\angle B I_B D = 90^\circ + \frac{\angle BAD}{2},$ and likewise $\angle C I_C D = 90^\circ + \frac{\angle DAC}{2},$ so these two angles sum to $180^\circ + \frac{\angle BAC}{2}.$ The law of cosines gives $\cos \angle BAC = \frac{10^2 + 16^2 - 14^2}{2 \cdot 10 \cdot 16} = \frac{1}{2},$ so $\angle BAC = 60^\circ$ and the sum is $210^\circ.$

The second intersection point $P$ lies on the opposite side of $\overline{BC}$ from the incenters (were it on the same side, the two cyclic quadrilaterals would force $\angle BPC = 210^\circ \gt 180^\circ$ ). Then $BI_BDP$ and $CI_CDP$ are convex cyclic quadrilaterals, so $\begin{aligned} \angle BPC &= \angle BPD + \angle DPC \\ &= \left(180^\circ - \angle BI_BD\right) \\ &\quad {}+ \left(180^\circ - \angle CI_CD\right) \\ &= 360^\circ - 210^\circ = 150^\circ, \end{aligned}$ independent of $D.$ Hence $P$ moves along a fixed circular arc through $B$ and $C.$

The area of triangle $BPC$ is maximized at the midpoint of the arc, where $BP = PC = x.$ The law of cosines gives $14^2 = 2x^2 + \sqrt{3}\,x^2,$ so $x^2 = \frac{196}{2 + \sqrt{3}} = 196\left(2 - \sqrt{3}\right),$ and the area is $\frac{1}{2}x^2 \sin 150^\circ = 49\left(2 - \sqrt{3}\right)$ $= 98 - 49\sqrt{3}.$ Thus $a + b + c = 98 + 49 + 3 = 150.$