Soluciones del 2009 AIME I | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Se dice que un número de

3

cifras es geométrico si tiene

3

dígitos distintos que, leídos de izquierda a derecha, forman una progresión geométrica. Halla la diferencia entre el mayor y el menor número geométrico.

Call a

3

-digit number geometric if it has

3

distinct digits which, when read from left to right, form a geometric sequence. Find the difference between the largest and smallest geometric numbers.

Respuesta

Conceptos:sucesión geométrica dígitos análisis por casos

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Escribe los dígitos como

a,

ar,

ar^2;

la razón

r

puede ser una fracción siempre que los tres dígitos sean enteros distintos.

Write the digits as

a,

ar,

ar^2;

the ratio

r

may be a fraction as long as all three digits are distinct integers

Pista grande:

Para el mayor, empieza con el dígito de las centenas

9

y prueba razones con denominador

3;

para el menor, empieza con

1

y una razón entera.

For the largest, start with hundreds digit

9

and try ratios with denominator

3;

for the smallest, start with

1

and an integer ratio

Solución:

Escribe los dígitos como

a,

ar,

ar^2.

Para el mayor número geométrico, toma

a = 9.

Una razón entera de al menos

2

llevaría el siguiente dígito más allá de

9,

y

r = 1

repite dígitos, así que

r

es una fracción cuyo denominador al cuadrado divide a

9:

las opciones

r = \frac{2}{3}

y

r = \frac{1}{3}

dan

964

y

931.

El mayor es

964.

Para el menor, toma el dígito de las centenas

1.

Entonces el dígito de las decenas

r

debe ser un entero de al menos

2

(los dígitos son distintos), y

r = 2

da

124,

que es menor que

r = 3,

que da

139.

La diferencia es

964 - 124 = 840.

Write the digits as

a,

ar,

ar^2.

For the largest geometric number, take

a = 9.

An integer ratio at least

2

would push the next digit past

9,

and

r = 1

repeats digits, so

r

is a fraction whose denominator squares into

9:

the choices

r = \frac{2}{3}

and

r = \frac{1}{3}

give

964

and

931.

The largest is

964.

For the smallest, take hundreds digit

1.

Then the tens digit

r

must be an integer at least

2

(the digits are distinct), and

r = 2

gives

124,

which beats

r = 3

’s

139.

The difference is

964 - 124 = 840.

2.

Existe un número complejo

z

con parte imaginaria

164

y un entero positivo

n

tales que

\frac{z}{z + n} = 4i.

Halla

n.

There is a complex number

z

with imaginary part

164

and a positive integer

n

such that

\frac{z}{z + n} = 4i.

Find

n.

Respuesta

Conceptos:número complejo manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Escribe

z = a + 164i

y elimina el denominador:

z = 4i(z + n).

Write

z = a + 164i

and clear the denominator:

z = 4i(z + n)

Pista grande:

Desarrolla

4i(z + n)

e iguala primero las partes reales y luego las imaginarias para hallar

a

y después

n.

Expand

4i(z + n)

and match real parts, then imaginary parts, to find

a

and then

n

Solución:

Escribe

z = a + 164i.

Al eliminar el denominador se obtiene

z = 4i(z + n),

es decir,

\begin{aligned} a + 164i &= 4i\,(a + n + 164i) \\ &= -656 + 4(a + n)i. \end{aligned}

Las partes reales dan

a = -656,

y las partes imaginarias dan

164 = 4(a + n),

de modo que

a + n = 41

y

n = 41 + 656 = 697.

Write

z = a + 164i.

Clearing the denominator gives

z = 4i(z + n),

that is,

\begin{aligned} a + 164i &= 4i\,(a + n + 164i) \\ &= -656 + 4(a + n)i. \end{aligned}

Real parts give

a = -656,

and imaginary parts give

164 = 4(a + n),

so

a + n = 41

and

n = 41 + 656 = 697.

3.

Una moneda que sale cara con probabilidad

p \gt 0

y cruz con probabilidad

1 - p \gt 0

de forma independiente en cada lanzamiento se lanza ocho veces. Supón que la probabilidad de tres caras y cinco cruces es igual a

\frac{1}{25}

de la probabilidad de cinco caras y tres cruces. Sea

p = \frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halla

m + n.

A coin that comes up heads with probability

p \gt 0

and tails with probability

1 - p \gt 0

independently on each flip is flipped eight times. Suppose the probability of three heads and five tails is equal to

\frac{1}{25}

of the probability of five heads and three tails. Let

p = \frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Conceptos:probabilidad binomial manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Plantea

\binom{8}{3}p^3(1-p)^5 = \frac{1}{25}\binom{8}{5}p^5(1-p)^3.

Set up

\binom{8}{3}p^3(1-p)^5 = \frac{1}{25}\binom{8}{5}p^5(1-p)^3

Pista grande:

Los coeficientes binomiales se cancelan, dejando

(1-p)^2 = \frac{p^2}{25};

ambos lados son positivos, así que toma raíces cuadradas.

The binomial coefficients cancel, leaving

(1-p)^2 = \frac{p^2}{25};

both sides are positive, so take square roots

Solución:

La condición dice

\begin{aligned} &\binom{8}{3} p^3 (1-p)^5 \\ &= \frac{1}{25} \binom{8}{5} p^5 (1-p)^3. \end{aligned}

Como

\binom{8}{3} = \binom{8}{5}

y tanto

p

como

1 - p

son positivos, al dividir entre

p^3(1-p)^3

queda

(1-p)^2 = \frac{p^2}{25},

de modo que

1 - p = \frac{p}{5}.

Por tanto

p = \frac{5}{6},

y

m + n = 5 + 6 = 11.

The condition says

\begin{aligned} &\binom{8}{3} p^3 (1-p)^5 \\ &= \frac{1}{25} \binom{8}{5} p^5 (1-p)^3. \end{aligned}

Since

\binom{8}{3} = \binom{8}{5}

and both

p

and

1 - p

are positive, dividing by

p^3(1-p)^3

leaves

(1-p)^2 = \frac{p^2}{25},

so

1 - p = \frac{p}{5}.

Hence

p = \frac{5}{6},

and

m + n = 5 + 6 = 11.

4.

En el paralelogramo

ABCD,

el punto

M

está sobre

\overline{AB}

de modo que

\frac{AM}{AB} = \frac{17}{1000},

y el punto

N

está sobre

\overline{AD}

de modo que

\frac{AN}{AD} = \frac{17}{2009}.

Sea

P

el punto de intersección de

\overline{AC}

y

\overline{MN}.

Halla

\frac{AC}{AP}.

In parallelogram

ABCD,

point

M

is on

\overline{AB}

so that

\frac{AM}{AB} = \frac{17}{1000},

and point

N

is on

\overline{AD}

so that

\frac{AN}{AD} = \frac{17}{2009}.

Let

P

be the point of intersection of

\overline{AC}

and

\overline{MN}.

Find

\frac{AC}{AP}.

Respuesta

Conceptos:vector paralelogramo

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Toma

A

como origen y expresa

M,

N

y

C

en términos de los vectores

\overrightarrow{AB}

y

\overrightarrow{AD}.

Set

A

as the origin and express

M,

N,

and

C

in terms of the vectors

\overrightarrow{AB}

and

\overrightarrow{AD}

Pista grande:

Los puntos de la recta

MN

tienen la forma

tM + (1-t)N;

escribe además

P = s\,(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}),

iguala coeficientes y suma las dos ecuaciones resultantes.

Points of line

MN

have the form

tM + (1-t)N;

also write

P = s\,(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}),

match coefficients, and add the two resulting equations

Solución:

Coloca

A

en el origen y sean

\mathbf{b} = \overrightarrow{AB}

y

\mathbf{d} = \overrightarrow{AD},

de modo que

C = \mathbf{b} + \mathbf{d},

M = \frac{17}{1000}\mathbf{b},

y

N = \frac{17}{2009}\mathbf{d}.

Como

P

está sobre

\overline{AC},

escribe

P = s\,(\mathbf{b} + \mathbf{d})

donde

s = \frac{AP}{AC};

como

P

también está sobre la recta

MN,

escribe

P = tM + (1 - t)N

para algún

t.

Como

\mathbf{b}

y

\mathbf{d}

son independientes, los coeficientes deben coincidir:

s = \frac{17t}{1000}

y

s = \frac{17(1-t)}{2009}.

Así

t = \frac{1000s}{17}

y

1 - t = \frac{2009s}{17};

al sumar se obtiene

1 = \frac{3009s}{17}.

Por tanto

\frac{AC}{AP} = \frac{1}{s} = \frac{3009}{17} = 177.

Place

A

at the origin and let

\mathbf{b} = \overrightarrow{AB}

and

\mathbf{d} = \overrightarrow{AD},

so that

C = \mathbf{b} + \mathbf{d},

M = \frac{17}{1000}\mathbf{b},

and

N = \frac{17}{2009}\mathbf{d}.

Since

P

lies on

\overline{AC},

write

P = s\,(\mathbf{b} + \mathbf{d})

where

s = \frac{AP}{AC};

since

P

also lies on line

MN,

write

P = tM + (1 - t)N

for some

t.

Because

\mathbf{b}

and

\mathbf{d}

are independent, the coefficients must agree:

s = \frac{17t}{1000}

and

s = \frac{17(1-t)}{2009}.

Thus

t = \frac{1000s}{17}

and

1 - t = \frac{2009s}{17};

adding gives

1 = \frac{3009s}{17}.

Therefore

\frac{AC}{AP} = \frac{1}{s} = \frac{3009}{17} = 177.

5.

El triángulo

ABC

tiene

AC = 450

y

BC = 300.

Los puntos

K

y

L

están sobre

\overline{AC}

y

\overline{AB}

respectivamente de modo que

AK = CK,

y

\overline{CL}

es la bisectriz del ángulo

C.

Sea

P

el punto de intersección de

\overline{BK}

y

\overline{CL},

y sea

M

el punto sobre la recta

BK

para el cual

K

es el punto medio de

\overline{PM}.

Si

AM = 180,

halla

LP.

Triangle

ABC

has

AC = 450

and

BC = 300.

Points

K

and

L

are located on

\overline{AC}

and

\overline{AB}

respectively so that

AK = CK,

and

\overline{CL}

is the angle bisector of angle

C.

Let

P

be the point of intersection of

\overline{BK}

and

\overline{CL},

and let

M

be the point on line

BK

for which

K

is the midpoint of

\overline{PM}.

If

AM = 180,

find

LP.

Respuesta

Conceptos:paralelogramo semejanza teorema de la bisectriz

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

AK = CK

y que

K

sea el punto medio de

\overline{PM}

significan que las diagonales del cuadrilátero

APCM

se bisecan mutuamente, así que

APCM

es un paralelogramo.

AK = CK

and

K

the midpoint of

\overline{PM}

mean the diagonals of quadrilateral

APCM

bisect each other, so

APCM

is a parallelogram

Pista grande:

AM \parallel CP

hace que los triángulos

BLP

y

BAM

sean semejantes; obtén

\frac{BL}{BA}

a partir del teorema de la bisectriz.

AM \parallel CP

makes triangles

BLP

and

BAM

similar; get

\frac{BL}{BA}

from the angle bisector theorem

Solución:

Como

AK = CK

y

K

es el punto medio de

\overline{PM},

las diagonales del cuadrilátero

APCM

se bisecan mutuamente, así que

APCM

es un paralelogramo y

AM \parallel CP.

Como

P

está sobre la recta

CL

y

B,

P

y

M

están todos sobre la recta

BK,

los triángulos

BLP

y

BAM

son semejantes.

Así

\frac{LP}{AM} = \frac{BL}{BA}.

El teorema de la bisectriz da

\frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} = \frac{450}{300} = \frac{3}{2},

de modo que

\frac{BL}{BA} = \frac{2}{2 + 3} = \frac{2}{5}.

Por tanto

LP = \frac{2}{5} \cdot AM = \frac{2}{5} \cdot 180 = 72.

Because

AK = CK

and

K

is the midpoint of

\overline{PM},

the diagonals of quadrilateral

APCM

bisect each other, so

APCM

is a parallelogram and

AM \parallel CP.

Since

P

lies on line

CL

and

B,

P,

M

all lie on line

BK,

triangles

BLP

and

BAM

are similar.

Thus

\frac{LP}{AM} = \frac{BL}{BA}.

The angle bisector theorem gives

\frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} = \frac{450}{300} = \frac{3}{2},

so

\frac{BL}{BA} = \frac{2}{2 + 3} = \frac{2}{5}.

Therefore

LP = \frac{2}{5} \cdot AM = \frac{2}{5} \cdot 180 = 72.

6.

¿Cuántos enteros positivos

N

menores que

1000

hay tales que la ecuación

x^{\lfloor x \rfloor} = N

tenga solución para

x

? (La notación

\lfloor x \rfloor

denota el mayor entero que es menor o igual que

x.

)

How many positive integers

N

less than

1000

are there such that the equation

x^{\lfloor x \rfloor} = N

has a solution for

x?

(The notation

\lfloor x \rfloor

denotes the greatest integer that is less than or equal to

x.

)

Respuesta

Conceptos:funciones piso y techo conteo de enteros en un rango análisis por casos

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Si

\lfloor x \rfloor = k,

entonces cuando

x

recorre

[k, k+1)

el valor

x^k

cubre exactamente los enteros desde

k^k

hasta

(k+1)^k - 1.

If

\lfloor x \rfloor = k,

then as

x

runs over

[k, k+1)

the value

x^k

covers exactly the integers from

k^k

to

(k+1)^k - 1

Pista grande:

Suma las cantidades

(k+1)^k - k^k

para

k = 1,

2,

3,

y

4;

para

k = 5

los valores ya superan

1000.

Sum the counts

(k+1)^k - k^k

for

k = 1,

2,

3,

and

4;

for

k = 5

the values already exceed

1000

Solución:

Supón que

\lfloor x \rfloor = k

para un entero positivo

k.

Cuando

x

recorre

[k, k+1),

el valor

x^k

crece de forma continua desde

k^k

hacia

(k+1)^k,

así que los enteros alcanzables

N

son exactamente los que cumplen

k^k \le N \le (k+1)^k - 1:

hay

(k+1)^k - k^k

de ellos, y estos rangos son disjuntos para distintos

k.

Si

0 \lt x \lt 1,

entonces

x^{\lfloor x \rfloor} = x^0 = 1,

que ya se alcanza. Si

x \lt 0,

entonces

\lfloor x \rfloor

es negativo; un exponente impar da un valor negativo, mientras que un exponente par da un valor estrictamente entre

0

y

1.

Por tanto, ningún

x \lt 1

produce un entero positivo nuevo.

Para

k = 1,

2,

3,

y

4,

las cantidades son

2 - 1 = 1,

9 - 4 = 5,

64 - 27 = 37,

y

625 - 256 = 369,

y todo

N

de este tipo es a lo sumo

624 \lt 1000.

Para

k = 5

el valor más pequeño es

5^5 = 3125 \gt 1000.

El total es

1 + 5 + 37 + 369 = 412.

Suppose

\lfloor x \rfloor = k

for a positive integer

k.

As

x

runs over

[k, k+1),

the value

x^k

increases continuously from

k^k

toward

(k+1)^k,

so the attainable integers

N

are exactly those with

k^k \le N \le (k+1)^k - 1:

there are

(k+1)^k - k^k

of them, and these ranges are disjoint for different

k.

If

0 \lt x \lt 1,

then

x^{\lfloor x \rfloor} = x^0 = 1,

which is already attained. If

x \lt 0,

then

\lfloor x \rfloor

is negative; an odd exponent gives a negative value, while an even exponent gives a value strictly between

0

and

1.

Thus no

x \lt 1

produces a new positive integer.

For

k = 1,

2,

3,

and

4,

the counts are

2 - 1 = 1,

9 - 4 = 5,

64 - 27 = 37,

and

625 - 256 = 369,

and every such

N

is at most

624 \lt 1000.

For

k = 5

the smallest value is

5^5 = 3125 \gt 1000.

The total is

1 + 5 + 37 + 369 = 412.

7.

La sucesión

(a_n)

satisface

a_1 = 1

y

5^{(a_{n+1} - a_n)} - 1 = \frac{1}{n + \frac{2}{3}}

para

n \ge 1.

Sea

k

el menor entero mayor que

1

para el cual

a_k

es un entero. Halla

k.

The sequence

(a_n)

satisfies

a_1 = 1

and

5^{(a_{n+1} - a_n)} - 1 = \frac{1}{n + \frac{2}{3}}

for

n \ge 1.

Let

k

be the least integer greater than

1

for which

a_k

is an integer. Find

k.

Respuesta

Conceptos:telescópica logaritmo aritmética modular

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Reescribe la relación como

5^{a_{n+1} - a_n} = \frac{3n+5}{3n+2}

y multiplica las igualdades sucesivas para que se cancelen los factores intermedios.

Rewrite the relation as

5^{a_{n+1} - a_n} = \frac{3n+5}{3n+2}

and multiply successive instances to telescope

Pista grande:

La forma cerrada es

a_k = \log_5(3k+2),

así que necesitas que

3k + 2

sea una potencia de

5.

The closed form is

a_k = \log_5(3k+2),

so you need

3k + 2

to be a power of

5

Solución:

La relación dice

5^{a_{n+1} - a_n} = 1 + \frac{3}{3n + 2} = \frac{3n+5}{3n+2}.

Al multiplicar estas ecuaciones para

n = 1,

2,

\ldots,

k - 1,

se cancelan los factores intermedios:

5^{a_k - a_1} = \frac{3k + 2}{5},

de modo que

\begin{aligned} a_k &= 1 + \log_5 \frac{3k+2}{5} \\ &= \log_5 (3k + 2). \end{aligned}

Así

a_k

es un entero exactamente cuando

3k + 2

es una potencia de

5.

Como

5^j \equiv 2^j \pmod 3,

solo los exponentes impares

j

dan números de la forma

3k + 2.

La potencia

5^1 = 5

da

k = 1,

que queda excluido, y la siguiente,

5^3 = 125 = 3 \cdot 41 + 2,

da

k = 41.

The relation says

5^{a_{n+1} - a_n} = 1 + \frac{3}{3n + 2} = \frac{3n+5}{3n+2}.

Multiplying these equations for

n = 1,

2,

\ldots,

k - 1

telescopes:

5^{a_k - a_1} = \frac{3k + 2}{5},

so

\begin{aligned} a_k &= 1 + \log_5 \frac{3k+2}{5} \\ &= \log_5 (3k + 2). \end{aligned}

Thus

a_k

is an integer exactly when

3k + 2

is a power of

5.

Since

5^j \equiv 2^j \pmod 3,

only odd exponents

j

give numbers of the form

3k + 2.

The power

5^1 = 5

gives

k = 1,

which is excluded, and the next,

5^3 = 125 = 3 \cdot 41 + 2,

gives

k = 41.

8.

Sea

S = \{2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{10}\}.

Considera todas las posibles diferencias positivas de pares de elementos de

S.

Sea

N

la suma de todas estas diferencias. Halla el resto cuando

N

se divide entre

1000.

Let

S = \{2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{10}\}.

Consider all possible positive differences of pairs of elements of

S.

Let

N

be the sum of all of these differences. Find the remainder when

N

is divided by

1000.

Respuesta

Conceptos:sumatoria potencia de 2 emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

En la suma de todas las diferencias positivas, cuenta cuántas veces se suma cada

2^k

y cuántas veces se resta.

In the sum of all positive differences, count how many times each

2^k

is added and how many times it is subtracted

Pista grande:

N = \sum_{k=0}^{10}(2k - 10)\,2^k;

evalúa con

\sum k\,2^k

y una serie geométrica, luego reduce módulo

1000.

N = \sum_{k=0}^{10}(2k - 10)\,2^k;

evaluate with

\sum k\,2^k

and a geometric series, then reduce mod

1000

Solución:

En la suma de todas las diferencias positivas, el elemento

2^k

se suma una vez por cada elemento menor (

k

veces) y se resta una vez por cada elemento mayor (

10 - k

veces). Por tanto

\begin{aligned} N &= \sum_{k=0}^{10} (2k - 10)\,2^k \\ &= 2\sum_{k=0}^{10} k\,2^k - 10\sum_{k=0}^{10} 2^k. \end{aligned}

Las sumas estándar son

\sum_{k=0}^{10} k\,2^k = 9 \cdot 2^{11} + 2 = 18434

y

\sum_{k=0}^{10} 2^k = 2^{11} - 1 = 2047,

de modo que

\begin{aligned} N &= 2 \cdot 18434 - 10 \cdot 2047 \\ &= 36868 - 20470 = 16398. \end{aligned}

El resto al dividir entre

1000

es

398.

In the sum of all positive differences, the element

2^k

is added once for each smaller element (

k

times) and subtracted once for each larger element (

10 - k

times). Hence

\begin{aligned} N &= \sum_{k=0}^{10} (2k - 10)\,2^k \\ &= 2\sum_{k=0}^{10} k\,2^k - 10\sum_{k=0}^{10} 2^k. \end{aligned}

The standard sums are

\sum_{k=0}^{10} k\,2^k = 9 \cdot 2^{11} + 2 = 18434

and

\sum_{k=0}^{10} 2^k = 2^{11} - 1 = 2047,

so

\begin{aligned} N &= 2 \cdot 18434 - 10 \cdot 2047 \\ &= 36868 - 20470 = 16398. \end{aligned}

The remainder upon division by

1000

is

398.

9.

Un programa de concursos ofrece a un participante tres premios

A,

B

y

C,

cada uno de los cuales vale un número entero de dólares desde

\$1

hasta

\$9999

inclusive. El participante gana los premios adivinando correctamente el precio de cada premio en el orden

A,

B,

C.

Como pista, se dan los dígitos de los tres precios. Un día concreto, los dígitos dados fueron

1,

1,

1,

1,

3,

3,

3.

Halla el número total de combinaciones de precios posibles que sean coherentes con la pista.

A game show offers a contestant three prizes

A,

B

and

C,

each of which is worth a whole number of dollars from

\$1

to

\$9999

inclusive. The contestant wins the prizes by correctly guessing the price of each prize in the order

A,

B,

C.

As a hint, the digits of the three prices are given. On a particular day, the digits given were

1,

1,

1,

1,

3,

3,

3.

Find the total number of possible guesses for all three prizes consistent with the hint.

Respuesta

Conceptos:permutaciones de multiconjuntos particiones y composiciones principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

Concatenar los tres precios en orden da un ordenamiento de los siete dígitos; cuenta los ordenamientos y luego las formas de cortar uno en tres precios.

Concatenating the three prices in order gives an arrangement of the seven digits; count arrangements, then the ways to cut one into three prices

Pista grande:

Cada ordenamiento se corta en tres bloques no vacíos de a lo sumo

4

dígitos: las longitudes de los bloques son permutaciones de

1,2,4;

2,2,3

o

1,3,3.

Each arrangement is cut into three nonempty blocks of at most

4

digits: the block lengths are permutations of

1,2,4;

2,2,3;

or

1,3,3

Solución:

Concatenar los tres precios propuestos en orden produce un ordenamiento de los siete dígitos dados, y cada combinación de precios se recupera de forma única a partir de un ordenamiento junto con una forma de cortarlo en tres bloques consecutivos no vacíos de a lo sumo cuatro dígitos cada uno (los precios van desde

\$1

hasta

\$9999,

y aquí ningún precio puede empezar con

0

ya que todos los dígitos son

1

o

3

). Hay

\frac{7!}{4!\,3!} = 35

ordenamientos de cuatro

1

y tres

3

.

Las longitudes ordenadas de los bloques son las formas de escribir

7

como suma ordenada de tres partes entre

1

y

4:

las permutaciones de

(1, 2, 4),

(2, 2, 3)

y

(1, 3, 3),

que dan

6 + 3 + 3 = 12

cortes por cada ordenamiento.

El total es

35 \cdot 12 = 420.

Concatenating the three guessed prices in order produces an arrangement of the seven given digits, and each guess is recovered uniquely from an arrangement together with a way to cut it into three consecutive nonempty blocks of at most four digits each (prices run from

\$1

to

\$9999,

and no price can start with

0

here since every digit is

1

or

3

). There are

\frac{7!}{4!\,3!} = 35

arrangements of four

1

s and three

3

s.

The ordered block lengths are the ways to write

7

as an ordered sum of three parts between

1

and

4:

the permutations of

(1, 2, 4),

(2, 2, 3),

and

(1, 3, 3),

giving

6 + 3 + 3 = 12

cuts for each arrangement.

The total is

35 \cdot 12 = 420.

10.

El Examen Anual Interplanetario de Matemáticas (AIME) es redactado por un comité de cinco marcianos, cinco venusianos y cinco terrícolas. En las reuniones, los miembros del comité se sientan en una mesa redonda con sillas numeradas de

1

a

15

en sentido horario. Las reglas del comité establecen que un marciano debe ocupar la silla

1

y un terrícola debe ocupar la silla

15.

Además, ningún terrícola puede sentarse inmediatamente a la izquierda de un marciano, ningún marciano puede sentarse inmediatamente a la izquierda de un venusiano, y ningún venusiano puede sentarse inmediatamente a la izquierda de un terrícola. El número de posibles disposiciones de asientos para el comité es

N \cdot (5!)^3.

Halla

N.

The Annual Interplanetary Mathematics Examination (AIME) is written by a committee of five Martians, five Venusians, and five Earthlings. At meetings, committee members sit at a round table with chairs numbered from

1

to

15

in clockwise order. Committee rules state that a Martian must occupy chair

1

and an Earthling must occupy chair

15.

Furthermore, no Earthling can sit immediately to the left of a Martian, no Martian can sit immediately to the left of a Venusian, and no Venusian can sit immediately to the left of an Earthling. The number of possible seating arrangements for the committee is

N \cdot (5!)^3.

Find

N.

Respuesta

Conceptos:arreglos con restricciones particiones y composiciones estrellas y barras

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Cuenta primero los patrones de planeta por silla; las reglas obligan a que los bloques de marcianos, venusianos y terrícolas se repitan en ese orden horario.

Count planet-to-chair patterns first; the rules force blocks of Martians, Venusians, and Earthlings to repeat in that clockwise order

Pista grande:

Si el ciclo

MVE

se repite

k

veces, los

5

miembros de cada planeta pueden dividirse en

k

grupos ordenados no vacíos de

\binom{4}{k-1}

maneras; eleva al cubo y suma sobre

k.

If the cycle

MVE

repeats

k

times, each planet’s

5

members split into

k

ordered nonempty groups in

\binom{4}{k-1}

ways; cube and sum over

k

Solución:

Primero elige qué planeta se sienta en cada silla; después, los integrantes de cada planeta pueden asignarse a sus sillas de

5!

maneras por planeta, así que

N

cuenta los patrones de planetas. Las reglas de adyacencia dicen exactamente que, leyendo en sentido horario, cada bloque consecutivo maximal de marcianos debe ir seguido de un bloque de venusianos y luego de un bloque de terrícolas antes de que puedan volver a aparecer marcianos. Como la silla

1

tiene un marciano y la silla

15

tiene un terrícola, las sillas de

1

a

15

consisten en el patrón (bloque de marcianos, bloque de venusianos, bloque de terrícolas) repetido

k

veces, para algún

1 \le k \le 5.

Para un

k

dado, los cinco miembros de cada planeta se distribuyen en

k

bloques no vacíos en orden, y el número de formas de escribir

5

como suma ordenada de

k

enteros positivos es

\binom{4}{k-1}.

Los tamaños de los bloques de los tres planetas son independientes, así que

\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{5} \binom{4}{k-1}^3 \\ &= 1^3 + 4^3 + 6^3 + 4^3 + 1^3 \\ &= 346. \end{aligned}

First choose which planet sits in each chair; the individuals from each planet can then be assigned to their chairs in

5!

ways apiece, so

N

counts the planet patterns. The adjacency rules say exactly that, reading clockwise, each maximal block of Martians must be followed by a block of Venusians and then a block of Earthlings before Martians can appear again. Since chair

1

holds a Martian and chair

15

holds an Earthling, the chairs from

1

to

15

consist of the pattern (Martian block, Venusian block, Earthling block) repeated

k

times, for some

1 \le k \le 5.

For a given

k,

each planet’s five members are distributed into

k

nonempty blocks in order, and the number of ways to write

5

as an ordered sum of

k

positive integers is

\binom{4}{k-1}.

The three planets’ block sizes are independent, so

\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{5} \binom{4}{k-1}^3 \\ &= 1^3 + 4^3 + 6^3 + 4^3 + 1^3 \\ &= 346. \end{aligned}

11.

Considera el conjunto de todos los triángulos

OPQ

donde

O

es el origen y

P

y

Q

son puntos distintos del plano con coordenadas enteras no negativas

(x, y)

tales que

41x + y = 2009.

Halla el número de tales triángulos distintos cuya área es un entero positivo.

Consider the set of all triangles

OPQ

where

O

is the origin and

P

and

Q

are distinct points in the plane with nonnegative integer coordinates

(x, y)

such that

41x + y = 2009.

Find the number of such distinct triangles whose area is a positive integer.

Respuesta

Conceptos:punto reticular fórmula del cordón paridad

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Los puntos reticulares sobre la recta son

(i,\, 2009 - 41i)

para

i = 0,

1,

\ldots,

49.

The lattice points on the line are

(i,\, 2009 - 41i)

for

i = 0,

1,

\ldots,

49

Pista grande:

El triángulo determinado por los puntos

i

y

j

tiene área

\frac{2009}{2}\,|i - j|,

un entero exactamente cuando

i

y

j

tienen la misma paridad.

The triangle on points

i

and

j

has area

\frac{2009}{2}\,|i - j|,

an integer exactly when

i

and

j

have the same parity

Solución:

Los puntos de la recta con coordenadas enteras no negativas son

P_i = (i,\, 2009 - 41i)

para

i = 0,

1,

\ldots,

49,

cincuenta puntos en total. Para

P = P_i

y

Q = P_j,

la fórmula del zapatero da

\begin{aligned} [OPQ] &= \small \frac{1}{2}\left|\,i(2009 - 41j) - j(2009 - 41i)\,\right| \\ &= \frac{2009}{2}\,|i - j|. \end{aligned}

Esto es automáticamente positivo para puntos distintos, y como

2009

es impar, es un entero exactamente cuando

i - j

es par, es decir, cuando

i

y

j

tienen la misma paridad. Hay

25

índices pares y

25

impares, así que el número de triángulos es

\binom{25}{2} + \binom{25}{2} = 300 + 300 = 600.

The points on the line with nonnegative integer coordinates are

P_i = (i,\, 2009 - 41i)

for

i = 0,

1,

\ldots,

49

— fifty points in all. For

P = P_i

and

Q = P_j,

the shoelace formula gives

\begin{aligned} [OPQ] &= \small \frac{1}{2}\left|\,i(2009 - 41j) - j(2009 - 41i)\,\right| \\ &= \frac{2009}{2}\,|i - j|. \end{aligned}

This is automatically positive for distinct points, and since

2009

is odd, it is an integer exactly when

i - j

is even, that is, when

i

and

j

have the same parity. There are

25

even and

25

odd indices, so the number of triangles is

\binom{25}{2} + \binom{25}{2} = 300 + 300 = 600.

12.

En el

\triangle ABC

rectángulo con hipotenusa

\overline{AB},

AC = 12,

BC = 35,

y

\overline{CD}

es la altura sobre

\overline{AB}.

Sea

\omega

la circunferencia que tiene a

\overline{CD}

como diámetro. Sea

I

un punto fuera del

\triangle ABC

tal que

\overline{AI}

y

\overline{BI}

son ambas tangentes a la circunferencia

\omega.

La razón entre el perímetro del

\triangle ABI

y la longitud

AB

puede expresarse en la forma

\frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halla

m + n.

In right

\triangle ABC

with hypotenuse

\overline{AB},

AC = 12,

BC = 35,

and

\overline{CD}

is the altitude to

\overline{AB}.

Let

\omega

be the circle having

\overline{CD}

as a diameter. Let

I

be a point outside

\triangle ABC

such that

\overline{AI}

and

\overline{BI}

are both tangent to circle

\omega.

The ratio of the perimeter of

\triangle ABI

to the length

AB

can be expressed in the form

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio recta tangente Fórmula de Herón

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

AB

es tangente a

\omega

en

D,

así que

\omega

es la circunferencia inscrita en el triángulo

ABI.

AB

is tangent to

\omega

at

D,

so

\omega

is the inscribed circle of triangle

ABI

Pista grande:

Sea

x

la longitud de la tangente desde

I

y calcula el área del triángulo

ABI

de dos maneras:

rs

con

r = \frac{1}{2}\sqrt{AD \cdot BD},

y la fórmula de Herón.

Let

x

be the tangent length from

I

and compute the area of

ABI

two ways:

rs

with

r = \frac{1}{2}\sqrt{AD \cdot BD},

and Heron’s formula

Solución:

Como

\overline{CD} \perp \overline{AB}

y

D

es un extremo del diámetro,

AB

es tangente a

\omega

en

D.

Junto con las rectas tangentes

AI

y

BI,

esto hace que

\omega

sea la circunferencia inscrita del triángulo

ABI.

Escribe

AD = y,

BD = z,

y sea

x

la longitud de la tangente desde

I.

La altura del triángulo rectángulo cumple

CD^2 = AD \cdot BD,

así que el inradio de

ABI

es

r = \frac{1}{2}\sqrt{yz}.

Con semiperímetro

s = x + y + z,

las longitudes de las tangentes son exactamente

s - AB = x,

s - BI = y,

y

s - AI = z,

así que el área de

ABI

es igual tanto a

rs

como, por la fórmula de Herón, a

\sqrt{s \cdot xyz}.

Igualando y elevando al cuadrado,

\frac{s^2\,yz}{4} = s\,xyz,

de modo que

s = 4x,

lo que da

AB = y + z = s - x = 3x.

El perímetro es

2s = 8x,

así que su razón respecto a

AB

es

\frac{8x}{3x} = \frac{8}{3}

(independiente de los catetos dados), y

m + n = 8 + 3 = 11.

Because

\overline{CD} \perp \overline{AB}

and

D

is an endpoint of the diameter,

AB

is tangent to

\omega

at

D.

Together with the tangent lines

AI

and

BI,

this makes

\omega

the inscribed circle of triangle

ABI.

Write

AD = y,

BD = z,

and let

x

be the tangent length from

I.

The right-triangle altitude satisfies

CD^2 = AD \cdot BD,

so the inradius of

ABI

is

r = \frac{1}{2}\sqrt{yz}.

With semiperimeter

s = x + y + z,

the tangent lengths are exactly

s - AB = x,

s - BI = y,

and

s - AI = z,

so the area of

ABI

equals both

rs

and, by Heron’s formula,

\sqrt{s \cdot xyz}.

Equating and squaring,

\frac{s^2\,yz}{4} = s\,xyz,

so

s = 4x,

which gives

AB = y + z = s - x = 3x.

The perimeter is

2s = 8x,

so its ratio to

AB

is

\frac{8x}{3x} = \frac{8}{3}

(independent of the given legs), and

m + n = 8 + 3 = 11.

13.

Los términos de la sucesión

(a_i)

definida por

a_{n+2} = \frac{a_n + 2009}{1 + a_{n+1}}

para

n \ge 1

son enteros positivos. Halla el valor mínimo posible de

a_1 + a_2.

The terms of the sequence

(a_i)

defined by

a_{n+2} = \frac{a_n + 2009}{1 + a_{n+1}}

for

n \ge 1

are positive integers. Find the minimum possible value of

a_1 + a_2.

Respuesta

Conceptos:recursión argumento extremal factorización en primos

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Elimina denominadores:

a_{n+2}(1 + a_{n+1}) = a_n + 2009,

luego resta ecuaciones consecutivas.

Clear denominators:

a_{n+2}(1 + a_{n+1}) = a_n + 2009,

then subtract consecutive instances

Pista grande:

A menos que

a_{n+2} = a_n

siempre, las diferencias

|a_{n+2} - a_n|

decrecen estrictamente para siempre, lo cual es imposible; el caso de período dos resultante obliga a

a_1 a_2 = 2009.

Unless

a_{n+2} = a_n

always, the differences

|a_{n+2} - a_n|

strictly decrease forever, which is impossible; the resulting two-periodic case forces

a_1 a_2 = 2009

Solución:

Al eliminar denominadores,

a_{n+2}(1 + a_{n+1}) = a_n + 2009

para todo

n \ge 1.

Restar cada instancia de la siguiente da

\begin{aligned} &a_{n+2} - a_n \\ &= (a_{n+2} + 1)(a_{n+3} - a_{n+1}). \end{aligned}

Si alguna diferencia

a_{n+2} - a_n

fuera no nula, entonces toda diferencia posterior también sería no nula, y como cada

a_{n+2} + 1 \ge 2,

la identidad obligaría a

|a_3 - a_1|

\gt |a_4 - a_2|

\gt |a_5 - a_3|

\gt \cdots,

una sucesión infinita estrictamente decreciente de enteros positivos, lo cual es imposible. Por tanto

a_{n+2} = a_n

para todo

n:

los términos de índice impar son todos iguales y los de índice par son todos iguales.

La recurrencia entonces se lee

a_1(1 + a_2) = a_1 + 2009,

de modo que

a_1 a_2 = 2009 = 7^2 \cdot 41.

Entre los pares de factores de

2009,

la suma es mínima para

41 \cdot 49,

dando

41 + 49 = 90.

Clearing denominators,

a_{n+2}(1 + a_{n+1}) = a_n + 2009

for all

n \ge 1.

Subtracting each instance from the next gives

\begin{aligned} &a_{n+2} - a_n \\ &= (a_{n+2} + 1)(a_{n+3} - a_{n+1}). \end{aligned}

If some difference

a_{n+2} - a_n

were nonzero, then every later difference would be nonzero as well, and since each

a_{n+2} + 1 \ge 2,

the identity would force

|a_3 - a_1|

\gt |a_4 - a_2|

\gt |a_5 - a_3|

\gt \cdots,

an infinite strictly decreasing sequence of positive integers — impossible. Hence

a_{n+2} = a_n

for all

n:

the odd-indexed terms are all equal and the even-indexed terms are all equal.

The recursion then reads

a_1(1 + a_2) = a_1 + 2009,

so

a_1 a_2 = 2009 = 7^2 \cdot 41.

Among the factor pairs of

2009,

the sum is smallest for

41 \cdot 49,

giving

41 + 49 = 90.

14.

Para

t = 1,

2,

3,

4,

define

S_t = \sum_{i=1}^{350} a_i^t,

donde

a_i \in \{1, 2, 3, 4\}.

Si

S_1 = 513

y

S_4 = 4745,

halla el valor mínimo posible de

S_2.

For

t = 1,

2,

3,

4,

define

S_t = \sum_{i=1}^{350} a_i^t,

where

a_i \in \{1, 2, 3, 4\}.

If

S_1 = 513

and

S_4 = 4745,

find the minimum possible value for

S_2.

Respuesta

Conceptos:sistema de ecuaciones Ecuación diofántica optimización

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Sea

m_j

el número de

a_i

que valen

j;

los datos dados son ecuaciones lineales en

m_1,

m_2,

m_3,

m_4.

Let

m_j

count how many

a_i

equal

j;

the given data are linear equations in

m_1,

m_2,

m_3,

m_4

Pista grande:

Elimina

m_1

y luego

m_2

para obtener

5m_3 + 21m_4 = 195,

así que

m_4

es

0

o

5;

compara los dos valores resultantes de

S_2.

Eliminating

m_1

and then

m_2

leaves

5m_3 + 21m_4 = 195,

so

m_4

is

0

or

5;

compare the two resulting values of

S_2

Solución:

Para

j = 1, 2, 3, 4,

sea

m_j

el número de

a_i

iguales a

j.

Entonces

\begin{aligned} &m_1 + m_2 + m_3 + m_4 = 350, \\ &m_1 + 2m_2 + 3m_3 + 4m_4 = 513, \\ &m_1 + 16m_2 + 81m_3 \\ &\quad {}+ 256m_4 = 4745. \end{aligned}

Restar la primera ecuación de las otras dos da

m_2 + 2m_3 + 3m_4 = 163

y

15m_2 + 80m_3 + 255m_4 = 4395;

restar

15

veces la primera de la segunda deja

50m_3 + 210m_4 = 1950,

es decir,

5m_3 + 21m_4 = 195.

Por tanto

m_4

es un múltiplo no negativo de

5,

y solo

m_4 = 0

y

m_4 = 5

mantienen todo no negativo, dando

(m_1, m_2, m_3, m_4)

= (226, 85, 39, 0)

o

(215, 112, 18, 5).

Estos dan

S_2 = m_1 + 4m_2

+ 9m_3 + 16m_4

= 917

y

905

respectivamente, así que el mínimo es

905.

For

j = 1, 2, 3, 4,

let

m_j

be the number of

a_i

equal to

j.

Then

\begin{aligned} &m_1 + m_2 + m_3 + m_4 = 350, \\ &m_1 + 2m_2 + 3m_3 + 4m_4 = 513, \\ &m_1 + 16m_2 + 81m_3 \\ &\quad {}+ 256m_4 = 4745. \end{aligned}

Subtracting the first equation from the other two gives

m_2 + 2m_3 + 3m_4 = 163

and

15m_2 + 80m_3 + 255m_4 = 4395;

subtracting

15

times the former from the latter leaves

50m_3 + 210m_4 = 1950,

that is,

5m_3 + 21m_4 = 195.

Hence

m_4

is a nonnegative multiple of

5,

and only

m_4 = 0

and

m_4 = 5

keep everything nonnegative, giving

(m_1, m_2, m_3, m_4)

= (226, 85, 39, 0)

or

(215, 112, 18, 5).

These yield

S_2 = m_1 + 4m_2

+ 9m_3 + 16m_4

= 917

and

905

respectively, so the minimum is

905.

15.

En el triángulo

ABC,

AB = 10,

BC = 14,

y

CA = 16.

Sea

D

un punto en el interior de

\overline{BC}.

Sean

I_B

e

I_C

los incentros de los triángulos

ABD

y

ACD,

respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos

BI_BD

y

CI_CD

se cortan en dos puntos distintos

P

y

D.

El área máxima posible de

\triangle BPC

puede expresarse en la forma

a - b\sqrt{c},

donde

a,

b,

y

c

son enteros positivos y

c

no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla

a + b + c.

In triangle

ABC,

AB = 10,

BC = 14,

and

CA = 16.

Let

D

be a point in the interior of

\overline{BC}.

Let

I_B

and

I_C

denote the incenters of triangles

ABD

and

ACD,

respectively. The circumcircles of triangles

BI_BD

and

CI_CD

meet at distinct points

P

and

D.

The maximum possible area of

\triangle BPC

can be expressed in the form

a - b\sqrt{c},

where

a,

b,

and

c

are positive integers and

c

is not divisible by the square of any prime. Find

a + b + c.

Respuesta

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio cuadrilátero cíclico ley de los cosenos optimización

Nivel de dificultad: 3500

Pista pequeña:

Usa

\angle B I_B D = 90^\circ + \frac{\angle BAD}{2}

y la relación análoga, y transfiere estos ángulos a

P

mediante los cuadriláteros cíclicos.

Use

\angle B I_B D = 90^\circ + \frac{\angle BAD}{2}

and its mirror image, and transfer these angles to

P

via the cyclic quadrilaterals

Pista grande:

\angle BPC = 180^\circ - \frac{\angle BAC}{2}

es independiente de

D,

así que

P

está sobre un arco fijo que pasa por

B

y

C;

el área se maximiza en el punto medio del arco.

\angle BPC = 180^\circ - \frac{\angle BAC}{2}

is independent of

D,

so

P

lies on a fixed arc through

B

and

C;

the area is maximized at the arc midpoint

Solución:

En el triángulo

ABD

el incentro cumple

\angle B I_B D = 90^\circ + \frac{\angle BAD}{2},

y análogamente

\angle C I_C D = 90^\circ + \frac{\angle DAC}{2},

así que estos dos ángulos suman

180^\circ + \frac{\angle BAC}{2}.

La ley de cosenos da

\cos \angle BAC = \frac{10^2 + 16^2 - 14^2}{2 \cdot 10 \cdot 16} = \frac{1}{2},

así que

\angle BAC = 60^\circ

y la suma es

210^\circ.

El segundo punto de intersección

P

está en el lado opuesto de

\overline{BC}

respecto de los incentros (si estuviera en el mismo lado, los dos cuadriláteros cíclicos obligarían a

\angle BPC = 210^\circ \gt 180^\circ

). Entonces

BI_BDP

y

CI_CDP

son cuadriláteros cíclicos convexos, así que

\begin{aligned} \angle BPC &= \angle BPD + \angle DPC \\ &= \left(180^\circ - \angle BI_BD\right) \\ &\quad {}+ \left(180^\circ - \angle CI_CD\right) \\ &= 360^\circ - 210^\circ = 150^\circ, \end{aligned}

independiente de

D.

Por tanto

P

se mueve a lo largo de un arco circular fijo que pasa por

B

y

C.

El área del triángulo

BPC

se maximiza en el punto medio del arco, donde

BP = PC = x.

La ley de cosenos da

14^2 = 2x^2 + \sqrt{3}\,x^2,

así que

x^2 = \frac{196}{2 + \sqrt{3}} = 196\left(2 - \sqrt{3}\right),

y el área es

\frac{1}{2}x^2 \sin 150^\circ = 49\left(2 - \sqrt{3}\right)

= 98 - 49\sqrt{3}.

Por tanto

a + b + c = 98 + 49 + 3 = 150.

In triangle

ABD

the incenter satisfies

\angle B I_B D = 90^\circ + \frac{\angle BAD}{2},

and likewise

\angle C I_C D = 90^\circ + \frac{\angle DAC}{2},

so these two angles sum to

180^\circ + \frac{\angle BAC}{2}.

The law of cosines gives

\cos \angle BAC = \frac{10^2 + 16^2 - 14^2}{2 \cdot 10 \cdot 16} = \frac{1}{2},

so

\angle BAC = 60^\circ

and the sum is

210^\circ.

The second intersection point

P

lies on the opposite side of

\overline{BC}

from the incenters (were it on the same side, the two cyclic quadrilaterals would force

\angle BPC = 210^\circ \gt 180^\circ

). Then

BI_BDP

and

CI_CDP

are convex cyclic quadrilaterals, so

\begin{aligned} \angle BPC &= \angle BPD + \angle DPC \\ &= \left(180^\circ - \angle BI_BD\right) \\ &\quad {}+ \left(180^\circ - \angle CI_CD\right) \\ &= 360^\circ - 210^\circ = 150^\circ, \end{aligned}

independent of

D.

Hence

P

moves along a fixed circular arc through

B

and

C.

The area of triangle

BPC

is maximized at the midpoint of the arc, where

BP = PC = x.

The law of cosines gives

14^2 = 2x^2 + \sqrt{3}\,x^2,

so

x^2 = \frac{196}{2 + \sqrt{3}} = 196\left(2 - \sqrt{3}\right),

and the area is

\frac{1}{2}x^2 \sin 150^\circ = 49\left(2 - \sqrt{3}\right)

= 98 - 49\sqrt{3}.

Thus

a + b + c = 98 + 49 + 3 = 150.