Question

En el $\triangle ABC$ rectángulo con hipotenusa $\overline{AB},$ $AC = 12,$ $BC = 35,$ y $\overline{CD}$ es la altura sobre $\overline{AB}.$ Sea $\omega$ la circunferencia que tiene a $\overline{CD}$ como diámetro. Sea $I$ un punto fuera del $\triangle ABC$ tal que $\overline{AI}$ y $\overline{BI}$ son ambas tangentes a la circunferencia $\omega.$ La razón entre el perímetro del $\triangle ABI$ y la longitud $AB$ puede expresarse en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

In right $\triangle ABC$ with hypotenuse $\overline{AB},$ $AC = 12,$ $BC = 35,$ and $\overline{CD}$ is the altitude to $\overline{AB}.$ Let $\omega$ be the circle having $\overline{CD}$ as a diameter. Let $I$ be a point outside $\triangle ABC$ such that $\overline{AI}$ and $\overline{BI}$ are both tangent to circle $\omega.$ The ratio of the perimeter of $\triangle ABI$ to the length $AB$ can be expressed in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Como $\overline{CD} \perp \overline{AB}$ y $D$ es un extremo del diámetro, $AB$ es tangente a $\omega$ en $D.$ Junto con las rectas tangentes $AI$ y $BI,$ esto hace que $\omega$ sea la circunferencia inscrita del triángulo $ABI.$ Escribe $AD = y,$ $BD = z,$ y sea $x$ la longitud de la tangente desde $I.$ La altura del triángulo rectángulo cumple $CD^2 = AD \cdot BD,$ así que el inradio de $ABI$ es $r = \frac{1}{2}\sqrt{yz}.$

Con semiperímetro $s = x + y + z,$ las longitudes de las tangentes son exactamente $s - AB = x,$ $s - BI = y,$ y $s - AI = z,$ así que el área de $ABI$ es igual tanto a $rs$ como, por la fórmula de Herón, a $\sqrt{s \cdot xyz}.$ Igualando y elevando al cuadrado, $\frac{s^2\,yz}{4} = s\,xyz,$ de modo que $s = 4x,$ lo que da $AB = y + z = s - x = 3x.$

El perímetro es $2s = 8x,$ así que su razón respecto a $AB$ es $\frac{8x}{3x} = \frac{8}{3}$ (independiente de los catetos dados), y $m + n = 8 + 3 = 11.$

Because $\overline{CD} \perp \overline{AB}$ and $D$ is an endpoint of the diameter, $AB$ is tangent to $\omega$ at $D.$ Together with the tangent lines $AI$ and $BI,$ this makes $\omega$ the inscribed circle of triangle $ABI.$ Write $AD = y,$ $BD = z,$ and let $x$ be the tangent length from $I.$ The right-triangle altitude satisfies $CD^2 = AD \cdot BD,$ so the inradius of $ABI$ is $r = \frac{1}{2}\sqrt{yz}.$

With semiperimeter $s = x + y + z,$ the tangent lengths are exactly $s - AB = x,$ $s - BI = y,$ and $s - AI = z,$ so the area of $ABI$ equals both $rs$ and, by Heron's formula, $\sqrt{s \cdot xyz}.$ Equating and squaring, $\frac{s^2\,yz}{4} = s\,xyz,$ so $s = 4x,$ which gives $AB = y + z = s - x = 3x.$

The perimeter is $2s = 8x,$ so its ratio to $AB$ is $\frac{8x}{3x} = \frac{8}{3}$ (independent of the given legs), and $m + n = 8 + 3 = 11.$

2009 AIME I Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años