Question

Sea $ABCD$ un trapecio isósceles, cuyas dimensiones son $AB = 6,$ $BC = 5 = DA,$ y $CD = 4.$ Traza círculos de radio $3$ centrados en $A$ y $B,$ y círculos de radio $2$ centrados en $C$ y $D.$ Un círculo contenido dentro del trapecio es tangente a los cuatro de estos círculos. Su radio es $\frac{-k + m\sqrt{n}}{p},$ donde $k,$ $m,$ $n,$ y $p$ son enteros positivos, $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, y $k$ y $p$ son primos entre sí. Halla $k + m + n + p.$

Let $ABCD$ be an isosceles trapezoid, whose dimensions are $AB = 6,$ $BC = 5 = DA,$ and $CD = 4.$ Draw circles of radius $3$ centered at $A$ and $B,$ and circles of radius $2$ centered at $C$ and $D.$ A circle contained within the trapezoid is tangent to all four of these circles. Its radius is $\frac{-k + m\sqrt{n}}{p},$ where $k,$ $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers, $n$ is not divisible by the square of any prime, and $k$ and $p$ are relatively prime. Find $k + m + n + p.$

Respuesta

Solución:

Al bajar perpendiculares desde $C$ y $D$ se ve que cada lado de longitud $5$ abarca un desplazamiento horizontal de $\frac{6 - 4}{2} = 1,$ así que la altura del trapecio es $\sqrt{25 - 1} = \sqrt{24}.$ Por simetría, el centro $O$ del círculo interior está sobre el eje vertical que pasa por los puntos medios $E$ de $\overline{AB}$ y $F$ de $\overline{CD}.$ Si su radio es $x,$ la tangencia externa da $OA = x + 3$ y $OC = x + 2,$ así que con $AE = 3$ y $CF = 2,$ $\begin{aligned} OE &= \sqrt{(x+3)^2 - 9} \\ &= \sqrt{x^2 + 6x}, \\ OF &= \sqrt{(x+2)^2 - 4} \\ &= \sqrt{x^2 + 4x}. \end{aligned}$

Como $OE + OF = \sqrt{24},$ pasar un radical al otro lado y elevar al cuadrado da $\sqrt{24(x^2 + 4x)} = 12 - x,$ y elevar al cuadrado de nuevo produce $24x^2 + 96x = 144 - 24x + x^2,$ es decir $23x^2 + 120x - 144 = 0.$

La raíz positiva es $\begin{aligned} x &= \frac{-120 + \sqrt{14400 + 13248}}{46} \\ &= \frac{-120 + 96\sqrt{3}}{46} \\ &= \frac{-60 + 48\sqrt{3}}{23}, \end{aligned}$ así que $k + m + n + p$ $= 60 + 48 + 3 + 23$ $= 134.$

Dropping perpendiculars from $C$ and $D$ shows each leg of length $5$ spans a horizontal offset of $\frac{6 - 4}{2} = 1,$ so the height of the trapezoid is $\sqrt{25 - 1} = \sqrt{24}.$ By symmetry the inner circle's center $O$ lies on the vertical axis through the midpoints $E$ of $\overline{AB}$ and $F$ of $\overline{CD}.$ If its radius is $x,$ external tangency gives $OA = x + 3$ and $OC = x + 2,$ so with $AE = 3$ and $CF = 2,$ $\begin{aligned} OE &= \sqrt{(x+3)^2 - 9} \\ &= \sqrt{x^2 + 6x}, \\ OF &= \sqrt{(x+2)^2 - 4} \\ &= \sqrt{x^2 + 4x}. \end{aligned}$

Since $OE + OF = \sqrt{24},$ moving one radical across and squaring gives $\sqrt{24(x^2 + 4x)} = 12 - x,$ and squaring again yields $24x^2 + 96x = 144 - 24x + x^2,$ that is $23x^2 + 120x - 144 = 0.$

The positive root is $\begin{aligned} x &= \frac{-120 + \sqrt{14400 + 13248}}{46} \\ &= \frac{-120 + 96\sqrt{3}}{46} \\ &= \frac{-60 + 48\sqrt{3}}{23}, \end{aligned}$ so $k + m + n + p$ $= 60 + 48 + 3 + 23$ $= 134.$

2004 AIME II Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años