Solución:

Ambos lados derechos toman valores en $[0, 1],$ así que toda intersección está en el cuadrado unitario, y allí podemos escribir ambas curvas usando $\varphi(u) = 4\left||u - \tfrac{1}{2}| - \tfrac{1}{4}\right|:$ la primera es $y = \varphi(|\sin 2\pi x|)$ y la segunda es $x = \varphi(|\cos 3\pi y|).$ A medida que $u$ crece de $0$ a $1,$ $\varphi(u)$ recorre linealmente $1 \to 0 \to 1 \to 0 \to 1$ con esquinas en $u = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}.$ Para $x \in [0, 1],$ $|\sin 2\pi x|$ barre $[0, 1]$ monótonamente $4$ veces, así que la primera gráfica consta de $4 \cdot 4 = 16$ arcos monótonos, cada uno subiendo o bajando por todo el rango $0 \le y \le 1$ dentro de una franja vertical angosta. De igual modo $|\cos 3\pi y|$ barre $[0, 1]$ monótonamente $6$ veces para $y \in [0, 1],$ así que la segunda gráfica consta de $24$ arcos monótonos, cada uno cruzando todo el rango $0 \le x \le 1$ dentro de una franja horizontal angosta.

Toma un arco de cada gráfica, ubicados en la franja vertical $[a, b]$ y en la franja horizontal $[c, d].$ Dentro del rectángulo $[a, b] \times [c, d],$ el primer arco une el borde inferior con el superior y el segundo une el borde izquierdo con el derecho, y cada uno es monótono, así que los dos arcos se cruzan exactamente una vez. Esto da $16 \cdot 24 = 384$ puntos de intersección.

Otro punto más se esconde en la esquina $(1, 1),$ que está en ambas gráficas: $\varphi(|\sin 2\pi|) = \varphi(0) = 1$ y $\varphi(|\cos 3\pi|) = \varphi(1) = 1.$ Cerca de ella la primera gráfica es $y \approx 1 - 8\pi(1 - x)$ mientras que la segunda satisface $x \approx 1 - 18\pi^2(1 - y)^2,$ así que los dos arcos finales se encuentran en su extremo compartido $(1, 1)$ además del cruce transversal ya contado. El total es $384 + 1 = 385.$