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2012 AIME I Problema 12

Intenta el Problema 12 del 2012 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2012 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

Sea △ABC\triangle ABC un triángulo rectángulo con el ángulo recto en C.C. Sean DD y EE puntos sobre AB‾\overline{AB} con DD entre AA y EE tales que CD‾\overline{CD} y CE‾\overline{CE} trisecan ∠C.\angle C. Si DEBE=815,\frac{DE}{BE} = \frac{8}{15}, entonces tan⁡B\tan B puede escribirse como mpn,\frac{m\sqrt{p}}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí, y pp es un entero positivo no divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla m+n+p.m + n + p.
Let △ABC\triangle ABC be a right triangle with right angle at C.C. Let DD and EE be points on AB‾\overline{AB} with DD between AA and EE such that CD‾\overline{CD} and CE‾\overline{CE} trisect ∠C.\angle C. If DEBE=815,\frac{DE}{BE} = \frac{8}{15}, then tan⁡B\tan B can be written as mpn,\frac{m\sqrt{p}}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers, and pp is a positive integer not divisible by the square of any prime. Find m+n+p.m + n + p.
Respuesta: 18
Conceptos:teorema de la bisectrizley de los cosenostrigonometría
Nivel de dificultad: 2840
Pista pequeña:
En el triángulo DCB,DCB, el rayo CECE biseca el ángulo DCB,DCB, que mide 60∘,60^\circ, así que CDCB=DEEB=815\frac{CD}{CB} = \frac{DE}{EB} = \frac{8}{15}
In triangle DCB,DCB, ray CECE bisects angle DCB,DCB, which measures 60∘,60^\circ, so CDCB=DEEB=815\frac{CD}{CB} = \frac{DE}{EB} = \frac{8}{15}
Pista grande:
Toma CD=8CD = 8 y CB=15;CB = 15; la ley de cosenos da BD,BD, y una segunda aplicación da cos⁡B\cos B
Take CD=8CD = 8 and CB=15;CB = 15; the Law of Cosines gives BD,BD, and a second application gives cos⁡B\cos B
Solución:
Las trisectrices hacen que ∠ACD=∠DCE=∠ECB\angle ACD = \angle DCE = \angle ECB =30∘.= 30^\circ. En el triángulo DCB,DCB, el rayo CECE biseca el ángulo DCB,DCB, que mide 60∘,60^\circ, así que el teorema de la bisectriz da CDCB=DEEB=815.\frac{CD}{CB} = \frac{DE}{EB} = \frac{8}{15}. Escala el triángulo de modo que CD=8CD = 8 y CB=15.CB = 15.
Por la ley de cosenos en el triángulo DCB,DCB, BD2=82+152−2⋅8⋅15cos⁡60∘=169, \begin{aligned} BD^2 &= 8^2 + 15^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 8 \cdot 15 \cos 60^\circ \\ &= 169, \end{aligned} así que BD=13.BD = 13. Aplicando de nuevo la ley de cosenos en el mismo triángulo, 82=132+152−2⋅13⋅15cos⁡B,8^2 = 13^2 + 15^2 - 2 \cdot 13 \cdot 15 \cos B, lo que da cos⁡B=1113.\cos B = \frac{11}{13}.
Entonces sin⁡B=1−121169=4313,\sin B = \sqrt{1 - \frac{121}{169}} = \frac{4\sqrt{3}}{13}, así que tan⁡B=4311\tan B = \frac{4\sqrt{3}}{11} y m+n+p=4+11+3=18.m + n + p = 4 + 11 + 3 = 18.
The trisectors make ∠ACD=∠DCE=∠ECB\angle ACD = \angle DCE = \angle ECB =30∘.= 30^\circ. In triangle DCB,DCB, ray CECE bisects angle DCB,DCB, which measures 60∘,60^\circ, so the angle bisector theorem gives CDCB=DEEB=815.\frac{CD}{CB} = \frac{DE}{EB} = \frac{8}{15}. Scale the triangle so that CD=8CD = 8 and CB=15.CB = 15.
By the Law of Cosines in triangle DCB,DCB, BD2=82+152−2⋅8⋅15cos⁡60∘=169, \begin{aligned} BD^2 &= 8^2 + 15^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 8 \cdot 15 \cos 60^\circ \\ &= 169, \end{aligned} so BD=13.BD = 13. Applying the Law of Cosines again in the same triangle, 82=132+152−2⋅13⋅15cos⁡B,8^2 = 13^2 + 15^2 - 2 \cdot 13 \cdot 15 \cos B, which gives cos⁡B=1113.\cos B = \frac{11}{13}.
Then sin⁡B=1−121169=4313,\sin B = \sqrt{1 - \frac{121}{169}} = \frac{4\sqrt{3}}{13}, so tan⁡B=4311\tan B = \frac{4\sqrt{3}}{11} and m+n+p=4+11+3=18.m + n + p = 4 + 11 + 3 = 18.
Problema 11#11
Examen completo
Problema 13#13

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