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2016 AIME I Problema 12

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 12 del 2016 AIME I, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2016 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:factorización en primosaritmética modularacotación a casos límite

Nivel de dificultad: 3160

12.

Halla el menor entero positivo mm tal que m2−m+11m^2 - m + 11 sea un producto de al menos cuatro primos no necesariamente distintos.

Find the least positive integer mm such that m2−m+11m^2 - m + 11 is a product of at least four not necessarily distinct primes.

Solución:

Sea e(m)=m2−m+11.e(m) = m^2 - m + 11. Como m2−mm^2 - m es siempre par, e(m)e(m) es impar. Verificar todos los residuos muestra que m2−m+11m^2 - m + 11 tampoco es nunca 00 módulo 3,3, 5,5, o 7,7, así que cada factor primo de e(m)e(m) es al menos 11.11. Un producto de cuatro primos así es al menos 114=14641,11^4 = 14641, y los dos candidatos más pequeños son 11411^4 y 113⋅13=17303.11^3 \cdot 13 = 17303.

Para e(m)=14641,e(m) = 14641, el discriminante de m2−m−14630=0m^2 - m - 14630 = 0 es 58521,58521, que está estrictamente entre 2412=58081241^2 = 58081 y 2422=58564,242^2 = 58564, así que no hay solución entera. Para e(m)=17303:e(m) = 17303: como e(m)=m(m−1)+11e(m) = m(m - 1) + 11 debe ser divisible por 11,11, o bien m=11km = 11k o m=11k+1.m = 11k + 1. Probar m=11km = 11k da 11k2−k+1=1573,11k^2 - k + 1 = 1573, es decir k(11k−1)=1572,k(11k - 1) = 1572, que k=12k = 12 satisface: 12⋅131=1572.12 \cdot 131 = 1572.

Como ee es creciente para m≥1,m \ge 1, todo mm más pequeño tiene e(m)<17303,e(m) \lt 17303, y el único valor de cuatro primos por debajo de eso, 114,11^4, es inalcanzable. Por lo tanto el menor mm es 11⋅12=132,11 \cdot 12 = 132, donde e(132)=17303=113⋅13.e(132) = 17303 = 11^3 \cdot 13.

Let e(m)=m2−m+11.e(m) = m^2 - m + 11. Since m2−mm^2 - m is always even, e(m)e(m) is odd. Checking all residues shows m2−m+11m^2 - m + 11 is never 00 modulo 3,3, 5,5, or 77 either, so every prime factor of e(m)e(m) is at least 11.11. A product of four such primes is at least 114=14641,11^4 = 14641, and the two smallest candidates are 11411^4 and 113⋅13=17303.11^3 \cdot 13 = 17303.

For e(m)=14641,e(m) = 14641, the discriminant of m2−m−14630=0m^2 - m - 14630 = 0 is 58521,58521, which lies strictly between 2412=58081241^2 = 58081 and 2422=58564,242^2 = 58564, so there is no integer solution. For e(m)=17303:e(m) = 17303: since e(m)=m(m−1)+11e(m) = m(m - 1) + 11 must be divisible by 11,11, either m=11km = 11k or m=11k+1.m = 11k + 1. Trying m=11km = 11k gives 11k2−k+1=1573,11k^2 - k + 1 = 1573, that is k(11k−1)=1572,k(11k - 1) = 1572, which k=12k = 12 satisfies: 12⋅131=1572.12 \cdot 131 = 1572.

Since ee is increasing for m≥1,m \ge 1, every smaller mm has e(m)<17303,e(m) \lt 17303, and the only four-prime value below that, 114,11^4, is unattainable. Hence the least mm is 11⋅12=132,11 \cdot 12 = 132, where e(132)=17303=113⋅13.e(132) = 17303 = 11^3 \cdot 13.

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