Question

Sea $A_1A_2 \ldots A_{11}$ un polígono simple no convexo de $11$ lados con las siguientes propiedades:

• Para todo entero $2 \le i \le 10,$ el área de $\triangle A_iA_1A_{i+1}$ es $1.$

• Para todo entero $2 \le i \le 10,$ $\cos(\angle A_iA_1A_{i+1}) = \frac{12}{13}.$

• El perímetro del $11$ -ágono $A_1A_2 \ldots A_{11}$ es igual a $20.$

Entonces $A_1A_2 + A_1A_{11}$ se puede expresar como $\frac{m\sqrt{n} - p}{q}$ donde $m,$ $n,$ $p,$ y $q$ son enteros positivos, $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, y ningún primo divide a la vez a $m,$ $p,$ y $q.$ Halla $m + n + p + q.$

Let $A_1A_2 \ldots A_{11}$ be an $11$ -sided non-convex simple polygon with the following properties:

• For every integer $2 \le i \le 10,$ the area of $\triangle A_iA_1A_{i+1}$ is $1.$

• For every integer $2 \le i \le 10,$ $\cos(\angle A_iA_1A_{i+1}) = \frac{12}{13}.$

• The perimeter of the $11$ -gon $A_1A_2 \ldots A_{11}$ is equal to $20.$

Then $A_1A_2 + A_1A_{11}$ can be expressed as $\frac{m\sqrt{n} - p}{q}$ where $m,$ $n,$ $p,$ and $q$ are positive integers, $n$ is not divisible by the square of any prime, and no prime divides all of $m,$ $p,$ and $q.$ Find $m + n + p + q.$

Respuesta

Solución:

Sea $r_i = A_1A_i$ para $2 \le i \le 11,$ y sea $\theta$ el ángulo común, con $\cos\theta = \frac{12}{13}$ y $\sin\theta = \frac{5}{13}.$ Cada condición de área dice $\frac{1}{2} r_i r_{i+1} \cdot \frac{5}{13} = 1,$ así que $r_i r_{i+1} = \frac{26}{5}$ para $i = 2, \ldots, 10.$ Que los productos consecutivos sean iguales obliga a los $r_i$ a alternar entre dos valores $a = r_2 = r_4 = \cdots$ y $b = r_3 = r_5 = \cdots,$ con $ab = \frac{26}{5};$ en particular $r_{11} = b.$

Por la ley de cosenos, cada lado $A_iA_{i+1}$ con $2 \le i \le 10$ tiene la misma longitud $s,$ donde $\begin{gathered} s^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \tfrac{12}{13} \\ = (a + b)^2 - 2ab - \tfrac{48}{5} \\ = (a+b)^2 - 20. \end{gathered}$ Escribiendo $u = a + b,$ la condición del perímetro es $9\sqrt{u^2 - 20} + u = 20.$ Elevando al cuadrado $9\sqrt{u^2 - 20} = 20 - u$ se obtiene $81u^2 - 1620 = 400 - 40u + u^2,$ que se simplifica a $4u^2 + 2u - 101 = 0,$ así que $u = \frac{-1 + 9\sqrt{5}}{4}$ (la raíz positiva; entonces $20 - u \gt 0$ como se requiere).

Así $A_1A_2 + A_1A_{11} = a + b$ $= \frac{9\sqrt{5} - 1}{4},$ con $5$ libre de cuadrados y ningún primo que divida a la vez a $9,$ $1,$ $4.$ La respuesta es $9 + 5 + 1 + 4 = 19.$

Let $r_i = A_1A_i$ for $2 \le i \le 11,$ and let $\theta$ be the common angle, with $\cos\theta = \frac{12}{13}$ and $\sin\theta = \frac{5}{13}.$ Each area condition says $\frac{1}{2} r_i r_{i+1} \cdot \frac{5}{13} = 1,$ so $r_i r_{i+1} = \frac{26}{5}$ for $i = 2, \ldots, 10.$ Consecutive products being equal forces the $r_i$ to alternate between two values $a = r_2 = r_4 = \cdots$ and $b = r_3 = r_5 = \cdots,$ with $ab = \frac{26}{5};$ in particular $r_{11} = b.$

By the law of cosines, every side $A_iA_{i+1}$ with $2 \le i \le 10$ has the same length $s,$ where $\begin{gathered} s^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \tfrac{12}{13} \\ = (a + b)^2 - 2ab - \tfrac{48}{5} \\ = (a+b)^2 - 20. \end{gathered}$ Writing $u = a + b,$ the perimeter condition is $9\sqrt{u^2 - 20} + u = 20.$ Squaring $9\sqrt{u^2 - 20} = 20 - u$ gives $81u^2 - 1620 = 400 - 40u + u^2,$ which simplifies to $4u^2 + 2u - 101 = 0,$ so $u = \frac{-1 + 9\sqrt{5}}{4}$ (the positive root; then $20 - u \gt 0$ as required).

Thus $A_1A_2 + A_1A_{11} = a + b$ $= \frac{9\sqrt{5} - 1}{4},$ with $5$ squarefree and no prime dividing all of $9,$ $1,$ $4.$ The answer is $9 + 5 + 1 + 4 = 19.$

2025 AIME II Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años