Question

Sea

A_1A_2 \ldots A_{11}

un polígono simple no convexo de

11

lados con las siguientes propiedades:

• Para todo entero

2 \le i \le 10,

el área de

\triangle A_iA_1A_{i+1}

es

1.

• Para todo entero

2 \le i \le 10,

\cos(\angle A_iA_1A_{i+1}) = \frac{12}{13}.

• El perímetro del

11

-ágono

A_1A_2 \ldots A_{11}

es igual a

20.

Entonces

A_1A_2 + A_1A_{11}

se puede expresar como

\frac{m\sqrt{n} - p}{q}

donde

m,

n,

p,

y

q

son enteros positivos,

n

no es divisible por el cuadrado de ningún primo, y ningún primo divide a la vez a

m,

p,

y

q.

Halla

m + n + p + q.

Let

A_1A_2 \ldots A_{11}

be an

11

-sided non-convex simple polygon with the following properties:

• For every integer

2 \le i \le 10,

the area of

\triangle A_iA_1A_{i+1}

is

1.

• For every integer

2 \le i \le 10,

\cos(\angle A_iA_1A_{i+1}) = \frac{12}{13}.

• The perimeter of the

11

-gon

A_1A_2 \ldots A_{11}

is equal to

20.

Then

A_1A_2 + A_1A_{11}

can be expressed as

\frac{m\sqrt{n} - p}{q}

where

m,

n,

p,

and

q

are positive integers,

n

is not divisible by the square of any prime, and no prime divides all of

m,

p,

and

q.

Find

m + n + p + q.

Respuesta

Respuesta: 19

Conceptos:ley de los cosenos área del triángulo cuadrática reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Sea

r_i = A_1A_i.

Las áreas iguales obligan a

r_i r_{i+1} = \frac{26}{5},

así que los

r_i

alternan entre dos valores

a

y

b

Let

r_i = A_1A_i.

The equal areas force

r_i r_{i+1} = \frac{26}{5},

so the

r_i

alternate between two values

a

and

b

Pista grande:

Cada lado

A_iA_{i+1}

tiene la misma longitud

s

con

s^2 = (a+b)^2 - 20;

el perímetro da

9s + a + b = 20

Each side

A_iA_{i+1}

has the same length

s

with

s^2 = (a+b)^2 - 20;

the perimeter gives

9s + a + b = 20

Solución:

Sea

r_i = A_1A_i

para

2 \le i \le 11,

y sea

\theta

el ángulo común, con

\cos\theta = \frac{12}{13}

y

\sin\theta = \frac{5}{13}.

Cada condición de área dice

\frac{1}{2} r_i r_{i+1} \cdot \frac{5}{13} = 1,

así que

r_i r_{i+1} = \frac{26}{5}

para

i = 2, \ldots, 10.

Que los productos consecutivos sean iguales obliga a los

r_i

a alternar entre dos valores

a = r_2 = r_4 = \cdots

y

b = r_3 = r_5 = \cdots,

con

ab = \frac{26}{5};

en particular

r_{11} = b.

Por la ley de cosenos, cada lado

A_iA_{i+1}

con

2 \le i \le 10

tiene la misma longitud

s,

donde

\begin{gathered} s^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \tfrac{12}{13} \\ = (a + b)^2 - 2ab - \tfrac{48}{5} \\ = (a+b)^2 - 20. \end{gathered}

Escribiendo

u = a + b,

la condición del perímetro es

9\sqrt{u^2 - 20} + u = 20.

Al elevar al cuadrado

9\sqrt{u^2 - 20} = 20 - u

se obtiene

81u^2 - 1620 = 400 - 40u + u^2,

que se simplifica a

4u^2 + 2u - 101 = 0,

así que

u = \frac{-1 + 9\sqrt{5}}{4}

(la raíz positiva; entonces

20 - u \gt 0

como se requiere).

Así

A_1A_2 + A_1A_{11} = a + b

= \frac{9\sqrt{5} - 1}{4},

con

5

libre de cuadrados y ningún primo que divida a la vez a

9,

1,

4.

La respuesta es

9 + 5 + 1 + 4 = 19.

Let

r_i = A_1A_i

for

2 \le i \le 11,

and let

\theta

be the common angle, with

\cos\theta = \frac{12}{13}

and

\sin\theta = \frac{5}{13}.

Each area condition says

\frac{1}{2} r_i r_{i+1} \cdot \frac{5}{13} = 1,

so

r_i r_{i+1} = \frac{26}{5}

for

i = 2, \ldots, 10.

Consecutive products being equal forces the

r_i

to alternate between two values

a = r_2 = r_4 = \cdots

and

b = r_3 = r_5 = \cdots,

with

ab = \frac{26}{5};

in particular

r_{11} = b.

By the law of cosines, every side

A_iA_{i+1}

with

2 \le i \le 10

has the same length

s,

where

\begin{gathered} s^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \tfrac{12}{13} \\ = (a + b)^2 - 2ab - \tfrac{48}{5} \\ = (a+b)^2 - 20. \end{gathered}

Writing

u = a + b,

the perimeter condition is

9\sqrt{u^2 - 20} + u = 20.

Squaring

9\sqrt{u^2 - 20} = 20 - u

gives

81u^2 - 1620 = 400 - 40u + u^2,

which simplifies to

4u^2 + 2u - 101 = 0,

so

u = \frac{-1 + 9\sqrt{5}}{4}

(the positive root; then

20 - u \gt 0

as required).

Thus

A_1A_2 + A_1A_{11} = a + b

= \frac{9\sqrt{5} - 1}{4},

with

5

squarefree and no prime dividing all of

9,

1,

4.

The answer is

9 + 5 + 1 + 4 = 19.

2025 AIME II Problema 12

Respuesta: 19

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años