Question

Dada una función $f$ para la cual $\begin{aligned} f(x) &= f(398 - x) \\ &= f(2158 - x) \\ &= f(3214 - x) \end{aligned}$ se cumple para todo $x$ real, ¿cuál es la mayor cantidad de valores diferentes que pueden aparecer en la lista $f(0), f(1), f(2), \ldots, f(999)$ ?

Given a function $f$ for which $\begin{aligned} f(x) &= f(398 - x) \\ &= f(2158 - x) \\ &= f(3214 - x) \end{aligned}$ holds for all real $x,$ what is the largest number of different values that can appear in the list $f(0), f(1), f(2), \ldots, f(999)?$

Respuesta

Solución:

Como $f(398 - x) = f(2158 - x)$ para todo $x,$ sustituyendo $t = 398 - x$ se obtiene $f(t) = f(t + 1760);$ del mismo modo $f(2158 - x) = f(3214 - x)$ da periodo $1056.$ Combinando, $f$ tiene periodo $\gcd(1760, 1056) = 352.$ Reduciendo $398$ módulo $352,$ la simetría $f(x) = f(398 - x)$ se convierte en $f(x) = f(46 - x).$

Así que $f$ queda determinada por los residuos módulo $352,$ con los residuos $r$ y $46 - r$ obligados a compartir un valor. Este emparejamiento tiene exactamente dos puntos fijos, de $2r \equiv 46 \pmod{352}:$ $r = 23$ y $r = 199.$ Por lo tanto, hay a lo sumo $\frac{352 - 2}{2} + 2 = 177$ clases, y como $0, 1, \ldots, 999$ cubre todos los residuos módulo $352,$ la lista contiene a lo sumo $177$ valores diferentes.

Esto es alcanzable: $f(x) = \cos\frac{2\pi(x - 23)}{352}$ satisface las tres simetrías dadas (cada uno de $398,$ $2158,$ $3214$ es $\equiv 46$ módulo $352$ ), y dos enteros reciben valores iguales solo cuando sus residuos están emparejados. Así que la respuesta es $177.$

Since $f(398 - x) = f(2158 - x)$ for all $x,$ substituting $t = 398 - x$ gives $f(t) = f(t + 1760);$ likewise $f(2158 - x) = f(3214 - x)$ gives period $1056.$ Combining, $f$ has period $\gcd(1760, 1056) = 352.$ Reducing $398$ mod $352,$ the symmetry $f(x) = f(398 - x)$ becomes $f(x) = f(46 - x).$

So $f$ is determined by residues mod $352,$ with residues $r$ and $46 - r$ forced to share a value. This pairing has exactly two fixed points, from $2r \equiv 46 \pmod{352}:$ $r = 23$ and $r = 199.$ Hence there are at most $\frac{352 - 2}{2} + 2 = 177$ classes, and since $0, 1, \ldots, 999$ covers every residue mod $352,$ the list contains at most $177$ different values.

This is achievable: $f(x) = \cos\frac{2\pi(x - 23)}{352}$ satisfies all three given symmetries (each of $398,$ $2158,$ $3214$ is $\equiv 46$ mod $352$ ), and two integers get equal values only when their residues are paired. So the answer is $177.$

2000 AIME I Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años