Question

Los puntos $A,$ $B,$ y $C$ están sobre la superficie de una esfera de centro $O$ y radio $20.$ Se sabe que $AB = 13,$ $BC = 14,$ $CA = 15,$ y que la distancia de $O$ al triángulo $ABC$ es $\frac{m\sqrt{n}}{k},$ donde $m,$ $n,$ y $k$ son enteros positivos, $m$ y $k$ son primos entre sí, y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $m + n + k.$

The points $A,$ $B,$ and $C$ lie on the surface of a sphere with center $O$ and radius $20.$ It is given that $AB = 13,$ $BC = 14,$ $CA = 15,$ and that the distance from $O$ to triangle $ABC$ is $\frac{m\sqrt{n}}{k},$ where $m,$ $n,$ and $k$ are positive integers, $m$ and $k$ are relatively prime, and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n + k.$

Respuesta

Respuesta: 118

Conceptos:esfera circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio Fórmula de Herón Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

El pie de la perpendicular desde $O$ al plano de $ABC$ equidista de los tres vértices, así que es el circuncentro.

The foot of the perpendicular from $O$ to the plane of $ABC$ is equidistant from all three vertices, so it is the circumcenter

Pista grande:

El triángulo $13$ - $14$ - $15$ tiene área $84,$ así que su circunradio es $\frac{abc}{4K};$ termina con el teorema de Pitágoras usando el radio $20$ .

The $13$ - $14$ - $15$ triangle has area $84,$ so its circumradius is $\frac{abc}{4K};$ finish with the Pythagorean theorem using radius $20$

Solución:

El pie de la perpendicular desde $O$ al plano de $ABC$ equidista de $A,$ $B,$ y $C$ , pues los segmentos desde el centro hasta los tres vértices miden $20$ . Por tanto, es el circuncentro del triángulo $ABC.$ Como $15^2\lt13^2+14^2,$ el triángulo es acutángulo y su circuncentro está en su interior, por lo que esta longitud perpendicular también es la distancia de $O$ al triángulo mismo.

Por la fórmula de Herón, con $s = 21,$ el área es $K = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84,$ así que el circunradio es $R = \frac{abc}{4K} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{336} = \frac{65}{8}.$ La distancia de $O$ al plano es $\begin{aligned} &\small \sqrt{20^2 - \left(\tfrac{65}{8}\right)^2} \\ &= \sqrt{\frac{25600 - 4225}{64}} \\ &= \frac{\sqrt{21375}}{8} \\ &= \frac{15\sqrt{95}}{8}. \end{aligned}$

Aquí $\gcd(15, 8) = 1$ y $95 = 5 \cdot 19$ es libre de cuadrados, así que $m + n + k = 15 + 95 + 8 = 118.$

The foot of the perpendicular from $O$ to the plane of $ABC$ is equidistant from $A,$ $B,$ and $C$ (the slant segments to the vertices all have length $20$ ), so it is the circumcenter of triangle $ABC.$ Since $15^2\lt13^2+14^2,$ the triangle is acute and its circumcenter lies inside it, so this perpendicular length is also the distance from $O$ to the triangle itself.

By Heron’s formula with $s = 21,$ the area is $K = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84,$ so the circumradius is $R = \frac{abc}{4K} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{336} = \frac{65}{8}.$ The distance from $O$ to the plane is $\begin{aligned} &\small \sqrt{20^2 - \left(\tfrac{65}{8}\right)^2} \\ &= \sqrt{\frac{25600 - 4225}{64}} \\ &= \frac{\sqrt{21375}}{8} \\ &= \frac{15\sqrt{95}}{8}. \end{aligned}$

Here $\gcd(15, 8) = 1$ and $95 = 5 \cdot 19$ is squarefree, so $m + n + k = 15 + 95 + 8 = 118.$

2000 AIME II Problema 12

Respuesta: 118

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años