Question

Sea $n$ el menor entero positivo para el cual $149^n - 2^n$ es divisible entre $3^3 \cdot 5^5 \cdot 7^7.$ Halle el número de divisores positivos de $n.$

Let $n$ be the least positive integer for which $149^n - 2^n$ is divisible by $3^3 \cdot 5^5 \cdot 7^7.$ Find the number of positive divisors of $n.$

Respuesta

Solución:

Trabaje primo por primo. Como $149 - 2 = 147 = 3 \cdot 7^2,$ el lema del levantamiento del exponente da $v_3(149^n - 2^n)$ $= v_3(147) + v_3(n)$ $= 1 + v_3(n)$ y $v_7(149^n - 2^n) = 2 + v_7(n)$ para todo entero positivo $n.$ Exigir al menos $3$ y $7$ obliga a $3^2 \mid n$ y $7^5 \mid n.$

Para $5$ primero necesitamos $149^n \equiv 2^n \pmod 5,$ es decir $4^n \equiv 2^n,$ es decir $2^n \equiv 1 \pmod 5,$ lo que requiere $4 \mid n.$ Escriba $n = 4k.$ En $149^4 - 2^4$ $= (149 - 2)(149 + 2)(149^2 + 4),$ solo el último factor es divisible entre $5,$ y solo una vez, ya que $149^2 + 4 = 22205 = 5 \cdot 4441.$ El levantamiento del exponente desde la base $149^4, 2^4$ da $v_5(149^n - 2^n) = 1 + v_5(k),$ así que $5^4 \mid k,$ es decir $4 \cdot 5^4 \mid n.$

El menor $n$ válido es $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^4 \cdot 7^5,$ que tiene $(2+1)(2+1)(4+1)(5+1)$ $= 270$ divisores positivos.

Work prime by prime. Since $149 - 2 = 147 = 3 \cdot 7^2,$ the lifting-the-exponent lemma gives $v_3(149^n - 2^n)$ $= v_3(147) + v_3(n)$ $= 1 + v_3(n)$ and $v_7(149^n - 2^n) = 2 + v_7(n)$ for every positive integer $n.$ Requiring at least $3$ and $7$ forces $3^2 \mid n$ and $7^5 \mid n.$

For $5$ we first need $149^n \equiv 2^n \pmod 5,$ i.e. $4^n \equiv 2^n,$ i.e. $2^n \equiv 1 \pmod 5,$ which requires $4 \mid n.$ Write $n = 4k.$ In $149^4 - 2^4$ $= (149 - 2)(149 + 2)(149^2 + 4),$ only the last factor is divisible by $5,$ and only once, since $149^2 + 4 = 22205 = 5 \cdot 4441.$ Lifting the exponent from the base $149^4, 2^4$ gives $v_5(149^n - 2^n) = 1 + v_5(k),$ so $5^4 \mid k,$ i.e. $4 \cdot 5^4 \mid n.$

The least valid $n$ is $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^4 \cdot 7^5,$ which has $(2+1)(2+1)(4+1)(5+1)$ $= 270$ positive divisors.

2020 AIME I Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años