Question

Un campo rectangular cercado mide $24$ metros por $52$ metros. Una investigadora agrícola dispone de $1994$ metros de cerca para dividir interiormente el campo en parcelas de prueba cuadradas y congruentes. Hay que dividir todo el campo y los lados de los cuadrados deben ser paralelos a sus bordes. ¿Cuál es el mayor número de parcelas cuadradas en que puede dividirse el campo usando todos o algunos de los $1994$ metros de cerca?

A fenced, rectangular field measures $24$ meters by $52$ meters. An agricultural researcher has $1994$ meters of fence that can be used for internal fencing to partition the field into congruent, square test plots. The entire field must be partitioned, and the sides of the squares must be parallel to the edges of the field. What is the largest number of square test plots into which the field can be partitioned using all or some of the $1994$ meters of fence?

Respuesta

Respuesta: 702

Conceptos:teselado divisibilidad optimización

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Si hay $m$ filas y $n$ columnas, la igualdad de los lados de los cuadrados obliga a que $m:n=6:13$

If there are $m$ rows and $n$ columns, equality of square side lengths forces $m:n=6:13$

Pista grande:

Escribe $m=6k$ y $n=13k$ , y luego calcula únicamente la longitud de la cerca interior

Write $m=6k$ and $n=13k$ , then calculate only the internal fence length

Solución:

Sea la cuadrícula de $6k$ filas y $13k$ columnas, de modo que cada cuadrado tiene lado $\frac{4}{k}.$ Las cercas verticales y horizontales interiores tienen longitud total $\begin{aligned}&52(6k-1)+24(13k-1)\\&\quad=624k-76.\end{aligned}$ Exigir que esto no supere $1994$ da $k\leq3.$ Con $k=3,$ el número de parcelas es $(6k)(13k)=78k^2=702.$

Let the grid have $6k$ rows and $13k$ columns, so each square has side $\frac{4}{k}.$ The internal vertical and horizontal fences have total length $\begin{aligned}&52(6k-1)+24(13k-1)\\&\quad=624k-76.\end{aligned}$ Requiring this to be at most $1994$ gives $k\leq3.$ With $k=3,$ the number of plots is $(6k)(13k)=78k^2=702.$

1994 AIME Problema 12

Respuesta: 702

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años