Question

Una función $f$ está definida para todos los números reales y satisface $\begin{aligned} f(2+x)&=f(2-x),\\ f(7+x)&=f(7-x) \end{aligned}$ para todo número real $x.$ Si $x=0$ es una raíz de $f(x)=0,$ ¿cuál es el menor número de raíces que debe tener $f(x)=0$ en el intervalo $-1000\leq x\leq1000$ ?

A function $f$ is defined for all real numbers and satisfies $\begin{aligned} f(2+x)&=f(2-x),\\ f(7+x)&=f(7-x) \end{aligned}$ for all real $x.$ If $x=0$ is a root of $f(x)=0,$ what is the least number of roots $f(x)=0$ must have in the interval $-1000\leq x\leq1000?$

Respuesta

Respuesta: 401

Conceptos:ecuación funcional reflexión (geometría)conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Interpreta las dos identidades como simetrías por reflexión respecto de $2$ y $7$

Interpret the two identities as reflection symmetries about $2$ and $7$

Pista grande:

La composición de las dos reflexiones produce una traslación de $10$

Composing the two reflections produces a translation by $10$

Solución:

Las identidades hacen que el conjunto de raíces sea invariante bajo las reflexiones respecto de $2$ y de $7.$ Su composición es una traslación de $10.$ A partir de la raíz $0,$ estas operaciones obligan a que todo número de $\begin{gathered} \{10k:k\in\mathbb Z\}\\ {}\cup\{4+10k:k\in\mathbb Z\} \end{gathered}$ sea una raíz. En el intervalo, el primer conjunto aporta $201$ raíces y el segundo aporta $200,$ para un total de $401.$

Esta cota se puede alcanzar: define $f$ como $0$ en este conjunto invariante y como $1$ en los demás puntos. Tiene las dos simetrías por reflexión requeridas. Por consiguiente, la menor cantidad posible es $401.$

The identities make the root set invariant under reflection about $2$ and about $7.$ Their composition is translation by $10.$ Starting from the root $0,$ these operations force every number in $\begin{gathered} \{10k:k\in\mathbb Z\}\\ {}\cup\{4+10k:k\in\mathbb Z\} \end{gathered}$ to be a root. In the interval, the first set contributes $201$ roots and the second contributes $200,$ for a total of $401.$

This bound is attainable: define $f$ to be $0$ on this invariant set and $1$ elsewhere. It has both required reflection symmetries. Hence the least possible number is $401.$

1984 AIME Problema 12

Respuesta: 401

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años